【問】以下の図で三角形ＡＢＣがある。その辺（延長線）上に図のようにＤＦ点を置く。直線ＡＣと線ＤＦの交点をＥとする。この場合に、比ｓ＝ＣＥ／ＥＡを求めよ。
【解答】
以下では、線ＤＦに垂直なベクトルＶへの各ベクトルの射影を見て交点Ｅにおける比ｓ＝ＣＥ／ＥＡを求める。
（そのベクトルの射影の長さは、線ＤＦを水平線とした場合のベクトルの高さです）
（解答おわり）
上の解答では、ベクトルＦＢの高さをｚとして、図に順次に、水平線ＤＦに対する各点の高さを書き込みました。
この問題の解答は④の計算までで終わりですが、
⑤の式のように、計算結果を整理すると、メネラウスの定理が導けました。
この問題はメネラウスの定理の応用問題だったのです。
このように、線の垂直線への射影を利用すれば、メネラウスの定理が自然に導けるので、メネラウスの定理を覚えるよりは、線の垂直線への射影の利用方法を優先して覚えてください。
（ベクトルＢＤとベクトルＤＣは逆方向なので、線分の長さの比はマイナスとして計算し、積がマイナス１になる式が正確なメネラウスの定理です。
しかし、この積をプラス１とした式でメネラウスの定理があらわされる場合が多いので、メネラウスの定理の表現は不正確だと思います）
また、メネラウスの定理の問題点は、以下のあいまいさもある事です。以下の図は全てメネラウスの定理です。これらの場合を全て証明しましたか？
（メネラウスの定理は、三角形ＡＢＣの所定の辺を、１本の点線で表される直線に交わるまで延長した図形の定理です。点線が元の三角形ＡＢＣに交わる場合（内メネ）と交わらない場合（外メネ）との２種類があります。）
【メネラウスの定理の定義】
高校数学でのメネラウスの定理の定義があいまいです。定理の定義がはっきりしないので、それは、定理の形を成していません。
そのため、以下でメネラウスの定理の定義を明確にします。
メネラウスの定理は：
（１）上の４つの図において、三角形ＡＢＣの各辺毎の３つの直線ＡＢ，ＢＣ，ＣＡと、点線で表した１つの直線ＤＥ（水平線）との、各直線同士の交点Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄ,Ｅ,Ｆを定める。
（２）三角形ＡＢＣの各辺毎の３つの直線上における、交点間の線分の長さの間に、以下の関係がある。
（２ａ）全ての交点を、三角形ＡＢＣの各辺毎の３つの直線同士の交差点である（頂点）Ａ，Ｂ，Ｃと、その（頂点で無い点）Ｄ，Ｅ，Ｆとに分類する。頂点で無い点は、（水平線の点）です。
（２ｂ）そして、全ての交点を、三角形ＡＢＣの各辺毎の３つの直線上をたどる（４つ目の点線ＤＥはたどら無い）一筆書きの様な順（線の重なりはOK）で、以下の順に交点を選んで、定理の式を書く。
(頂点)→(水平線の点)→
(頂点)→(水平線の点)→
(頂点)→(水平線の点)→(最初に選んだ頂点)
の順に点を選んで、その定理の式を定義する。
例えば：
(頂点Ａ)→(水平線の点Ｆ)→
(頂点Ｂ)→(水平線の点Ｄ)→
(頂点Ｃ)→(水平線の点Ｅ)→(最初に選んだ頂点Ａ)
の順に選ぶ。
以下の式のように、その選んだ順に点を結んだ線分の間の式を記述し、その式の値を１とする。（ただし、線分の正負の方向性は定めないものとする）
この式がメネラウスの定理を表す。
（メネラウスの定理の定義おわり）
《補足》
メネラウスの定理を表す上の式は、このページの一番上の図を使って解釈し、以下の関係式を変形した式であると解釈できる。
（点線で表した）水平線ＤＦの垂直線へ射影した：
｛（点Ａの高さ）／（－点Ｂの高さ）｝
｛（点Ｂの高さ）／（－点Ｃの高さ）｝
｛（点Ｃの高さ）／（－点Ａの高さ）｝＝－１
《メネラウスの定理の適用の仕方》
与えられた図形に、メネラウスの定理の定義に従って、以下の様にメネラウスの定理を当てはめれば良い。
（１）長さが書き込んである３つの直線を求める。（線分の長さの比がわかっている２つの直線と、線分の長さの比を求めたい１つの直線を定める）
（２）その３つの直線に交わる４つ目の直線を抽出し、それを水平線と認識する。その４つ目の直線と先の３つの直線との交点だけで全ての点が表せるならば、メネラウスの定理が適用できる。
（３）それら４つの直線の全ての交点を、３つの直線同士の交差点である３つの（頂点）と、それ以外の、４つ目の直線（水平線）上の点（水平線の点）とに分類する。（頂点以外の３つの水平線上の点が存在し、３つの水平線上の点が１直線上に並ぶことが、その図形にメネラウスの定理が適用できる条件である）
（４）全ての交点を、３つの直線上をたどる（水平線はたどら無い）一筆書きの様な順（線の重なりはOK）で、以下の順に交点を選んで、定理の式を書く。
(頂点)→(水平線の点)→
(頂点)→(水平線の点)→
(頂点)→(水平線の点)→(最初に選んだ頂点)
の順に点を選んで、メネラウスの定理の式を書く。
（注意）最初に選ぶ点は（水平線の点）では無いことに注意。
また、定理の式を書くとき、
分母から分子の順に式を書いても良いし、
分子から分母の順に式を書いても良い。
リンク：
メネラウス・チェバの定理のちょっとした小手技(pdf)
３点が１直線上にある証明
高校数学の目次
【解答】
以下では、線ＤＦに垂直なベクトルＶへの各ベクトルの射影を見て交点Ｅにおける比ｓ＝ＣＥ／ＥＡを求める。
（そのベクトルの射影の長さは、線ＤＦを水平線とした場合のベクトルの高さです）
上の解答では、ベクトルＦＢの高さをｚとして、図に順次に、水平線ＤＦに対する各点の高さを書き込みました。
この問題の解答は④の計算までで終わりですが、
⑤の式のように、計算結果を整理すると、メネラウスの定理が導けました。
この問題はメネラウスの定理の応用問題だったのです。
このように、線の垂直線への射影を利用すれば、メネラウスの定理が自然に導けるので、メネラウスの定理を覚えるよりは、線の垂直線への射影の利用方法を優先して覚えてください。
（ベクトルＢＤとベクトルＤＣは逆方向なので、線分の長さの比はマイナスとして計算し、積がマイナス１になる式が正確なメネラウスの定理です。
しかし、この積をプラス１とした式でメネラウスの定理があらわされる場合が多いので、メネラウスの定理の表現は不正確だと思います）
また、メネラウスの定理の問題点は、以下のあいまいさもある事です。以下の図は全てメネラウスの定理です。これらの場合を全て証明しましたか？
（メネラウスの定理は、三角形ＡＢＣの所定の辺を、１本の点線で表される直線に交わるまで延長した図形の定理です。点線が元の三角形ＡＢＣに交わる場合（内メネ）と交わらない場合（外メネ）との２種類があります。）
【メネラウスの定理の定義】
高校数学でのメネラウスの定理の定義があいまいです。定理の定義がはっきりしないので、それは、定理の形を成していません。
そのため、以下でメネラウスの定理の定義を明確にします。
メネラウスの定理は：
（１）上の４つの図において、三角形ＡＢＣの各辺毎の３つの直線ＡＢ，ＢＣ，ＣＡと、点線で表した１つの直線ＤＥ（水平線）との、各直線同士の交点Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄ,Ｅ,Ｆを定める。
（２）三角形ＡＢＣの各辺毎の３つの直線上における、交点間の線分の長さの間に、以下の関係がある。
（２ａ）全ての交点を、三角形ＡＢＣの各辺毎の３つの直線同士の交差点である（頂点）Ａ，Ｂ，Ｃと、その（頂点で無い点）Ｄ，Ｅ，Ｆとに分類する。頂点で無い点は、（水平線の点）です。
（２ｂ）そして、全ての交点を、三角形ＡＢＣの各辺毎の３つの直線上をたどる（４つ目の点線ＤＥはたどら無い）一筆書きの様な順（線の重なりはOK）で、以下の順に交点を選んで、定理の式を書く。
(頂点)→(水平線の点)→
(頂点)→(水平線の点)→
(頂点)→(水平線の点)→(最初に選んだ頂点)
の順に点を選んで、その定理の式を定義する。
例えば：
(頂点Ａ)→(水平線の点Ｆ)→
(頂点Ｂ)→(水平線の点Ｄ)→
(頂点Ｃ)→(水平線の点Ｅ)→(最初に選んだ頂点Ａ)
の順に選ぶ。
以下の式のように、その選んだ順に点を結んだ線分の間の式を記述し、その式の値を１とする。（ただし、線分の正負の方向性は定めないものとする）
この式がメネラウスの定理を表す。
（メネラウスの定理の定義おわり）
《補足》
メネラウスの定理を表す上の式は、このページの一番上の図を使って解釈し、以下の関係式を変形した式であると解釈できる。
（点線で表した）水平線ＤＦの垂直線へ射影した：
｛（点Ａの高さ）／（－点Ｂの高さ）｝
｛（点Ｂの高さ）／（－点Ｃの高さ）｝
｛（点Ｃの高さ）／（－点Ａの高さ）｝＝－１
《メネラウスの定理の適用の仕方》
与えられた図形に、メネラウスの定理の定義に従って、以下の様にメネラウスの定理を当てはめれば良い。
（１）長さが書き込んである３つの直線を求める。（線分の長さの比がわかっている２つの直線と、線分の長さの比を求めたい１つの直線を定める）
（２）その３つの直線に交わる４つ目の直線を抽出し、それを水平線と認識する。その４つ目の直線と先の３つの直線との交点だけで全ての点が表せるならば、メネラウスの定理が適用できる。
（３）それら４つの直線の全ての交点を、３つの直線同士の交差点である３つの（頂点）と、それ以外の、４つ目の直線（水平線）上の点（水平線の点）とに分類する。（頂点以外の３つの水平線上の点が存在し、３つの水平線上の点が１直線上に並ぶことが、その図形にメネラウスの定理が適用できる条件である）
（４）全ての交点を、３つの直線上をたどる（水平線はたどら無い）一筆書きの様な順（線の重なりはOK）で、以下の順に交点を選んで、定理の式を書く。
(頂点)→(水平線の点)→
(頂点)→(水平線の点)→
(頂点)→(水平線の点)→(最初に選んだ頂点)
の順に点を選んで、メネラウスの定理の式を書く。
（注意）最初に選ぶ点は（水平線の点）では無いことに注意。
また、定理の式を書くとき、
分母から分子の順に式を書いても良いし、
分子から分母の順に式を書いても良い。
リンク：
メネラウス・チェバの定理のちょっとした小手技(pdf)
３点が１直線上にある証明
高校数学の目次
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