問題をやさしくする数学（２１）論理の問題の反例範囲を分割する

【問】
実数ａ，ｂに関する条件ｐ，ｑを次のように定める。
ｐ：　（ａ＋ｂ）^２＋（ａ－２ｂ）^２＜５
ｑ：　（ａ＋ｂ）^２＜１　または　（ａ－２ｂ）^２＜４
次の①～④のうち、命題「ｑ⇒ｐ」に対する反例になっているのはどれか。
（反例候補）
①ａ＝０，ｂ＝０
②ａ＝１，ｂ＝０
③ａ＝０，ｂ＝１
④ａ＝１，ｂ＝１

【解答】
命題「ｑ⇒ｐ」に対する反例は、
ｑ及び（ｐで無い）が成り立つ場合である。

（１）命題ｐとｑをパラメータａとｂであらわす式が複雑なので、命題の式の方をＸ､Ｙとおいて命題を見やすくする
（２）命題ｑが複雑なので、命題ｒとｓの２つの命題に分けて、命題ｑを（ｒまたはｓ）に変換ずる。
ｒ：　（ａ＋ｂ）^２＜１
ｓ：　（ａ－２ｂ）^２＜４

命題「ｑ⇒ｐ」に対する反例は、
（ｒまたはｓ）及び（ｐで無い）が成り立つ場合である。
この命題の範囲は、以下の式のように変換する。

（ｒまたはｓ）については、
（ｒまたは（ｓ及び（ｒで無い）））
として、重なりが無い反例範囲に分ける。
そして、結局、反例範囲を、ＡとＢとの２つに分ける。

（問題を簡単にする工夫）
このＡとＢとについて、別々に反例をさがす。
このＡとＢの反例範囲には、範囲の重なりが無いので反例探しに無駄が無い。
ＡとＢとを別々に探すと、反例範囲の図は正確に書かないでも良く、図が簡単に手間がかからないようになる。

先ず、反例範囲Ａに反例候補①②③④が入るかを調べる。
反例範囲を以下の図の斜線であらわす。

③の、ａ＝０，ｂ＝１の場合は、
Ｘ＝１なので、ｒを満足しない。よって反例では無い。

次に、反例範囲Ｂに反例候補①②③④が入るかを調べる。

③の、ａ＝０，ｂ＝１の場合は、
Ｙ＝－２なので、ｓを満足しない。よって反例では無い。
④の、ａ＝１，ｂ＝１の場合は、
Ｘ＝２，Ｙ＝－１なので、ｓを満足する。
また、円周上の点なので、（ｐで無い）も満足する。
よって、④が反例である。
（解答おわり）

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論理の問題では余分な部分を無くす(20)問題をやさしくする数学

【問】三角形に関する条件ｐ，ｑ，ｒを次のように定める。
ｐ：　３つの内角がすべて異なる。
ｑ：　直角三角形でない
ｒ：　４５°の内角は一つもない
命題「（ｐまたはｑ）⇒ｒ」に対する反例になっている三角形を考えよ。

【解答１】
命題「（ｐまたはｑ）⇒ｒ」に対する反例は、
（ｐまたはｑ）及び（ｒでない）
です。
これは、

と書きます。

この式を以下の様に変形して考える。

この式は：
１行目の式：

この式の命題ｐのうち、ｑである場合は、その命題ｐと（又は）でつなぐ命題ｑに含まれていて余分なので、
ｐについては、ｐ及び（ｑでない）場合のみを考えて、
そう書き換えた命題と（又は）命題ｑと記述した２行目の式に書き換えた。

そうして書き換えた２行目の式を整理して得た３行目の式は：
（ｐ及び（ｑでない）及び（ｒでない））または（ｑ及び（ｒでない））
という意味です。
（ｐ及び（ｑでない）及び（ｒでない））
または
（ｑ及び（ｒでない））
の何れかが有れば、それが反例である事を示す式です。

以上を以下の様に整理して書く。

ここで、
（ｐ及び（ｑでない）及び（ｒでない））
については、
上図に書いたとおり、有り得ないことです。
そのため、反例は、
残りの式の、
ｑ及び（ｒで無い）
のみだと分かりました。
すなわち、反例は：
（直角三角形でない）及び（４５°の内角が１つ以上ある）
とわかりました。
 （解答おわり）

【解答２】
最初の式：

この式の命題ｑを、
その命題ｑと（又は）でつなぐ命題ｐに含まれていて余分なので、
ｑ及び（ｐでない）と書き換えてみます。
そう書き換えた命題と（又は）命題ｐと記述した、以下の２行目の式に書き換える。
そして式を整理する。

 すなわち、反例のうちの１つは、最後の行の式の右の項があらわす命題：
（直角三角形でない）及び（３つの内角のうち少なくとも２つが同じ）及び（４５°の内角が１つある）
とわかりました。
それは、４５°を頂角とする二等辺三角形です。
（解答おわり）

【解答３】
この問題の命題がややこしくて考えにくいので、
問題を等価な、わかり易い問題に変換して考える。
(問題Ａ)
ｐ：　３つの内角がすべて異なる。
ｑ：　直角三角形でない
ｒ：　４５°の内角は一つもない
命題「（ｐまたはｑ）⇒ｒ」に対する反例になっている三角形を考えよ。

(問題Ｂ)
ｓ：　二等辺三角形である。
ｔ：　直角三角形である
ｕ：　４５°の内角を持つ
命題「（（ｓでない）または（ｔでない））⇒（ｕで無い）」に対する反例になっている三角形を考えよ。

このように分かり易くした問題Ｂを解く。
反例を命題の式に書くと以下の式になる。
 
ここで、
（ｓ及びｔ）
は、直角二等辺三角形
という、命題です。
よって、反例は、
（直角二等辺三角形ではない）及び（４５°の内角を持つ）
であるとわかりました。
（解答おわり）

（補足１）
この解答３の方が、解答１よりも使い易い解き方のように思います。

（補足２）
　論理の問題の解き方は、以下の様に、論理式で書く命題を整理して記述した上で、論理式を簡単化することで解けば良いと考えます。
（解答３のように）
①意味の把握しにくい命題を、もっと単純な命題を種にして、意味をわかりにくくしている部分を論理式で記述する。
②複雑な論理式を単純な論理式に変形する。
（解答１のように）
③　（又は記号）でつなぐ命題Ａと命題Ｂは、（及び記号）で重なる部分が無い命題にＡ’と命題Ｂという、命題の重なり部分という余分な部分が無い命題に置き換えて、その命題Ａ’とＢを（又は記号）でつないだ論理式を記述する。
④複雑な論理式を単純な論理式に変形する。 
　そのように、
(1)問題を把握し易いように書き換えて記述し、
(2)その書き換えた論理式を単純化して、
(3)その単純化した論理式を見て考える解き方で解けば良いと考えます。

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問題をやさしくする数学（１９）座標系を変える

【問】実数ａ，ｂに関する条件ｐ，ｑを次のように定める。
ｐ：　（ａ＋ｂ）^２＋（ａ－２ｂ）^２＜５
ｑ：　（ａ＋ｂ）^２＜１　または　（ａ－２ｂ）^２＜４
次の①～④のうち、命題「ｑ⇒ｐ」に対する反例になっているのはどれか。
①ａ＝０，ｂ＝０
②ａ＝１，ｂ＝０
③ａ＝０，ｂ＝１
④ａ＝１，ｂ＝１

【解答】
命題「ｑ⇒ｐ」に対する反例は、
ｑ及び（ｐで無い）が成り立つ場合である。

命題ｐとｑが複雑なので、命題の式の方をＸ､Ｙとおいて命題を見やすくし、
ｑ及び（ｐで無い）が成り立つ場合を以下の図の斜線であらわす。
図の円周上の点は（ｐで無い）条件を満足している。

上図の斜線の範囲にある（Ｘ，Ｙ）がｑ及び（ｐで無い）が成り立つ場合である。
とりあえず、ＸとＹでｂをあらわすと、
ｂ＝（Ｘ－Ｙ）／３
である。
そのため、Ｙ＝Ｘの直線上の点はｂ＝０を満たす点であることがわかる。
ｂ＝０でＹ＝Ｘの直線上にある場合は、
ａ≧√（５／２）
あるいは、
ａ≦－√（５／２）
がなりたつべきであるが、
①と②はこの条件を満足していない。よって反例では無い。

あとは、③と④を個々に調べれば良い。
③の、ａ＝０，ｂ＝１の場合は、
Ｘ＝１，Ｙ＝－２なので、ｑを満足しない。よって反例では無い。
④の、ａ＝１，ｂ＝１の場合は、
Ｘ＝２，Ｙ＝－１なので、ｑを満足する。
また、円周上の点なので、（ｐで無い）も満足する。
よって、④が反例である。
（解答おわり）

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計算の道を作る

計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
　このサイトでは、計算ミスを少なくするための１つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
　的確なアドバイスと思います。

　以下のよう三角形の外接円の中心Ｏと一辺ＢＣとの作る二等辺三角形ＯＢＣの面積を求める問題を解いてみます。
　最初の計算では、△ＯＢＣ＝２×△ＯＢＰとして計算します。
試験問題として答えは、（ｒ・ｓｉｎＡ）（ｒ・ｃｏｓＡ）までで十分で、これで解答が終わっています。

　試験問題を解くときには時間が無いのでできないことですが、問題を解いたら、次のように進むのが、数学の心を捉えた良い数学の学び方と思います。
　つまり、次に、その答えを、自分の知っている三角関数の倍角の公式を使ってｓｉｎ（２Ａ）の形に変形して結果がどうなるかを調べてみます。

　そしてこの答えを見ることで、△ＯＢＣの面積は、辺ＯＢと辺ＯＣと、その間の角（２Ａ）のｓｉｎとの積の２分の１であるとして直ぐ答えを計算できることが見出せます。
　すなわち、最初の計算方法と、次に分かった計算方法との２つの計算方法があることがわかります。こうして自分が発見した（作った）計算の道の、その２つ目の解き方は自然に覚えられます。

　こうして、１つ問題を解く毎に、新しい計算の道も作って、２つ以上の解き方を覚えていくことができます。
　１問あたりに２倍の計算方法を覚えるので、確実に問題を解く力がついていきます。

　このように問題を解いた後に、その問題を更に解析してもう１つの解き方まで発見する時間はとても大切なものです。
　試験問題としてだけで問題を解くのは最低限度に留めて、
このように時間をかけて問題を何重にも解く時間をなるべく多く持つようにしましょう。

　 そうすれば、問題を解く計算の道が網の目のように張りめぐらされて、どの計算の道にも熟達します。
　それにより、計算がつっかえて時間が足りなくなってあせるために起きる計算ミスを減らせます。

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計算ミス対策（１８）計算の道を覚える

計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
　このサイトでは、計算ミスを少なくするための１つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
　的確なアドバイスと思います。

以下のよう二等辺三角形の底辺の長さｘを求める問題の解き方の道が４つあります。どの道を進んでも結局ｃｏｓＡが必要になります。
どの計算の道も最後まで通れるように、計算の道を覚えておきましょう。
　そうすれば、計算がつっかえて時間が足りなくなってあせるために起きる計算ミスを減らせます。

必ず覚えるようにしたいですが、
数学センスに従う覚え方は、忘れる事を利用して、
以下の様に覚える事だと思います。
（１）先ず覚えて、次に、忘れて心の片隅に残す。
（２）この解き方が必要になった場面で、心の片隅からこの解き方がささやく心の声に従って、この公式を自分で導き出す。
（３）自分で導き出した公式は忘れない。本当に覚えるためには、最初は、忘れる事が必要だと思います。
（４）結論：
この解き方は、忘れられるようにし、次には、この解き方が必要になる場面に出会うため、問題を解く数学の勉強に多くの時間を使って数学に親しむ事に心がける。そうすれば心豊かに数学を学ぶことができると思います。
豊かに数学を学ぶため、覚えた事は忘れるように数学を学んで欲しい。
忘れる事を前提にして、十分な時間を数学とともに過ごす習慣をつけて欲しい。そのようにして忘れる事を受け入れて数学を学べば、数学とともに過ごす時間が楽しくなり、数学が人生を豊かにしてくれると思います。

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計算ミス対策（１７）図形を覚える

計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
　このサイトでは、計算ミスを少なくするための１つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
　的確なアドバイスと思います。

以下のように三角形の外接円の直径２ｒを計算する式を直ぐ思い出せるように、直径２ｒをあらわす形の式も覚えておきましょう。
　そうすれば、計算がつっかえて時間が足りなくなってあせるために起きる計算ミスを減らせます。

必ず覚えるようにしましょう。

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（１８）面の法線への射影を利用した連立方程式の解法

【問】以下の連立方程式を解いて未知数ｓを求めよ。

【解答】
　連立方程式はベクトル方程式とみなして解くとやさしくなります。以下のようにベクトルの張る面に垂直な法線への射影を利用すると連立方程式の１つの未知数ｓを素早く求めることができます。

この式の水平面を張るベクトルｂとｃを、もっと使いやすいベクトルｂ’とｃ’に変更します（同時に未知数ｗとｕも変わります）。
（ここで、水平面には変わりがありません）

このように、成分の１つを０にしたベクトルｂ’とｃ’で水平面を張ります。
このベクトル方程式を以下のようにして解きます。 

（解答おわり）

①　先ず、問題の連立方程式の右辺のベクトルｅのＹ成分のベクトルの高さを６ｚとしました。
②　ベクトルｂとｃの張る面を水平面とする。ベクトルｃのＹ成分の高さは①との関係で、高さ２ｚです。
③　ベクトルｂのＹ成分の高さは①との関係で、高さｚです。
④　ベクトルａのＹ成分の高さは①との関係で、高さ３ｚです。
⑤　ベクトルｃは水平面上のベクトルなので、そのＸ成分はＹ成分による高さ２ｚを打ち消す高さ－２ｚです。
⑥　ベクトルｅのＸ成分の高さは⑤との関係で、高さ－２ｚ・２です。
⑦　ベクトルａのＸ成分の高さは⑤との関係で、高さ２ｚです。
⑧　ベクトルｂは水平面上のベクトルなので、そのＺ成分はＹ成分による高さｚを打ち消す高さ－ｚです。
⑨　ベクトルｅのＺ成分の高さは⑧との関係で、高さ２ｚです。
⑩　ベクトルａのＺ成分の高さは⑧との関係で、高さｚ／２です。

問題の連立方程式のｓに掛かる高さは（⑦＋④＋⑩）であり、右辺の高さは（⑥＋①＋⑨）です。その比を計算してｓが得られました。

【別解】ベクトルの外積を利用して計算すると、以下のように答えが得られます。

（解答おわり）
ベクトルの外積を利用する方が速そうです。


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(17)ベクトルの外積と３元連立方程式

【問】以下の連立方程式を解いて未知数ｓを求めよ。

ページ内リンク
▷第１の解
▷第２の解
▷第３の解
▷第４の解
▷第５の解

【第１の解】
　連立方程式はベクトル方程式とみなして解くとやさしくなります。以下のようにベクトルの張る面に垂直な法線への射影を利用すると連立方程式の１つの未知数ｓを素早く求めることができます。

（第１の解おわり）

①　先ず、問題の連立方程式の右辺のベクトルｅのＹ成分のベクトルの高さを６ｚとしました。
②　ベクトルｂとｃの張る面を水平面とする。ベクトルｃのＹ成分の高さは①との関係で、高さｚです。
③　ベクトルｂのＹ成分の高さは①との関係で、高さ６ｚです。
④　ベクトルｃは水平面上のベクトルなので、そのＺ成分はＹ成分による高さｚを打ち消す高さ－ｚです。
⑤　ベクトルｂのＺ成分の高さは④との関係で、高さ－ｚ／２です。
⑥　ベクトルｂは水平面上のベクトルなので、そのＸ成分はＹ成分とＺ成分による高さを打ち消す高さ－１１ｚ／２です。
⑦　ベクトルａのＸ成分の高さは⑥との関係で、高さ（１１ｚ／２）（３／２）です。

問題の連立方程式のｓに掛かる高さは⑦であり、右辺の高さは①です。その比を計算してｓが得られました。


【第２の解】
　ベクトルの外積を利用して計算すると、以下のように答えが得られます。

（第２の解おわり）
ベクトルの外積を利用する方が速そうです。


【第２の解（その２）】
　第２の解の方法を、以下に整理して書きます。

なお、

である。
　連立方程式２から４が解を持たない場合もあり得るが、それは、式６，９，１０の分母が０になる場合に生じる。
（第２の解（その２）おわり）

【第３の解】
　上記の第２の解とは異なる、以下の解き方で連立方程式を解く事もできます。

式１５から１７を使って以下の式１８と１９を導き出す。

この式１８と１９は、ベクトルｚと内積計算した値が０になる、ベクトルｚに垂直な２つのベクトルを表しています。
ベクトルｚは、その２つのベクトルを外積したベクトルに平行である。
そのため、未知の係数ｋを使った以下の式２０が得られる。
係数ｋは、式２０と式１５から得る式２１で計算できる。

よって、ベクトルｚ＝（s,w,u）が以下の式２２で求められる。

この式２２を変形して、以下の式２３も得られる。

　連立方程式１５から１７が解を持たない場合もあり得るが、それは、式２３の分母が０になる場合に生じる。
  （第３の解おわり）

なお、

である。

　この式２２及び式２３の解は、第２の解（その２）の式６から式１０の解とは異なる形で表された解ですが、同じ解をあらわしています。

【第４の解】
　以下の解き方で連立方程式を解く事もできます。
これは、解が無い連立方程式が、その解が無いことが明確に分かる方法です。

の形をした、未知数ｓ，ｔ，ｕの連立方程式の問題を考える。具体的には以下の式を考える。

この連立方程式の各方程式の表す面の法線ベクトルは上記の通りである。各面の法線ベクトルが互いに垂直になるように、各面の方程式を変形する。


更に変形する。

このように、各面の法線ベクトルが互いに垂直になるように、各面の方程式を変形して上記の式を得た。そうすると、上記の式(7)によって、この方程式が解を持たないことが明らかに現れてきた。
（第４の解おわり）

【第５の解】
　以下の解き方でも、解が無い連立方程式が、その解が無いことが明確に分かる。
 
以下の、未知数ｓ，ｔ，ｕの連立方程式を考える。

この連立方程式の拡大係数行列を以下に書く。

1行目－3(3行目)：
2行目－4(3行目)：

1行目/2:

2行目－3(1行目)：

このように方程式を加減算する変形だけで、上記の式が得られる。その2行目の式によって、この方程式が解を持たないことが明らかに現れた。
（第５の解おわり）

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