複素数平面で円周角の定理を示す

【課題】
　円周角の定理をあらわす以下の複素数平面の図を考えて、以下の式の形で円周角の定理があらわされることを計算して試してみましょう。

（注意）　オイラーの定理「ｅｘｐ（ｉβ）＝（ｃｏｓβ＋ｉｓｉｎβ）」は、前提条件として使ってください。
この問題の目的はオイラーの定理を証明することでは無く、
（ｃｏｓβ＋ｉｓｉｎβ）をｅｘｐ（ｉβ）であらわした方が式が簡潔だからです。

【解答方針】
　図形の考察によって問題を解き、次に、「複素数と共役複素数の比が単位円上にある公式」を利用して、図形の考察で得た解をなぞって複素数の計算をします。

 
【複素数と共役複素数の比が単位円上にある公式】
　複素数αとそれに共役な複素数との比の値（複素数）は、以下の式のように、実数Φの媒介変数で表される、複素数平面の単位円上の点です。

（公式おわり）
この式は、「共役複素数の役割」のページで表した、複素数の単位ベクトルの偏角を−２倍にした単位ベクトルを表します。

【解答】
　図形の考察によって、ベクトル(zg)とベクトル(zh)の成す角βの２倍が、ベクトルｇとベクトルｈの成す角度になる事を知っています。
その図形の定理を複素数平面の計算の形で表します。
　それは、以下のように、複素数の偏角のみの性質を持つ単位ベクトルの式（共役複素数との比で表せる）で表します。

以上の計算によって、ベクトル(zg)とベクトル(zh)の成す角βの２倍を計算した結果が、ベクトルｇとベクトルｈの成す角度になった。
すなわち、ベクトルｚの位置にかかわりなく一定の角度になり、円周角が一定である事を示した。
（解答おわり）

（補足）
　この問題は、図形の考察で問題が解け、その解を複素数の計算の形で示したものである。複素数の式を計算する前に図形問題の解を得ているからこそ、あたかも複素数の計算で解が得られたように解が表現できた事に注意すること。
　すなわち、先ず、円の中心からのベクトルを使った図形の考察で円周角の定理が証明できたからこそ、円の中心を原点にした複素数で問題をあらわした。
　また、円周角の２倍がベクトルｇとベクトルｈの成す角であるからこそ、円周角の２倍の角度が得られる複素数の式を記述して式を計算した。その式の答えが(g/h)になるハズだから、(g/h)とその他の項の積で式を記述し、その他の式が１になるまで式を変形しただけである 。
　そうせずに、複素数平面の複素数の計算式をただ変形するだけの試行錯誤の計算の道を進むことで円周角の定理を証明しようと、計算の見通しが悪く、計算の森で迷子になってしまう事が多く、そのやり方で円周角の定理を証明しようとするのはとても難しい。
　このように、(1)どの複素数で問題を記述するべきかの知識や、(2)どの式を計算に使うべきか、そして、(3)どの様に計算を進めるべきであるかの知識は、図形の考察によって先行して与えられている。複素数の計算よりも図形の考察の方が視野が広く融通性があり、常に先行するものである。
　複素数平面の複素数の式の計算は、その図形の、補助線を引いて図形の性質を導き出す考察プロセスを、複素数の加減乗除を計算するという抽象化したプロセスで表現しているだけと解釈でき、問題の答えを導き出す発想の源泉は、図形の考察から生み出される。

リンク：
ベクトルの内積で円周角の定理を確認する
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複素数と共役複素数の比が単位円上にある公式

複素数αとそれに共役な複素数との比の値（複素数）は、以下の式のように、実数Φの媒介変数で表される、複素数平面の単位円上の点です。

この式は、「共役複素数の役割」のページで表した、複素数の単位ベクトルの偏角を−２倍にした単位ベクトルを表します。

【問１】
複素数平面上の原点以外の相異なる２点Ｐ（α），Ｑ（β）を考える。
Ｐ（α），Ｑ（β）を通る直線をｍ，原点から直線ｍに引いた垂線と直線ｍとの交点をＲ（ｗ）とする。
（ｗは点Ｒを表す複素数である）
このとき、
「ｗ＝αβであるための必要十分条件は，Ｐ（α），Ｑ（β）が中心Ａ(1/2)，半径（1/2）の円周上にあることである。」
を示せ。
（2000年：東京大学）

【注意】
以下の解答例は、上記の公式の適用例とするために、このページに記載します。
この問題を自力で解きたい人は、以下を見ずに自力で問題を解いた後で、このページに戻って来てください。

【解答例】
原点Ｏから直線ｍへ下した垂線の足Ｒの複素数ｗは、
垂線の足までの複素数のベクトルの公式によって、
以下の式で表せる。
（解答には、ｗがこの式で表される根拠をもう少し詳しく書いてください）
そのため、ｗ＝αβの場合に以下の式が成り立つ。

（ここで、θとΦは、上記の公式によって導入した実数のパラメータです。）
この式によって、βは、中心Ａ(1/2)，半径（1/2）の円周上にある。

　同様にして、αも、中心Ａ(1/2)，半径（1/2）の円周上にある。

 
　この解答の続き：

逆に、「αとβが、中心Ａ(1/2)，半径（1/2）の円周上にある場合にｗ＝αβが成り立つ」事は、

各自で証明してください。

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さいころの目で作る直線の方程式

以下の問題は、注意深く数えあげないと答えを間違え易い問題です。
【問１】
１個のさいころを３回なげる。そのさいころの目の数を順にａ，ｂ，ｃとする。
そのさいころの目の数を使って直線の方程式：
ａｘ＋ｂｙ＝ｃ，
を作る。
この直線の方程式は、係数をｋ倍した直線の方程式：
ａｋｘ＋ｂｋｙ＝ｃｋ，
と同じになります。
ｋ≠１とした係数ａｋ，ｂｋ，ｃｋがさいころの目には当てはまらない場合の確率を求めよ。

この問題の解答はここをクリックした先にあります。

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