楕円と双曲線と放物線の接線の公式を覚える

「微分・積分」の勉強
【研究】
　高校３年で学ぶ楕円の接線の式を含めた、
楕円と双曲線と放物線の接線の式は、
以下の（大学で学ぶ）微分の計算によって導くことができる。

【楕円の接線】
楕円　ｘ^２／ａ^２＋ｙ^２／ｂ^２＝１　（式１）です。

　楕円の接線の公式は、大学の数学科の射影空間の授業で、以下の微分の計算で導くことを教わると思います。

この式３が射影空間の座標系であらわした接線の式です。
具体的にあらわすと、以下の式になります。

ｚ＝１の場合が、通常のｘｙ座標系での接線の式です。

 この式６が楕円の接線の式です。

【双曲線の接線】
　双曲線の接線の公式は、大学の数学科の射影空間の授業で、以下の微分の計算で導くことを教わると思います。

この式３が射影空間の座標系であらわした接線の式です。
具体的にあらわすと、以下の式になります。

 ｚ＝１の場合が、通常のｘｙ座標系での接線の式です。

 この式５が双曲線の接線の式です。

【放物線の接線】
　放物線の接線の公式は、大学の数学科の射影空間の授業で、以下の微分の計算で導くことを教わると思います。

この式３が射影空間の座標系であらわした接線の式です。
具体的にあらわすと、以下の式になります。

 ｚ＝１の場合が、通常のｘｙ座標系での接線の式です。

 この式６が放物線の接線の式です。

　このようにして接線の式を導き出すことを覚えたら、このやりかたで直ぐ接線の公式を導き出すことができるようになるので、各図形の接線の公式を覚えないでも良くなり便利です。

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高次式の因数分解

【問題】　以下の５つの高次多項式を因数分解した式がある。
それぞれの式について、その式が成り立つ事を示せ。

（式５の解き方については、ここをクリックした先のページに解答を書きました）

（コメント）この問題は、
「代数入門 (現代数学への入門) 」（上野 健爾（著）岩波書店）
から引用しました。
　 「代数入門 (現代数学への入門) 」の本の前半は高校数学を教えていますので、前半は高校生が読めます。後半は大学生向けですが、高校生でも十分に数学を研究したい学生は大学入学を待たずに読んで良いと思います。
　後半の内容は、「群論」が説明されています。

（本ブログによるエピソード）
　1830年代、エヴァリスト・ガロアが初めて、代数方程式の可解性の判定に、群を導入した。
ガロアが執筆した論文が不運によって2度も紛失した。 その後、ガロアは、デモ活動で逮捕され、禁固6ヵ月の刑を受けた。刑期の仮出所の間に、決闘によって死んだ。（２１歳）
不良学生であったが、彼の代数学が、もっと正当に扱われていたら、結果は大分変っていたのではないかと悔やまれる若き天才だった。

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平方根の式を多項式に変換する（２次方程式が成り立つ場合）

【問題１】　以下の二次方定式１が成り立つとき、平方根の式２を普通の多項式であらわせ。

【解答】
式１を変形する。

（解答おわり）

（コメント）
　この計算以外の方法では、以下の計算のように、
（１）式１を解いてαを求めて、
（２）その値を√αに代入することで二重根号の式を求め、
（３）その二重根号を外して答えを求めることもできる。

　それに対して、上の解答の式の計算では、
（１）途中の式３の左辺のαの係数の二乗根が二重根号にならないので、式４に二重根号が出てこない。
（２）この式４に式１で得たαを代入した値も、二重根号を使わないであらわすことができる。 
　すなわち、式４を求めてから、式１の解のαを式４に代入した値を求めることで、二重根号を外す計算をしないで答えが得られる。

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平方根の式を多項式に変換する問題（３次方程式が成り立つ場合）

【問題１】　以下の３次方程式１が成り立つとき、平方根の式２を普通の多項式であらわせ。

【解答】
式２を変形する。

この式の各因数を式１を使って計算する。
（Ａ）先ず、（α＋２）を計算する。
　式１を（α＋２）で割り算した式を作り、変形することで（α＋２）をあらわす以下の式４を計算する。

（Ｂ）次に、（α－２）を計算する。
　式１を（α－２）で割り算した式を作り、変形することで（α－２）をあらわす以下の式５を計算する。

式４と式５を式３に代入する。

以上の計算で根号を外すことができた。

次に、この分数式を普通の多項式に変換する。

（Ｃ）先ず、１／（α－１）を計算する。
　式１を（α－１）で割り算した式を作り、変形することで１／（α－１）をあらわす以下の式７を計算する。

（Ｄ）次に、１／（α＋１）を計算する。
　式１を（α＋１）で割り算した式を作り、変形することで１／（α＋１）をあらわす以下の式８を計算する。

式７と式８を式６に代入する。

（解答おわり）

【解答のブラッシュアップ】
　先の解答は、計算の発想順が明確で良い解答だと思います。しかし、計算の手順に無駄がありました。
式４を導く計算部分を以下のように変えると、分数式を経由せずに解答することができます。

そのようにして、解答を書き直すと、
以下のように解答できます。

（解答はじめ）
問題の式２を変形する。

この式の各因数を式１を使って計算する。
（Ａ）先ず、（α＋２）を計算する。
　式１を（α＋２）で割り算した式を作り、変形することで（α＋２）をあらわす以下の式１０を計算する。

（Ｂ）次に、（α－２）を計算する。
　式１を（α－２）で割り算した式を作り、変形することで（α－２）をあらわす以下の式１１を計算する。

 式１０と式１１を式３に代入する。

（解答おわり）

次に、この問題をより一般化した問題を解く。
【問題２】　以下の式１が成り立つとき、平方根の式２を普通の多項式であらわせ。

【解答】
問題の式２を変形する。

この式の各因数を式１を使って計算する。
（Ａ）先ず、（α＋２）を計算する。
　式１を（α＋２）で割り算した式を作り、変形することで（α＋２）をあらわす以下の式４を計算する。

（Ｂ）次に、（α－２）を計算する。
　式１を（α－２）で割り算した式を作り、変形することで（α－２）をあらわす以下の式５を計算する。

式４と式５を式３に代入する。

 計算をここで終えた方が答えの式が簡易な式になる。
（解答おわり）

（補足）
上の計算で、式４から６までの計算を以下の式７から９までの計算に変えた方が、より簡単な式で答えをあらわすことができると考える。
（Ａ）先ず、（α＋２）を計算する。

（Ｂ）次に、（α－２）を計算する。

式７と式８を式３に代入する。

（解答おわり）

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分数式を多項式に変換する問題（３次方程式が成り立つ場合）

【問題】　以下の式１が成り立つとき、分数式２を普通の多項式であらわせ。

【解答】
式１を（α＋１）で割り算した以下の式３を計算する。

この式３を使って、式２の分子の値１を（α＋１）の倍数の式に置き換える。

（解答おわり） 
 
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