複素数平面の問題を図形で解く（２）

【問題】
　下図のように半径１の円に内接する三角形ＡＢＣがある。この場合に、点Ａから辺ＢＣに下ろした垂線の足の点をＤとし、点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの複素数平面での位置の値をＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄとすると、以下の式１の関係が成り立つことを示せ。

【ベストな解答】
(1)式１は、三角形ＣＡＥと三角形ＤＡＢが相似であるという関係を示している。
(2)円周角の定理より、∠ＣＥＡ＝∠ＣＢＡ
(3)２つの頂角が等しいので、△ＣＡＥ∽△ＤＡＢ
(4)よって、式１が成り立つ。

【解答（その２）】
　式１を図形的に証明しないで複素数で計算しようとすると、以下のように苦労します。
　あまり推薦できませんが、複素数の計算による解答を以下に書きます。

（１）先ず、この図のままだと、複素数の計算が難しいので、この図形を以下の図に回転させて、それから計算する。
（この形に整えることが解答のポイントです）

式１は、式２の形に書き換えることができる。
（２）この式２を以下のように変形していく。 

この式３は確かに成り立っている。
（３）そのため、この式３から始めて、上の式２に至るまで、順番に式を変形して式２を導き出すことで、この問題の解答とする。
（解答おわり）

（補足）
　この問題を複素数の計算問題として解く場合に、上の図のように整えた配置に図形を回転させてから問題を解く必要があります。そうしないと、解くことが困難になるからです。
　そういう図形の操作もしなければ解けないことから考えると、この問題は、複素数の計算をするよりは、図形の証明問題として解く方が優れた解答であると考えます。

　複素数平面の問題は、なるべく図形で解くべし。

（補足２）
　式１は、以下の式４に変形できます。

(1)式１を、三角形ＣＡＥと三角形ＤＡＢが相似であることから導き出して、
(2)その式を式４に変形して使う。
これを覚えておくと何かの計算に役立ちそうです。 

三角形ABCの外心をGとして、
下図の様に、三角形ABCを平行移動して点Aを複素数平面の原点にすると、この式４は以下の式５で表せます。

ただし、複素数平面での各点の位置を表す複素数を、それぞれ、Ｃ，Ｂ，Ｇ，Ｄとする。
この式は、点Ａから辺ＢＣまで引いた垂線ＡＤのベクトルを複素数であらわす式であるとも解釈できます。
上図の様に点Ａを原点にした場合の垂線ＡＤのベクトルを表す公式は、以下の式６ですが、

外心の複素数を使うと式５から導いた単純な式で垂線の式が表せる。
また、外心の複素数の式も、垂線の複素数を使った以下の単純な式で表せます。

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