ペル方程式だけでは解けない不定方程式（難問）

【問】（ペル方程式だけでは解けない難問）

以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。

【解答】

ここで、この式２の項の整数１２による剰余を考える。

この式３を式２に代入して、以下の式４を得る。

ここで、新たに導入したｓ，ｔとｘ，ｙの関係を、以下のようにして整理する。
先ず、式３’の不定方程式を解く。

また、式５に式８を代入して式９を得る。

ここで、このペル方程式４を、以下の簡単なペル方程式１０にした方が解き易いので、それで解く。
後で適切な解を選別することにする。

上の式１２でペル方程式の基底の解を得て、式１３で第１の解を得た。これを使って、以下のようにしてペル方程式を解く。

式１６の漸化式を得た。
この漸化式を使って、解を求める。
その解から、式９（それを遡った式５）から得る以下の式１７を満足する解を抽出する。

この式１７の関係を満足する解を抽出する。先ず、基底の解から、以下の解が選別できる。

第１の解からは、以下の通り、適切な解が抽出できない。

 第２の解からは、適切な解が抽出できる。
 
以下は、同様にして、偶数番目の解からは、適切な解が抽出でき、奇数番目の解には適切な解が無い。
そのため、適切な解（偶数番目の解）を求める漸化式を以下の様にして作ることができる。

この式２６で得た解のｓを式５に代入してｙを求める。
そのｙと、ｕ／２＝ｔを式３に代入してｘを求める。

ｘが整数になる解は（Ｓ_１２，ｕ_１２） になって初めて現われるように思ったが、その値が大きいので、それは計算誤差だと考える。

なぜならば、
式８（更に遡り式３）に従ってｙは奇数にならなければならない。
しかし、式２６の漸化式によると、
（４９＝１２×４＋１
と置き換えて計算すると）
Ｓ_２＝－（１２×４＋１）
Ｓ_４＝－（１２×４＋１）^２＋１２０Ｃ_４
Ｓ_６＝－（１２×４＋１）^３＋１２０Ｃ_６
・・・
Ｓ_２ｎ＝－（１２×４＋１）^ｎ＋１２０Ｃ_２ｎ
になる。
（ここでＣ_４やＣ_６等は、ある整数である。）
そのため、ｙは、
ｙ＝（１＋Ｓ_２ｎ）／１２
＝（１－（１２×４）^ｎ・・－ｎ・（１２×４）－１＋１２０Ｃ_２ｎ）／１２
＝ － ４（１２×４）^ｎ－１－・・・・－ｎ・（４）＋１０Ｃ_２ｎ
になり、
ｙは偶数になってしまう。

漸化式によってｙが偶数と計算されるので、式３によってｙが奇数でなければならないことと矛盾する。
そのため、式１は整数解を持つことができない。
（解答おわり）

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