複素数平面の問題を図形の平行移動で解く

先ず、ベクトルの問題の解を、図形の平行移動で変換して一般的な解に変換する例を見てみます。
【問１】
　三角形ＯＡＢＣの垂心Ｄの位置ベクトルを、ベクトルＯＡと、それに垂直なベクトルｈとであらわせ。
なお、点Ｏは原点、頂点Ａ，Ｂの座標は、
点Ａ（ａ，０）、点Ｂ（ａ_１，ｈ）とする。

【解答】
ベクトルＯＢを、ベクトルＯＡ＝ａと、それに垂直なベクトルｈとであらわす。

求める位置ベクトルＯＤは、以下の式（２）であらわせ、更に、式（３）でベクトルａとｈであらわせます。この式で係数ｋが未知数です。 

三角形の点ＡからＤまでいたるベクトルｑは、以下の式で計算できる。

三角形の一辺ＯＢのベクトルｂとそれに垂直なベクトルｑの間には、以下の式（５）の関係がある。この式（５）に式（１）と（４）を代入して計算する。

式（６）を更に変形する。

式（７）で求めた未知数ｋを式（２）に代入して求める位置ベクトルｄが式８で得られた。

（問１の解答）

（図形を平行移動させる）
以上の解答は、三角形OABの頂点Oが原点にある場合の解答でした。
三角形が平行移動して頂点O（頂点C)が原点から外れた位置に平行移動した場合の解に変換してみます。

ベクトルＡは点Ａの位置ベクトル、
ベクトルＢは点Ｂの位置ベクトルとして、
ベクトルＤは点Ｄの位置ベクトルとして、
その解の変換は、式８は以下の式８ａに変換できます。

 この式８ａの左辺と右辺の各点の位置ベクトルは、点Ｃの位置ベクトルとの差であると解釈できます。

こうして、点Ｃの位置を原点以外の点に平行移動した場合の点Ｄの位置ベクトルを与える式８ｃが導かれた。

 　次に、複素数平面の問題を、図形の平行移動で解く。
【問２】

上図のように、三角形ＡＢＣの各頂点の複素数平面での座標をα､β、ɤとすると、
この三角形の外心Ｐの座標が上式であらわされる場合に、ベクトルPMがベクトルABに垂直なベクトルになる事を示せ。

【問２の解答】
　β＝０となるように図形を平行移動してベクトルPMを計算する。

ベクトルPMをあらわす複素数は、ベクトルBAをあらわす複素数αの虚数倍である。そのため、ベクトルPMはベクトルBAに直交することが示せた。
（解答おわり）

この式（式１）を使って、外心Pの座標を表す複素数ρの式を以下の式２であらわす。

次に、この式２を、βを０で無い値に戻した図形での解に変換する。
式２の左辺および右辺の複素数が表す点の位置ベクトルを、点Ｂの位置ベクトルとの差に置き換えてあらわす。
α→（α－β）
ɤ→（ɤ－β）
ρ→（ρ－β）
という、βとの差の式（それは平行移動でβが変わっても値が変わらい式）に変換する。

３つの複素数の交代式の簡単化公式によって、

であることを利用して、

が得られる。
以上の計算によって、図形を平行移動した場合の複素数の式４が得られた。
（平行移動を利用した変換おわり）

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