微分するための極限の極意

「微分・積分」の勉強

（３）微分から極限に：
　以下の微分の問題を考えると大きな壁に直面します。

　この問題で微分を求めようと計算を進めてみます。

この式２まで計算できますが、その先には進めなくなりました。
以下の式を求める方法が無ければ、先に進めません。

この式の計算をできる方法を知ることが「極限」を学ぶということです。

（極限を学ぶ）
以下の単位円の角度を考えます。

この図の、
線分ＡＨ＝ｓｉｎθ と円弧ＡＢ＝θ の大小関係を、
それらの線分を以下の平行線で分割した微小部分の大小関係から求めます。

円弧ＡＢを平行線で分割した微小ベクトルは平行線への射影成分を持つが、線分ＡＨを平行線で分割した微小ベクトルは平行線への射影成分を持たない。
そのため、結局、式３の大小関係があります。

　次に、円弧ＡＢ＝θと線分ＴＢ＝ｔａｎθ の大小関係を、
それらの線分を以下の平行線で分割した微小部分の大小関係から求めます。

円弧ＡＢを平行線で分割した微小ベクトルの平行線への射影成分Ｐ_θ の長さよりも、線分ＴＢを平行線で分割した微小ベクトルの平行線への射影成分Ｐ_ｔ の長さの方が長い。
そのため、結局、θ とｔａｎθ の大小関係が分かりました。

この式４の大小関係と式３の大小関係を合わせて整理すると以下の式５になります。

この大小関係の式５をθで割り算した式の極限を求めます。
その計算の際に、極限では、
ｆ＜ｇ＜ｈ
が、
ｆ≦ｇ≦ｈ
となり得るので、
式５の不等号には等号も加えて以下の計算をします。

この様に、ｓｉｎθの式を間に挟み込む２つの式の極限を計算することで、
式６の様に挟みこまれたｓｉｎθの式の極限が計算できました。
これが「極限」の極意（奥義）です。

（注意）この計算は、厳密には、θ＜０の場合も確認する必要があります。

　この式６を使うと、先に途中まで考えた微分の計算を進めることができ、以下の式７まで微分を計算することができました。

リンク： 
高校数学の目次