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【問１】
平行四辺形ABCD内の1点Pを通り,各辺に平行線を引き辺AB,CD,BC,DAとの交点を,順にQ,R,S,Tとする。2直線QS,RTが点Oで交わる時,3点O,A,Cは1つの直線上にあることを示せ。
この問題の解答はここをクリックした先にあります。問題の本質を的確に把握して証明する、ベクトルの概念を用いた証明方法を示しました。
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メネラウスの定理の証明：線の垂直線への射影の利用
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（どの有理数のｘの位置でも微分不可能な連続関数）
下図のグラフの関数は連続関数で、関数の極限が存在するが、でこぼこしていて、でこぼこがｘのあらゆる有理数にまで在り、どの有理数のｘの位置においても微分不可能な関数です。
上図のグラフのよう微分不可能な位置（ｘ＝有理数の点）が無限にある関数であっても、その積分範囲で１つながりに連続な関数は、積分はできます。
元の関数が連続関数等の、関数の極限が存在する関数の場合は、その関数を積分した関数は微分可能な関数になります。
こうして、極限が存在して１つながりに連続な関数を積分して関数群を作れば、その関数群は皆、微分可能な関数であることが保証されます。
（どの様な関数ｆ（ｘ）を積分しても得られない連続関数Ｆ（ｘ））
連続関数であり、かつ、あらゆるところで微分不可能な関数であるワイエルシュトラス関数等は、どのような関数ｆ（ｘ）を積分しても得ることができません。
（極限が存在しない点が無限にあり、積分不可能な関数）
しかし、下のグラフの関数ｆ（ｘ）のように、どの位置においても関数の極限が存在しない関数もあり得ます。
例えば、
ｘが有理数の場合にｆ（ｘ）＝０であって、
ｘが無理数の場合のｆ（ｘ）＝１
という、極限が存在しない関数ｆ（ｘ）などです。
（ｆ（ｘ） ≡ １－ディリクレ関数）
そういう、極限が存在しない関数ｆ（ｘ）を積分して関数Ｆ（ｘ)を得た場合（もし積分できた場合）、その積分により得られた関数Ｆ（ｘ）は微分可能だろうか。
そもそも、微分の計算は極限を求める計算なので、その関数ｆ（ｘ）が積分できても、その積分した関数Ｆ（ｘ）を微分した場合に、元の関数ｆ（ｘ）は（極限値が存在しないので）、微分によっては得られないと考えます。
この関数ｆ（ｘ）の変数ｘ＝ｘ１からｘ＝ｘ２までの変数ｘの閉区間をｎ等分した小区間を作り、その小区間毎にｆ（ｘ）の値ｆ（ξ）を求めて、その値の和で積分します。
（１）その際に、 変数ｘ＝ξが全て有理数なら、ｆ（ξ）＝０になり、積分結果は０になります。
（２）一方、変数ｘ＝ξが全て無理数√２の有理数倍なら、ｆ（ξ）＝１になり、積分結果は（ｘ２－ｘ１）になります。
（３）小区間内の点ξの取り方によってｆ（ξ）の和による積分結果が変わるような計算の値は定かでは無いので、その様な関数ｆ（ｘ）は積分することができません。
（但し、無理数は有理数の可付番無限大倍よりも多く圧倒的に多い無理数を優先して計算するルベーグ積分という定義もあります。）
（極限が存在しない点が無限にあり、積分可能な関数）
上図のノコギリ関数ｇ（ｘ）を使って以下の関数を作ります。
この関数ｆ（ｘ）は、以下のｘ座標で極限が存在しない。
その他、
ｘ＝奇数／（整数×２）
の点では極限値が存在しない。
しかし、この関数ｆ（ｘ）は積分できて、連続関数Ｇ（ｘ）が得られる。
積分結果の連続関数Ｇ（ｘ）は微分できるｘの値がある。
（関数Ｇ（ｘ）は、元の関数ｆ（ｘ）の極限が存在しない有理数のｘの値では、微分不可能です）
関数Ｇ（ｘ）の微分結果は、以下の関数ｇ２（ｘ）を使ってあらわすことができる。
微分結果のグラフは、以下のｆ２（ｘ）のグラフになります。
ただし、このｆ２（ｘ）のグラフは、関数ｆ２（ｘ）の極限が存在しない有理数のｘの値では、このグラフｆ２（ｘ）が不連続であり、かつ、グラフｆ２（ｘ）の関数値が存在しない。
この関数ｆ２（ｘ）は、連続で無い点では関数値が存在しないが、関数ｆ（ｘ）は、連続で無い点でも関数値が存在します。
その点で、関数ｆ２（ｘ）が、積分以前の関数ｆ（ｘ）と異なっています。
しかしながら、「微分可能」な変数ｘの値での関数ｆ２（ｘ）の値は積分以前の関数ｆ（ｘ）の値と同じになります。
おもしろいことに、この関数ｆ２（ｘ）のグラフは、
ｘ＝無理数の位置で「連続」です。
そのｘの無理数の値から無限に小さい距離の近くにも有理数の値のｘの連続で無い点があるにもかかわらずです。
このように、微分積分学では、あらゆる関数に微分積分を行う理論を作ろうとすると、いろいろな難しい問題があることがわかりました。
積分前の関数ｆ（ｘ）と、微分前の関数Ｆ（ｘ）との、変数ｘの一部の定義域での微分積分のあり得る関係が以下の図であらわせます。
（上図で、関数ｆ２（ｘ）は、除去可能な連続で無い点を除去した関数です。関数Ｆ（ｘ）は、関数Ｆ（ｘ）の連続で無い点を除いた変数ｘの範囲でｆ（ｘ）の不定積分であるとともに、ｆ２（ｘ）の不定積分でもあります）
このように、関数の連続で無い点がらみで、関数ｆ（ｘ）とＦ（ｘ）の間に難しい関係があることが分かりました。
微分積分学で、難しい問題が生じない関数の範囲を把握して、その範囲内で微分積分の計算をすることで、応用上で微分積分を使い易くできます。
そのため、使い易い関数として、極限が存在し、かつ、１つながりに連続な「連続関数」
を主に扱う対象にし、また、「微分可能性」で関数の変数の定義域を制限して、微分積分を行う範囲を制限します。
（ただし、連続関数というｘの演算式が存在するわけでは無く、関数のグラフに連続で無い点が無い変数ｘの範囲を定義した定義域に制限して考える関数が連続関数と定義されます）
その範囲内で成り立つ法則を把握して、種々の公式を導き出して使うことで微分積分学を最大限に応用できるようになります。
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樹形図の基本ルール：
《基本ルール》
(1)樹形図を横断する枝の総和（太さ）は常に一定。
(2)発生確率が同じ事象の樹形図の枝の太さは同じ。
(3)樹形図は、根元から枝先まで一定の太さの糸を根元側で束ねた、糸の集合でもある。１本の「糸」は、事象の連鎖の１つの場合を表す。
(4)樹形図の根から展開した複数の枝を書き、その先で、複数の枝をいったん節に束ねて糸の束を再編成して再度複数の枝（個々の枝は複数の糸の束で作る）に展開することもできる。
樹形図の糸の束を、以下の例題のように解釈して問題を解くことができます。
【例題０】
白球３個と赤球２個の入っている袋から、 1個ずつ順に、取り出 した球はもとに戻さずに、３個の球を取り出した。３番目の球が赤球である確率を求めよ。
〔初期の考察１〕
３個の白球と２個の赤球を合わせた５個の球１つ１つを対等な球であると区別して考える。球の色分けはその対等な球に追加した付加的な区別であると考える。
そう考えると、その５個の球の各球を取り出す確からしさは、５つの球の番号に影響されずに同様に確からしい性質を持つ。そして、下図の樹形図（樹形図の一部のみを表す）が書ける。
上図の樹形図は、取り出 した球はもとに戻さずに３個の球を順に取り出す場合を表す樹形図の糸の束の一部（１番目の球が赤球１の場合のみ）を表している。この樹形図の糸（事象の連鎖）の１本１本が同じ確からしさを持ち、どの糸の太さも同じになります。各糸（事象の連鎖）は、取り出す球の番号で示した数字の連鎖（例えば1, 2, 3）と等価である。それは、最小単位の「場合」を表し、その糸の総数が全ての「場合の数」を表す。
【単純化した樹形図】
上図の事象の連鎖の糸を１２本書くよりは、
この事象の連鎖１２個を、
(1,2,3)
(1,2,4)
(1,2,5)
(1,3,2)
(1,3,4)
(1,3,5)
(1,4,2)
(1,4,3)
(1,4,5)
(1,5,2)
(1,5,3)
(1,5,4)
とあらわす方が単純になる。
これは、以下のように単純化した樹形図であらわせる。
このように、事象の連鎖を併記すると、樹形図が単純な形であらわせる。
この事象の連鎖の糸の１本の太さを１とすると、１番目に取り出す球が赤球１（球１）である糸の束の太さが、
４×３＝１２
になります。それは、１番目に取り出す球が赤球１（すなわち球１）である場合の数が１２であることを意味する。
〔考察２〕次に下図を考える。
上図の、樹形図の一部の表示では、３番目の球が赤球１（球１）の場合の糸（事象の連鎖）の束を表している。
【例題０の解答】
事象の連鎖を併記して単純化した形の樹形図は下図になる。
このように単純な形で樹形図をあらわせる。
３番目に取り出す球が赤球１（球１）である場合の樹形図の糸の束の太さは、４×３＝１２になります。それは３番目に取り出す球が赤球１（球１）である（事象の連鎖の）場合の数が１２であることを意味する。
３番目に取り出す球が赤球２（球２）の場合の樹形図も加えて、更に、３番目が白球である場合も加えて、樹形図を完成させると、完成した樹形図では、
３番目の束が赤球で束ねられる束の太さと、
白球で束ねられる束の太さと、
の比（場合の数の比）が
（４×３×２）：（４×３×３）
＝（１２×２）：（１２×３）
＝２：３
になります。
よって、
３番目の球が赤球である確率＝
＝２／（２＋３）
＝２／５
になります。
（例題０の解答おわり）
樹形図は、最細の糸という基本単位の糸を束ねて構成されます。
「糸」の１つは、事象の連鎖であり、樹形図の根元から枝までひとつながりである糸です。その糸を具体的に表現する方法は、各試行毎の事象の番号の連鎖：各試行毎に取り出す球の番号の連鎖（1 2 3）であらわすことができます。
先の樹形図は以下の樹形図として描くこともできます。
更に、以下の樹形図として描くこともできます。
もっと変形した以下の樹形図として描くこともできます。
３番目に球を取り出す事象を最初に考えて樹形図を解釈することは、３番目に球を取り出した球が何になるかの場合の数を求めて確率を計算することと等価です。
場合の数を使って確率を計算するならば、球を取り出す試行の順番に依存せずに確率を計算できます。
樹形図の糸を網羅して把握できる場合は、場合の数を使った計算と等価な計算ができるため、３番目に球を取り出す試行を最初の試行として計算しても正しい確率の値を計算することができます。
この様に、樹形図の「糸」が貫く、１番目と２番目と３番目の各試行の結果の各事象のセットを、その各試行を順番通りに考えないでも、正しい確率の値を計算することができます。
【樹形図を編集する例題１】
赤玉５個、白玉３個ある袋から一つの玉を取り出し、その玉を戻さずに２回目に他の玉を引く問題の場合の樹形図。
この問題では、以下の単純化した樹形図が描ける。
《よくある間違い》
以下の例題２では、よくある間違いだけを指摘し、正解は省略する。
【例題２】
箱の中の1〜10までの整数が1つずつ書かれた10枚のカードのうちから１枚取り出し、記録し箱に戻すという操作を3回繰り返す。最小値が6になる確率を求めよ。
【間違い】
以下の樹形図の確率の和を求める。
(6,x,x)のうちの(6,6,x)と、
(x,6,x)のうちの(6,6,x)が
ダブっています。
そのため、この３つの確率の和を取る計算は間違いです。
（誤りの解説おわり）
【例題３】
１枚の硬貨をくりかえし投げ、表が２回出たら賞品がもらえるゲームをする。ただし、投げられる回数は６回までとし、２回目の表が出たらそれ以上は投げない。１回目には裏がでるが結局は商品がもらえることになる場合の確率を求めよ。
【解１】
下図のような、事象の連鎖を併記した樹形図を書いて問題を整理する。
この樹形図での事象の連鎖の記号の意味は、硬貨の表が出る事象を１とし、裏が出る事象を０とした。
この樹形図は、
３回で商品を獲得する事象、
４回で商品を獲得する事象、
５回で商品を獲得する事象、
６回で商品を獲得する事象、
の順に、事象の連鎖のバラエティを並べた樹形図である。
このような樹形図を書けば、以上の計算式によって、確率が計算できる。
（解１おわり）
【解２】
下図のような、事象の連鎖を併記した樹形図を書いて問題を整理する。
（解２おわり）
《解答の基本》
玉を選ぶ確率の問題を解くための根本的な考え方は、以下の考え方である。
(1)全ての玉は１つ１つに名前が付いていて異なっていると考えるべき。その個性のある個々の玉に係わる計算によって問題を解くべき。
(2)計算は、必ず、それらの個性のある個々の玉に結び付けて行うべき。
(3) そして、「複数の玉を同時に取り出す確率の問題とコンビネーションを用いて良い定理」のサイトの結論により、「同時に」玉を取り出す問題であっても、その玉を、時間差をもうけた「順番に」取り出す問題と考えて問題をわかり易くして解くのが良い。
《補助線（縦線）を使った樹形図》
【例題４（その１）】
１個のサイコロをｎ回振る｡
ｎ≧２のとき、１の目が少なくとも１回出て、かつ２の目も少なくとも１回出る確率を求めよ。
【解答】
下図のような、事象の連鎖を併記した樹形図を書いて問題を整理する。
この樹形図では、補助線として縦線を用いる。その縦線中で〇付けした枝の太さの合計を縦線の下に記載した。
①では、横線の枝の束の太さから、分岐枝の太さを引き算することで、残りの分岐枝の太さを求めた。
②では、第２の縦線の太さから、横の分岐枝の太さを引き算することで、残りの横の分岐枝の太さを求めた。
③では、第１の縦線の太さから、横の分岐枝の太さを引き算することで、残りの横の分岐枝の太さを求めた。
以上のように、順次に枝の太さを計算することで、網羅的に枝の太さが計算できる。例題３（その１）の解答の確率の値は、③で求めた分岐枝の太さの値である。
（解答おわり）
【例題４（その２）】
１個のサイコロをｎ回振る｡
ｎ≧３のとき、１の目が少なくとも２回出て、かつ２の目も少なくとも１回出る確率を求めよ。
【解答】
例題４（その１）で作成した樹形図を延長した下図のような樹形図を書いて問題を整理する。
④では、縦線の枝の束の太さから、横の分岐枝の太さを引き算することで、残りの横の分岐枝の太さを求めた。
⑤では、横の幹の太さから、④で求めた横の分岐枝の太さを引き算することで、残りの横の分岐枝の太さを求めた。
以上のように、順次に枝の太さを計算することで、網羅的に枝の太さが計算できる。例題３（その２）の解答の確率の値は、⑤で求めた分岐枝の太さの値である。
（解答おわり）
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