３つの複素数の交代式の簡単化公式

　対称式とは，どの2つの変数を入れ替えても元の値と変わらない式のことです。　対称式に似た交代式があります。　交代式とは，どの2つの変数を入れ替えても −1 倍になるような式のことです。

　以下では、３つの複素数の交代式を簡単化して扱い易くする公式を考えます。 

「交代式は常に差積と対称式の積でかける」
ハズなのですが、
共役複素数も混じっている交代式では、そうはいきません。

【公式１】
（１）先ず、以下の交代式の公式が成り立ちます。

（２）以下の交代式は、以下の式に簡単化できます。
ただし、この簡単化の公式を引き出すために、
以下の簡単化した例によって、この公式を把握します。

この式によって、この公式の本質を把握します。

以下の式の変形は、この本質に沿って式が変形できます。


（補足１）
　３つの複素数の交代式は、最初の形の式や、途中で導いたIm（）の形で表した交代式よりも、上式のようにIm（）の中に積の形で表した式にした方が、式が簡単であり、扱いやすい利点があります。

（補足２）
　この３つの複素数の交代式は、以下の図の三角形の面積に比例しています。

　上式のような３つの複素数の交代式をIm（）の形で表した展開した交替式で表すよりも、先の式の様に、Im（）の中に１つの積がある形で表した式（その式の表現は複数あるが）の方が、積の演算を１つしか必要としない式だから、式が簡単になります。
　それは、「三角形の面積と行列式」の場合に式を展開しない方が式が簡単になるのと同じです。 

【公式２】
（１）以下の交代式の変換の公式が成り立つ。

（公式２（１）計算その１おわり）
これは、以下の様に計算することもできます。

（公式２（１）計算その２おわり）

また、この公式は、以下の様に考えて見つけることもできます。

 この関係を満足する式は、もしかしたら、以下の式ではないか？

（２）この公式（１）から、以下の公式が成り立つ。

（３）また、公式（１）から、以下の公式も成り立つ。

（４）また、（１）の式から、各変数が一斉にδだけ増す場合に、Ｕ／Ｄもδだけ増す：

というように、式Ｕ／Ｄも、同じくδだけ増す。
この式Ｕ／Ｄは、三角形の外心を表すという意味を持つ。

（５）以下の３つの複素数の変換公式も成り立つ。

（６）以下の３つの複素数の変換公式も成り立つ。

（７）以下の４つの複素数の変換公式も成り立つ。

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