2017年9月28日木曜日

複素数平面の問題を図形で解く

【問題】
 下図のように半径1の円に内接する三角形ABCがある。この場合に、
点Aから辺BCに下ろした垂線の足の点をDとし、点A,B,C,Dの複素数平面での位置の値をA,B,C,Dとすると、以下の式1の関係が成り立つことを示せ。

【ベストな解答】
(1)式1は、三角形CAEと三角形DABが相似であるという関係を示している。
(2)円周角の定理より、∠CEA=∠CBA
(3)2つの頂角が等しいので、△CAE∽△DAB
(4)よって、式1が成り立つ。

【解答(その2)】
 式1を図形的に証明しないで複素数で計算しようとすると、以下のように苦労します。
 あまり推薦できませんが、複素数の計算による解答を以下に書きます。

(1)先ず、この図のままだと、複素数の計算が難しいので、この図形を以下の図に回転させて、それから計算する。
(この形に整えることが解答のポイントです)
式1は、式2の形に書き換えることができる。
(2)この式2を以下のように変形していく。 
この式3は確かに成り立っている。
(3)そのため、この式3から始めて、上の式2に至るまで、順番に式を変形して式2を導き出すことで、この問題の解答とする。
(解答おわり)

(補足)
 この問題を複素数の計算問題として解く場合に、上の図のように整えた配置に図形を回転させてから問題を解く必要があります。そうしないと、解くことが困難になるからです。
 そういう図形の操作もしなければ解けないことから考えると、この問題は、複素数の計算をするよりは、図形の証明問題として解く方が優れた解答であると考えます。

 複素数平面の問題は、なるべく図形で解くべし。

(補足2)
 式1は、以下の式4に変形できます。
(1)式1を、三角形CAEと三角形DABが相似であることから導き出して、
(2)その式を式4に変形して使う。
これを覚えておくと何かの計算に役立ちそうです。

リンク:
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