マクローリン展開とオイラーの公式

　高校２年生が勉強するのにも適切な、関数と微分積分の参考書「やさしく学べる微分積分」（石村園子）の７０ページにマクローリン展開の知識が書かれています。

以下でオイラーの公式を導きます。
先ず、ネイピア数ｅを底にした指数関数 ｅ^ｘ をマクローリン展開します。

ここで、指数関数の虚数乗を以下の式２で定義します。

ｃｏｓ（ｘ）をマクローリン展開します。

ｓｉｎ（ｘ）をマクローリン展開します。

式３と式４を使って以下の式を作ります。

この式５は、オイラーの公式と呼ばれています。

（関連する話題）
　オイラーの公式によって、以下の問題が解決されました。
対数関数　ｌｏｇ（ｘ）を、ｘが負の場合にも対数関数を定義したい希望がありました。
ｌｏｇ（－１）＝ａ
とすると、
２a＝２ｌｏｇ（－１）＝ｌｏｇ（（－１）^２）＝ ｌｏｇ（１）＝０
∴　a＝０　？
という矛盾を生じました。
この矛盾は、以下のように解決できます。
ｌｏｇ（－１）＝（２ｎ＋１）πｉ
ａ＝（２ｎ＋１）πｉ
であって、
２ａ＝２（２ｎ＋１）πｉ＝２ｍπｉ
なので、
２ｌｏｇ（－１）＝２（２ｎ＋１）πｉ
になったのです。
この
２（２ｎ＋１）πｉ 
は２分の１にしても、
（２ｎ＋１）πｉ 
になるだけで、０や２ｍπｉ にはならないです。
また、 ｌｏｇ（１）についても、
ｌｏｇ（１）＝０＋２ｍπｉ
となり、その答えは０だけでは無い、
ということがわかります。

（対数関数とtanθの逆関数の関係）
オイラーの公式を使うと、 
対数関数とtanθの逆関数が、
以下の様に近い関係にある事が分かります。


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