合成関数の微分の公式と微分の連鎖律

「微分・積分」の勉強

（５）微分の知識：
　以下の合成関数の微分の公式があります。

以下の様に微分の計算を楽にするときに使う公式です。

（この公式には一定の縛り（成立条件）があります。それは、「ｆ（ｇ）の微分が存在し、ｇ（ｘ）の微分が存在する（微分可能）必要がある」という前提条件です。）
関数の微分が存在しない典型的な例として、以下の図の関数ｙはｘ＝０でｘによる微分が存在しません。

合成関数の微分の公式である以下の式：

は、関数ｆ（ｇ）とｇ（ｘ）があり、その関数の合成関数の、
ｙ＝ｆ（ｇ（ｘ））＝ｈ（ｘ）
という関数を作った場合に、
変数ｘのある値ｘに対応する変数ｇ＝ｇ（ｘ）があり、
変数のその値において、
（ｄｇ／ｄｘ）＝ｇ’（ｘ）の有限の値の微分係数が存在し（微分可能）、
変数ｇのその値において、
（ｄｈ／ｄｇ）＝ｆ’（ｇ）の有限の微分係数が存在する（微分可能） 
の場合に、
変数ｘとｇがそれらの値の場合において、 
ｆ’（ｇ）＝（ｄｆ／ｄｇ）と、
ｇ’（ｘ）＝（ｄｇ／ｄｘ）との積が、
ｈ’（ｘ）＝（ｄｈ／ ｄｘ）になる、
という公式です。

どの関数ｆ（ｇ）とｇ（ｘ）で作った合成関数についても、この条件が満足されれば、この公式が成り立つ、という公式です。

「関数が微分可能（有限の値の確定した値の微分係数が存在する）」
という意味は、
「関数が、その変数のその値に限って、その変数で微分可能であれば良く、その変数のその他の値での関数の微分可能性は関係しない」
という意味です。

実はこの合成関数の微分の公式は以下の同様な式で表された公式群の一部です。

この各公式には、先ず、以下の縛り（成立条件）があります。
その縛りというのは、

「上の式の様に微小量の割り算であらわした式の、ΔｈもΔｇもΔｘも、何れも微小量でなけばならない」
とういう条件です。
例えば、関数ｇ（ｘ）＝（１／ｘ）を使った場合、
Δｇ＝Δ（１／ｘ）が、
ｘ→０で、微小量にならないから、
ｘ→０の場合には、関数ｇ（ｘ）＝（１／ｘ）を使うことができません。

また、更にその上に、各関数の微分可能条件も（あたりまえの条件のように見えますが）あえて意識する必要があります。
その理由は、ｘの位置に応じて、Δｇが正から０になって負に変わる場合も考えられるからです。

「関数が微分可能（有限の値の確定した値の微分係数が存在する）」
という意味は、
「関数が、その変数のその値に限って、その変数で微分可能であれば良く、その変数のその他の値での関数の微分可能性は関係しない」
という意味です。

（注意）
以下の式で：

Δｇが微小量より更に小さい真正の０になる場合を考えずに合成関数の微分の公式を証明したつもりの偽証明が流通しています。自分の「分からないものは分からない」センスを大切にして、偽物に騙され無いように、注意しましょう。

　Δｇが微小量より更に小さい真正の０になる場合は、以下で詳しく調べます。それ以外の場合は微小量の割り算で公式が説明できるので、高校２年生でも、以下の説明を読んで、その後は公式を覚えてしまいましょう。

Δｇが微小量より更に小さい真正の０になる場合を、以下の合成関数の例で考えます。
【事例１】

 次に、以下の微分を考えます。

この式５を見ると、
ｘ→０
の場合に、関数ｇの微分が：

となり、微分が０になることがわかります。
その場合は、
Δｇ＝０（微小量より更に小さい真正の０）になります。

（ｄｈ／ｄｇ）が微分可能（値が確定した有限値になる）なら、

となるので、
Δｘに対してΔｇが真正の０になるのと同時にΔｈも真正の０になります。
そのため、
ｘ→０の場合に、

になります。実際に式３をｘで微分すれば、その通りになっていることがわかります。
この関数ｈの微分を、Δｇを含めて展開すると：

となります。
　このように、ほとんどΔｇ＝０である（真正の０である）とも言える関数ｇ（ｘ）の場合にも、
Δｇが真正の０で無いただの微小量の場合と同じ形の公式：

が成り立っていました。
　この事例は、０では無い小さなΔｘが存在すれば、 ΔｇがΔｘの２乗程度の極めて小さい値になりますが、Δｇは厳密には０にはならないので助かりました。

　しかし、以下の図のような、有限な範囲でｇ（ｘ）の値が一定値で続く関数ｇ（ｘ）の場合は、０では無い小さなΔｘに対して厳密にΔｇ＝０になります。（この関数ｇは－１＜ｘ＜１の範囲でｇ（ｘ）＝０であり、かつ、（ｄｇ／ｄｘ）＝０です）。そういう関数ｇ（ｘ）の場合には、この事例の計算方法では、正しい答えが得られません。

　その場合にも有効な結果を得る計算方法が以下の様に考えられます。
着目点は、ｈが微分可能であれば、（Δｈ／Δｇ）の値は、Δｇがどれだけ小さくても値が安定して（ｄｈ／ｄｇ）に収束することです。
　計算の初めの時点から、（Δｈ／Δｇ）の式のかわりに、有限値の微分の値（ｄｈ／ｄｇ）を使って計算するならば、上の計算は、
有限値（ｄｈ／ｄｇ）・（値が０に収束する（Δｇ／Δｘ））
の計算に置き換えることができます。
そうすれば、小さなΔｘでΔｇが厳密に０（真正の０）になっても、
式の中でΔｇが分母に来ることが無いので、
Δｇがどうであれ合成関数の微分の公式が成り立ちます。

　ｈのｇによる微分が有限の値の（ｄｈ／ｄｇ）に収束する（微分可能）ならば、合成関数の微分の公式を成り立たせる結果を導き出せます。

【合成関数の微分の公式の証明】
　上の事例でΔｇが真正の０になる場合を考えましたが、Δｇが真正の０になるという発想は、Δｘが０で無い場合にΔｇが真正の０になる場合があるという、ｇ（ｘ）の関数の性質に由来する問題です。
　以下では、ｈをｇの関数と考え、ｇをｘの関数と考え、ｇ（ｘ）の関数の性質に左右されない証明をします。

（証明開始）
（１）先ず、ｈをｇの関数と考え、ｈはｇが変化したときにどのくらい変化するか調べるため、ｈをｇで微分する。

ｈがｇで微分可能（（Δｈ／Δｇ）の極限が有限の値になる）なら、
Δｈが以下の式であらわされる。

（２）その場合に、以下の式が成り立つ。

（証明おわり）

　こう考えれば合成関数の微分の公式が自然に証明できます。
この証明の中には、Δｘ≠０のときにΔｇが０（真正の０）になる場合も含まれています。
（１）で考えた（Δｈ／Δｇ）は、ｇが変化する場合のｈの変化の割合を調べたものであり、ｇが変化しないならｈも変化しないと考えています。
そして、（２）では、Δｇが０になる場合も考慮されています。
すなわち、
（２）では、
Δｇ＝０なら、
Δｈ＝０になり、
（Δｈ／Δｘ）＝０
になります。

　また、変数ｘのある値で、（Δｈ／Δｘ）≠０となる場合に（Δｇ／Δｘ）＝０となる不適切な関数ｇ（ｘ）を選んだ場合は、
変数ｘのその値でΔｇが真正の０になります。それとともに、変数ｘのその値に対応するｇ（ｘ）の値では、関数ｈのｇによる微分（Δｈ／Δｇ）が無限大になろうとし、関数ｈがその値のｇでは微分可能では無くなります。
そのため、そのようにｄｇ／ｄｘ＝０とする変数ｘの値（そのｘに対応するｇ（ｘ）の値）においては、公式が適用できなくなります。
　「関数が微分可能」という条件は、このように、不適切な関数ｇ（ｘ）が使われる場合でも、変数ｘの定義域の範囲、および関数ｈを微分する変数としてのｇの値の定義域の範囲を、公式が適用できる範囲に制限することで公式を守っています。

なお、以上の証明の基礎となった以下の置き換えの公式（微分された関数が微分可能であることを前提にする）があります。これは、その他の全ての公式の証明に使えます。

【事例２】
　次に、各関数が微分可能では無い場合にどうなるかを事例２で調べます。 
以下の合成関数を考えます。

ここで、式２から、
ｘ→０
の場合に、
ｇ→０となります。

次に、以下の微分を考えます。

この式５を見ると、
ｘ→０
の場合に、関数ｇの微分が０になることがわかります。
すなわち、
Δｇ＝０（微小量より更に小さい真正の０）です。
一方、式４を見ると、
ｇ→０　（ｘ→０）
の場合に、
（ｄｈ／ｄｇ）＝±∞ になり、
関数ｈが（ｇの値が０の場合は）変数としてのｇで微分可能（確定した有限値の微分係数を持つ）では無いことがわかります。また、関数ｈは、ｇの値が０以外の値の場合は、変数としてのｇで微分可能であることがわかります。
そのため、
ｇ→０　（ｘ→０）
の場合に、
合成関数の微分の公式が成り立ちません。
公式が適用できないことは以下のように確かめられます。
式３を直接にｘで微分すれば、

になります。
その結果と、
ｘ→０　の場合に、式５から得た

とを合わせた公式の式：

は計算できません。
　一方、ｘの値が０以外の値（同時にｇの値が０以外の値）の場合は問題が無く、合成関数の微分の公式が適用できます。
（この事例からも、各関数の微分可能性が、合成関数の微分の公式に必須な条件だと分かります） 

合成関数の微分の公式は微分の連鎖律とも呼ばれています。

「ｆ（ｇ）の微分が存在し、ｇ（ｘ）の微分が存在する必要がある」という前提条件の意味を、更に以下の事例３でも考えます。

【事例３】
　以下の合成関数を考えます。

次に、以下の微分を考えます。

この式５を見ると、
ｘ→０
の場合に、関数ｇの微分（確定した有限値の微分係数）が存在しないことがわかります。
そもそも、微分をする以前に、
ｘ→０
の場合に、関数ｇはプラスマイナス無限大になるので、
ｘ＝０は関数ｇの定義域から外れます。
そのためｘ＝０では（定義域の外ですので）関数ｇは使えません。

また、式４を見ると、
ｇ→０　（ｘ→±∞）
の場合に、関数 ｆ の微分が存在しないことがわかります。

そのため、以下の計算は、
ｘ ≠ ０　（ｇ ≠ ±∞）　ａｎｄ　　ｘ ≠ ±∞　（ｇ ≠ ０）
の場合にのみ適用できます。

ｘ＝０の場合の関数 ｆ の微分については、
式３を直接ｘで微分して確かめる必要があります。

　以上の調査の結果を見ると、
合成関数の微分の公式の縛り（成立条件）である
「ｆ（ｇ）の微分が存在し（確定した有限値になる）、
ｇ（ｘ）の微分が存在する（確定した有限値になる）」
という前提条件は、
「式を０で割り算する計算をしてはいけない」
という計算の縛りと同じ様な意味を持っていることがわかります。

　すなわち、「微分可能」という前提条件は、
「０で割り算しない場合に限る」という前提条件 、
言いかえると、
「計算の違反が無い計算に限る」という前提条件、
を加えて微分の式を書くことだと考えます。

　そういう「万能の条件」を正しく組み込んで計算するならば、どの様な計算もできてしまいます。
（その条件を正しく組み込まないでその計算をまねした計算は計算違反がある誤った計算になります）
その通りに、どの様な計算もできるのが、合成関数の微分の公式やその他の公式が成り立つ根拠だと考えます。

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