ページ内リンク
▷ｘの２乗の係数が１ではない２次関数（問３）
▷たすき掛けしないで自動的に計算する（項の分割）
▷たすき掛けでは因数分解できない式（見分け方）
《高校数学でつまずく事》
高校１年生になって初めて「因数分解のたすき掛け」を習ったとき、「わからない」、「時間がかかり過ぎる」、「無駄な計算をしているのではないか？」、と思いませんでしたか。
高校数学では、因数分解のたすき掛けを早く解く方法、そのコツは学校では教えていない。そういう理不尽さを乗り越えるためには、常に自分で考える、問題に向き合う態度が必要です。このページでは学校では教わらない因数分解のたすき掛けのコツ（左右積法の一種のＡＣＢ法）を示す。
１．左右の両側の係数をかける:
(ｘの２乗の項の係数)×(定数項)＝積Ｓを求める。
２．積Ｓを、項１と項２との積に分割する:
① 積Ｓ＝項１×項２
② 項１＋項２＝(ｘの１乗の項の係数)
になるように、積Ｓを項１と項２との積に分割する。
（この項１と項２を素早く見つけるコツが２つある）
３．数をかみ合わせてたすき掛けする:
項１と項２が求められたら、数をかみ合わせて項１と項２にし、それをたすき掛けして因数分解の式を得る。
（この数の噛み合わせは１つのみに定まり、簡単に求められる）
【大原則】因数分解をする前に、式の全ての項に共通する因数をくくり出す。共通する因数が無くなった式を因数分解すること。
以下の問１を例にして、たすき掛けのやり方の概要を示す。次に、問２を例にして、たすき掛けを使う以前から知っているべきだった早く解くコツを説明する。ｘの２乗の係数が１の２次式の例を使って、２次式を因数分解するために必要な２つのコツを説明する。
（中学生は、問２の説明だけを読めば良い）
【問１】
以下の式を因数分解せよ。
【解答】この式は、
１．両側の係数をかける:
積Ｓ＝(ｘの２乗の項の係数の２)×(定数項の６)＝１２を求める。
２．積Ｓ＝１２を、項１と項２との積に分割する:
① １２＝項１×項２
② 項１＋項２＝７＝(ｘの１乗の項の係数）
になるように、積Ｓを項１と項２との積に分割する。
そう考えて、項１を４にして項２を３にする。
(1) 項１＝４であり、
(2) 項２＝３である。
項１と項２が求められたので、以下のように数をかみ合わせて項１と項２にし、それをたすき掛けして因数分解の式を得る。
こうして、
f=(2x+3)(x+2),
に因数分解できました。
（ＡＣＢ法）因数分解が、いきあたりばったりにならないために、以下に示す、問２（１）（２）に示すコツ（その１）と（その２）が大切です。それは、①両側の項の係数の積Ｓの約数が、②ｘの１乗の項の係数の約数でもあるか、そうでは無いかを確認して進む技術です。
【問２（１）】
以下の２次関数を因数分解せよ。
【解答】
（解答の方針）
最初に、以下の図のように、ｘの２乗の係数と、定数項との積Ｓ（ー６０）を計算する。次に、その積Ｓを項１と項２の積に分割する。その２つの項の和をｘの１乗の項の係数の（－１７）にするのが目標である。
積Ｓ＝項１×項２
項１＋項２＝－１７＝（ｘの１乗の項の係数）
〘係数（定数）を項１と項２の積に分割するコツ（その１）〙
①積Ｓ＝－６０の約数に素数２=sがある。②目標の（－１７）がその素数２=sの倍数であるか無いかを調べる。その結果、目標の（－１７）は素数２＝s の倍数ではない。①で積Ｓが２＝s の倍数であるため、項１と項２のうちの１つの項は必ず２の倍数になる。②で、目標（－１７）が２＝s の倍数では無いので、もう１つの項は２の倍数では無い。
そのため、２項の積Ｓ＝ー６０を積に分割する際に、積Ｓ＝ー６０の約数の素数２の２乗を１かたまりにする。つまり、２の２乗である４を分割し得ない１組にする。積Ｓを分割し得る限り分割した要素の積であらわすと、以下の式になる。
積Ｓ＝(ー１)・(２の２乗)・(３)・(５)，
項１を、(ー１)と(２の２乗)と(３)と(５)のいくつかを選んで、それらの数の積にする。
項２を、項１には使わなかった(-1)と(2の2乗)と(3)と(5)の残りの数の積にする。
そのように、積Ｓ＝項１×項２として、積Ｓを項１と、項２とに分割する。そのように数を選んだ項１と項２との分割のバラエティは下図のようになる。
その分割のバラエティを調べた結果、項１と項２の和が－１７になる組合せが求められた。
(1) 項１＝ー２０＝(－１)・(４)・(５)であり、
(2) 項２＝(３)である。
次に、その分割を使って、以下のように計算する。求めた分割の項１と項２に対する、その項の値を積の結果として与える２乗の項の係数の約数と、定数項の係数の約数と、は１つに定まり容易に導出できる。（この例では、２乗の項の係数の約数は最初から１に定まっている）
ｆ＝（ｘ＋３）（ｘー２０）
と因数分解できた。
【問２（２）】
以下の２次関数を因数分解せよ。
【解答】以下のように因数分解します。
〘係数（定数）を項１と項２の積に分割するコツ（その２）〙
積Ｓ＝１８を積に分割した項１と項２の和を９にするのが目標。
積Ｓ＝項１×項２
項１＋項２＝９＝（ｘの１乗の項の係数）
積Ｓを分割し得る限り分割した要素の積であらわすと、以下の式になる。
積Ｓ＝(-1)・(-1)・(2)・(3)・(3)，
①積Ｓの約数に素数３＝s がある。②目標（９）がその素数３の倍数であるかを調べる。その結果、目標（９）が３の倍数であることがわかる。①で積Ｓが３=s の倍数であるため、項１と項２のうちの１つの項は必ず３の倍数になる。②の調査の結果、目標（９）も３の倍数なので、③④のように、項１も項２も３の倍数でなければならない。
そのため、ｘの２乗の項の係数と定数項との積Ｓ＝１８を項１と項２の積に分割するとき、項１も項２も３の倍数である場合だけが有効な分割である。
積Ｓ＝(-1)・(-1)・(2)・(3)・(3)，
なので、
項１＝３・(-1)・(-1),
項２＝３・(2),
として、
積Ｓ＝１８＝(項１)×(項２)＝３×６
とだけ分割できる。
この処理は、下図のように考えて、積Ｔ＝（積Ｓ／９）と、目標２＝（目標／３）に関して、項３＝（(項１)／３）と、項４＝（(項２)／３）を、コツ（その１）で求めて、その結果、項１と項２を求めた処理である。
すなわち、先ず、式(1)を下図の式(2)に変形して、式(2)の右側の定数項の係数を３の倍数で無くする。そして、コツ（その１）を使って式(2)の左右の係数の積Ｔを分割する項３と項４を求める。
次に、得られた項３と項４から導き出した項１と項２への分割を使って、下図のように、たすき掛けの計算をする。
ｆ＝（ｘ＋６）（ｘ＋３）
と因数分解できた。
【問３】ｘの２乗の項の係数が１ではない２次関数
以下の２次関数を因数分解せよ。
【解答】
（解答の方針）
最初に、以下の図のように、ｘの２乗の係数と、定数項との積Ｓを計算する。次に、その積Ｓを項１と項２の積に分割する。その２つの項の和をｘの１次の項の係数の１５にするのが目標。
積Ｓ＝項１×項２
項１＋項２＝１５＝（ｘの１乗の項の係数）
すなわち、上記の計算のように、最初に、ｘの２乗の係数の２と、定数項１８との積Ｓ＝２×１８を計算する。
次に、その積Ｓを２つの数の積に分割する。
積Ｓ＝(2×18)＝（３）×（１２）
という、項１＝３と、項２＝１２の積に分割して、項１と項２を足すとｘの１乗の項の係数の１５になるようにする。
（３）＋（１２）＝１５・・・・・ｘの項の係数
そういうふうに積Ｓを項１と項２の積に分割する。
(1) 項１＝３であり、
(2) 項２＝１２である。
このやり方は、詳しくは、以下の手順で行う。
（▷その１）①積Ｓの約数に２がある。②一方で、目標値の１５が２の倍数でない。そのため、和を求める項１と項２では、片方の項が２の倍数なので、残りの項は２の倍数では無い。そのため、積Ｓ＝２×１８では、 ２の２乗である４が分割し得ない１組である。
積Ｓを分割し得る限り分割した要素の積であらわすと、以下の式になる。
積Ｓ＝(-1)・(-1)・４・３・３，
その要素の(-1)と(-1)と４と３と３との５つの数のブロックのうちのいくつかの数の積の項１と、残りの数の積の項２とに分けるしかない。
（▷その２）①積Ｓの約数に３がある。②一方で、目標値の１５が３の倍数なので、和を求める２つの項は、③④項１も項２も３の倍数である。
（▷その３）そのため、積Ｓ＝２×１８を項１と項２の積に分割するとき、両者が一緒に３の倍数である場合：
積Ｓ＝(2・18)＝(項１)×(項２)＝３×１２
だけが分割可能である。
(1) 項１＝３・(-1)・(-1)であり、
(2) 項２＝１２＝３・４である。
この処理は、下図のように考えて、積Ｔ＝（積Ｓ／９）と、目標２＝（目標／３）に関して、項３＝（(項１)／３）と、項４＝（(項２)／３）を、コツ（その１）で求めて、その結果、項１と項２を求めた処理である。
次に、その分割を使って、以下のように計算する。分割の各値に対する、その値を積の結果として与える２乗の項の係数の約数と、定数項の係数の約数と、は１つに定まり容易に導出できる。
ｆ＝（ｘ＋６）（２ｘ＋３）
と因数分解できた。
なお、先に、式の全ての項に共通する因数をくくり出しているならば、式の左右の係数に共通する素数2=s がある場合は、下図のように、素数2=s の集合を１つの項（下図では値が12の項）にまとめる。
これは、たすき掛けで数をかみ合わせる際に「互いに素を意識する」というキーワードでも教えられている。
【問３Ｂ】
以下の２次関数を因数分解せよ。
この問題の解答は、ここをクリックした先にある。
【問３Ｃ】
以下の２次関数を因数分解せよ。
この問題の解答は、ここをクリックした先にある。
【問４】
以下の２次関数を因数分解せよ。
【解答】
最初に、ｘの２乗の係数と、定数項との積Ｓ＝(6)(180)を計算する。次に、その積Ｓの値を項１と項２の積に分割する。その２つの項の和をｘの１次の項の係数の（ー６７）にするのが目標。
積Ｓ＝項１×項２
項１＋項２＝ー６７＝（ｘの１乗の項の係数）
すなわち、最初に、下図のように、ｘの２乗の係数の６と、定数項１８０との積(Ｓ＝６×１８０)を計算する。
（第１の処理）
左右の積Ｓを、項１と項２との積に分割する目標を定める。
Ｓ＝（項１）×（項２）
項１と項２を足して、ｘの１乗の係数（－６７）にするのが目標である。
（項１）＋（項２）＝－６７
（第２の処理）
次に、以下のように（コツ１）を使って、積Ｓの分割の方針を立てる。
(１) ①積Ｓの約数に２が存在する。
②その約数２はｘの１乗の係数（－６７）の約数ではない。
そのため、項１が２の倍数ならば、項２は２の倍数にはならない。
Ｓを項１と項２に分割する際に、
Ｓの約数の２の３乗の８が分割し得ない１組である。
(２) ①積Ｓの約数に３が存在する。
②その約数３はｘの１乗の係数（－６７）の約数ではない。
そのため、項２が３の倍数ならば、項１は３の倍数にはならない。
Ｓを項１と項２に分割する際に、
Ｓの約数の ３の３乗の２７が分割し得ない１組である。
(３) 積Ｓを分割し得る約数の積であらわすと、
Ｓ＝(-1)・(-1)・８・２７・５である。
すなわち、積Ｓを積に分けられるブロックは、(-1)と(-1)と８と２７と５のみに分けられる。
この積Ｓの、分割し得る数(-1)と(-1)と８と２７と５の数のうちのいくつかを選んで積を求めて項１にし、残りの数の積を項２にする。
そうして、
項１＋項２＝－６７
にする。
そうなる項１と項２の組み合わせは、（ー８）と（－１３５）、（－４０）と（ー２７）、ぐらいしかない。そのうち、２つの項の和がちょうど（ー６７）になる組合せは、（－４０）と（－２７）である。
(1)項１＝ー４０＝(－１)・８・５であり、
(2)項２＝(－１)・２７である。
（第３の処理）
この組合せが求められたので、以下のように数を噛み合わせてたすき掛けして因数分解する。
ｆ＝(２ｘ－９)(３ｘ－２０)，
に因数分解できた。
なお、先に、式の全ての項に共通する因数をくくり出しているならば、式の左右の係数に共通する素数3=s がある場合は、下図のように、素数3=s の集合を１つの項（下図では値が－２７の項）にまとめる。
【問４Ｂ】
以下の２次関数を因数分解せよ。
この問題の解答は、ここをクリックした先にある。
【問４Ｃ】
以下の２次関数を因数分解せよ。
この問題の解答は、ここをクリックした先にある。
【問４Ｄ】
以下の２次関数を因数分解せよ。
この問題の解答は、ここをクリックした先にある。
【問５】
以下の式を因数分解せよ。
（関西医科大学2023年前期数学【第１問(1)の変形】）
【解答】
最初に、ａの２乗の項の係数の式と、ａの０乗の式との積を計算する。次に、その式の積の値を２つの項の積に分割する。その２つの項の和をａの１乗の項の係数の式の（ー４ｂ）にするのが目標。
ａの２乗の項の係数の式と、ａの０乗の式との積Ｓは（ｂ－１）の倍数であり、かつ、（ｂ＋１）の倍数である。
積Ｓを項１と項２の積に分割して、その２つの項の和が目標の（－４ｂ）にする。
項１と項２のどちらかの項は（ｂ－１）の倍数であるが、目標の（－４ｂ）は、（ｂ－１）の倍数ではないので、残りの項は（ｂ－１）の倍数にはならない。
また、項１と項２のどちらかの項は（ｂ＋１）の倍数であるが、目標の（－４ｂ）は（ｂ＋１）の倍数ではないので、残りの項は（ｂ＋１）の倍数にはならない。
そのため、積Ｓでの、（ｂ－１）の２乗が分割し得ない１組であり、（ｂ＋１）の２乗が分割し得ない１組である。
ゆえに：
▷積Ｓを項１と項２の積に分割するときに、それが分割し得ない単位になるブロックは、（ｂ－１）の２乗のブロックと、（ｂ＋１）の２乗のブロックである。積Ｓはその２つのブロックの積のみになる。
以上のブロック（単位）のいくつかを選んで積を求めた項１と、残りのブロックの積を求めた項２を作る。その２つ項の和がちょうど（－４ｂ）になる組合せを選ぶだけです。
そうなる項１と項２の組み合わせは、（ｂ－１）の２乗と（－（ｂ＋１）の２乗）しかない。
(1) 項１＝（ｂ－１）の２乗、であり、
(2) 項２＝（－（ｂ＋１）の２乗）である。
項１と項２が求められたので、以下のように数を噛み合わせてたすき掛けして因数分解する。
ｆ＝｛(ｂ－１)ａ－(ｂ＋１)｝・｛(ｂ＋１)ａ＋ｂ－１｝，
に因数分解できた。
なお、先に、式の全ての項に共通する因数をくくり出しているならば、式の左右の係数に共通する因数(b+1)=s がある場合は、下図で因数(b+1)=s の群を（－(b+1)の二乗）の項にまとめたように、１つの項にまとめる。
【問６】
以下の２次関数を因数分解せよ。
【解答】
最初に、ｘの２乗の係数と、定数項との積Ｓを計算する。次に、その積の値を項１と項２の積に分割する。その２つの項の和をｘの１次の項の係数にするのが目標。
すなわち、最初に、下図のように、ｘの２乗の係数の３ａと、定数項（－２ａ）との積Ｓ＝３ａ×（－２ａ）を計算する。
積Ｓはａの倍数である。そのため、積Ｓを分割した項１か項２のどちらかはａの倍数になる。
一方で、目標の（６－ａ２）はａの倍数では無い。そのため、項１＋項２を目標にするためには、項１か項２かのどちらかはａの倍数にはできない。そのため、積Ｓにおいてａの２乗が分割し得ない１組である。
ゆえに：
▷積Ｓを項１と項２の積に分割する際に、分割し得ない組は、ａの２乗の１組と、それ以外の数の２と、３とが分割し得る３つのブロックになる。
積Ｓを分割し得る約数の積であらわすと、
Ｓ＝(-1)・(ａの二乗)・２・３である。
以上の分割し得る数のうちのいくつかを選んで積を求めた項１と、残りの数の積を求めた項２を作る。その項１と項２の和がちょうど（６－ａ２） になる組合せを選ぶだけである。
そうなる項１と項２として、（６）と（－（ａ）の２乗）が求められた。
(1) 項１＝２・３＝６、であり、
(2) 項２＝(-1)・(ａの２乗) 、である。
項１と項２が求められたので、以下のように数式を噛み合わせて各項になるように、たすき掛けして因数分解する。
ｆ＝(３ｘ－ａ)(ａｘ＋２)，
に因数分解できた。
なお、先に、式の全ての項に共通する因数をくくり出しているならば、式の左右の係数に共通する因数(ａ)がある場合は、下図のように、因数(ａ)の群を１つの項にまとめる。
《問６の別解（項の分割）》たすき掛けしないで自動的に計算する
たすき掛けが考えにくい場合は、以下のように式を計算すれば良い。
最初にｘの２乗の項の係数と、定数項とを掛けあわせた式
を計算する。
次に、それを２つの項の積に分割する。
その２つの項の和が、ｘの１乗の項の係数になるように、２つの項の積に分割する。
上記の計算の結果、２つの項への分割が見つかった。次に、その分割した２つの項で式をしっかり分けて（ｘの１乗の項を２つに分けて） 以下のように式を書く。
その式の、隣合う式同士を合わせて、同じ因数を括りだしていく。
こうすると、上の式のように自動的に因数分解できる。
【問７】以下の２次関数を因数分解せよ。
【解答】
最初に、ｘの２乗の係数と、定数項との積Ｓ＝(75)(-164)を計算する。次に、その積Ｓの値を項１と項２の積に分割する。その２つの項の和をｘの１次の項の係数の８９にするのが目標。すなわち、最初に、以下の計算を行って、足して８９にする２つの項を求める。
積Ｓ＝（７５）（ー１６４）は２の倍数であり、かつ、５の倍数である。
一方で、目標の８９は、２の倍数では無く、５の倍数でもない。そのため、積Ｓを項１と項２の積に分割して、その２つの項の和が目標の８９になるには、各項が一緒に２の倍数にはならない。各項が一緒に５の倍数にはならない。そのため、積Ｓ＝(75)(-164)を項１と項２の積に分割する際に、２の２乗の４が分割し得ない１組であり、５の２乗の２５が分割し得ない１組である。
ゆえに、用いることができるのは：
▷積Ｓを積に分けられるブロックは、3と25と、4と41のみに分けられる。
積Ｓを分割し得るブロックの積であらわすと、
Ｓ＝(-1)・(３)・(２５)・(４)・(４１)である。
以上のブロックの、(-1)と３と２５と４と４１の数のいくつかを選んで積を求めた項１と、残りの数の積を求めた項２を作る。その２つ項の和がちょうど８９になる組合せを選ぶだけです。
そうなる項１と項２項の組み合わせは、１２３と（－１００）、１６４と（－７５）、１０２５と（ー１２）、などの８組ぐらいしかない。そのうち、２つの数の和がちょうど８９になる組合せは、１６４と（－７５）です。
(1) 項１＝１６４＝４・４１であり、
(2) 項２＝－７５＝(－１)・３・２５である。
項１と項２が求められたので、以下のように数を噛み合わせてたすき掛けして因数分解する。
《問７の別解》たすき掛けしないで自動的に計算する
最初に、ｘの２乗の項の係数と、定数項とを掛けあわせて、次に、以下のようにして、足して８９にする２つの項を求める。
その２つの項が見つかったら、ｘの１乗の項を、その２つの項に係る項に分けて、以下のように式を書く。
そして、隣合う式同士を合わせて、同じ因数を括りだしていく。
こうすると、上の式のように自動的に因数分解できる。
【問８】
以下の２次関数を因数分解せよ。
この問題の解答は、ここをクリックした先にある。
【問９】
以下の２次関数を因数分解せよ。
この問題の解答はここをクリックした先にある。
（例１０）たすき掛けでは因数分解できない式（見分け方）
ｘの２乗の係数の（１）と、定数項（９６）との積Ｓ＝９６を、項１と項２の積に分解して、
その２つの項の和がｘの１乗の項の係数の（３６）になるのが目標。
▷目標の（３６）が２の倍数なので、積に分解した２つの項の和が２の倍数の目標になるには、その２つの項が一緒に２の倍数になる必要がある。その結果、積Ｓが２の２乗の倍数になっていなければならない。また、下図の①で、積Ｓが３の倍数であって、②で、目標の（３６）が３の倍数なので、積に分解した２つの項の和が３の倍数になるには、下図の④で、１つの項が３の倍数になり、③で、残りの項も３の倍数になる必要がある。その結果、積Ｓが３の２乗の倍数になっていなければならない。
しかし、積Ｓ＝９６を２つの項の積へ分割する場合では、２つ目の項④のみが３の倍数である。１つ目の項③は３の倍数にできない。（積Ｓが３の二乗の倍数になっていない）。そのため、この式は、たすき掛けでは因数分解できない。
この式の因数分解は、平方完成の方法で因数分解するしかない。
（例１１）たすき掛けでは因数分解できない式
ｘの２乗の係数が奇数であり、定数項が奇数であり、ｘの１乗の係数が奇数である場合は、たすき掛けでは因数分解できない。
この式の因数分解は、平方完成の方法で因数分解するしかない。
（例１２）たすき掛けでは因数分解できない式
ｘの２乗の係数の（１）と、定数項（３０）との積Ｓ＝（３０）を、項１と項２の積に分解して、
その２つの項の和がｘの係数の（１９）になるのが目標。
しかし、（３０＝２×３×５）を、２つの項の積に分解するあらゆる場合で、２つの項の和を１９にすることが不可能である。そのため、この式は、たすき掛けでは因数分解できない。
この式の因数分解は、平方完成の方法で因数分解するしかない。
（例１３）たすき掛けでは因数分解できない式
ｘの２乗の係数の（１）と、定数項（－(y-2)(y+2)）との積Ｓを、項１と項２の積に分解して、
その２つの項の和がｘの係数の（２）になるのが目標。
しかし、（－(y-2)(y+2)）を、２つの項の積に分解するあらゆる場合で、２つの項の和からｙを消去し、値を２にすることが不可能である。そのため、この式は、たすき掛けでは因数分解できない。
この式の因数分解は、例１４のように根号を使った式に因数分解する必要がある。
（問４の因数分解の、平方完成による方法）
（例１４）以下の式の因数分解は、たすき掛けでは因数分解できない。そのため、この式を因数分解するには、根号を使った式に因数分解する必要がある。|a|≦1の場合には、以下の式に因数分解できる。
リンク：
〔左右の係数の積を使う左右積法〕
因数分解「たすきがけ」を早く簡単にする裏ワザの方法を解説
たすきがけ不要！ 因数分解の裏技「左右積法」京都共栄学園バタビアコース
左右積法のpdf
〔係数の分割の極意〕
たすき掛けの因数分解が苦手な人へ：簡単に解くための3つのコツ！
【高校数学】超速たすき掛け１---たすき掛けの因数分解を高速でやっつけます。【因数分解】
係数が複雑なたすきがけ因数分解
たすき掛けによる因数分解のコツとは？
裏技どころか超正攻法！?「たすき掛けしない」たすき掛けの因数分解
【中学高校数学】たすきがけ（因数分解）の裏ワザ〈東大〉
分かりやすい【展開・因数分解】たすき掛けが簡単にできちゃう！
〔たすき掛けしない解き方〕
数学1 因数分解：たすき掛けしない解き方。
【裏技なのか？】たすき掛け因数分解を２通りで解説【ACメソッド(グループ化)】
たすきがけ因数分解できなくても諦めないで！くくってくくればできる因数分解
高校数学の目次
▷ｘの２乗の係数が１ではない２次関数（問３）
▷たすき掛けしないで自動的に計算する（項の分割）
▷たすき掛けでは因数分解できない式（見分け方）
《高校数学でつまずく事》
高校１年生になって初めて「因数分解のたすき掛け」を習ったとき、「わからない」、「時間がかかり過ぎる」、「無駄な計算をしているのではないか？」、と思いませんでしたか。
高校数学では、因数分解のたすき掛けを早く解く方法、そのコツは学校では教えていない。そういう理不尽さを乗り越えるためには、常に自分で考える、問題に向き合う態度が必要です。このページでは学校では教わらない因数分解のたすき掛けのコツ（左右積法の一種のＡＣＢ法）を示す。
１．左右の両側の係数をかける:
(ｘの２乗の項の係数)×(定数項)＝積Ｓを求める。
２．積Ｓを、項１と項２との積に分割する:
① 積Ｓ＝項１×項２
② 項１＋項２＝(ｘの１乗の項の係数)
になるように、積Ｓを項１と項２との積に分割する。
（この項１と項２を素早く見つけるコツが２つある）
３．数をかみ合わせてたすき掛けする:
項１と項２が求められたら、数をかみ合わせて項１と項２にし、それをたすき掛けして因数分解の式を得る。
（この数の噛み合わせは１つのみに定まり、簡単に求められる）
【大原則】因数分解をする前に、式の全ての項に共通する因数をくくり出す。共通する因数が無くなった式を因数分解すること。
以下の問１を例にして、たすき掛けのやり方の概要を示す。次に、問２を例にして、たすき掛けを使う以前から知っているべきだった早く解くコツを説明する。ｘの２乗の係数が１の２次式の例を使って、２次式を因数分解するために必要な２つのコツを説明する。
（中学生は、問２の説明だけを読めば良い）
【問１】
以下の式を因数分解せよ。
【解答】この式は、
１．両側の係数をかける:
積Ｓ＝(ｘの２乗の項の係数の２)×(定数項の６)＝１２を求める。
２．積Ｓ＝１２を、項１と項２との積に分割する:
① １２＝項１×項２
② 項１＋項２＝７＝(ｘの１乗の項の係数）
になるように、積Ｓを項１と項２との積に分割する。
そう考えて、項１を４にして項２を３にする。
(1) 項１＝４であり、
(2) 項２＝３である。
項１と項２が求められたので、以下のように数をかみ合わせて項１と項２にし、それをたすき掛けして因数分解の式を得る。
こうして、
f=(2x+3)(x+2),
に因数分解できました。
（ＡＣＢ法）因数分解が、いきあたりばったりにならないために、以下に示す、問２（１）（２）に示すコツ（その１）と（その２）が大切です。それは、①両側の項の係数の積Ｓの約数が、②ｘの１乗の項の係数の約数でもあるか、そうでは無いかを確認して進む技術です。
【問２（１）】
以下の２次関数を因数分解せよ。
【解答】
（解答の方針）
最初に、以下の図のように、ｘの２乗の係数と、定数項との積Ｓ（ー６０）を計算する。次に、その積Ｓを項１と項２の積に分割する。その２つの項の和をｘの１乗の項の係数の（－１７）にするのが目標である。
積Ｓ＝項１×項２
項１＋項２＝－１７＝（ｘの１乗の項の係数）
〘係数（定数）を項１と項２の積に分割するコツ（その１）〙
①積Ｓ＝－６０の約数に素数２=sがある。②目標の（－１７）がその素数２=sの倍数であるか無いかを調べる。その結果、目標の（－１７）は素数２＝s の倍数ではない。①で積Ｓが２＝s の倍数であるため、項１と項２のうちの１つの項は必ず２の倍数になる。②で、目標（－１７）が２＝s の倍数では無いので、もう１つの項は２の倍数では無い。
そのため、２項の積Ｓ＝ー６０を積に分割する際に、積Ｓ＝ー６０の約数の素数２の２乗を１かたまりにする。つまり、２の２乗である４を分割し得ない１組にする。積Ｓを分割し得る限り分割した要素の積であらわすと、以下の式になる。
積Ｓ＝(ー１)・(２の２乗)・(３)・(５)，
項１を、(ー１)と(２の２乗)と(３)と(５)のいくつかを選んで、それらの数の積にする。
項２を、項１には使わなかった(-1)と(2の2乗)と(3)と(5)の残りの数の積にする。
そのように、積Ｓ＝項１×項２として、積Ｓを項１と、項２とに分割する。そのように数を選んだ項１と項２との分割のバラエティは下図のようになる。
その分割のバラエティを調べた結果、項１と項２の和が－１７になる組合せが求められた。
(1) 項１＝ー２０＝(－１)・(４)・(５)であり、
(2) 項２＝(３)である。
次に、その分割を使って、以下のように計算する。求めた分割の項１と項２に対する、その項の値を積の結果として与える２乗の項の係数の約数と、定数項の係数の約数と、は１つに定まり容易に導出できる。（この例では、２乗の項の係数の約数は最初から１に定まっている）
ｆ＝（ｘ＋３）（ｘー２０）
と因数分解できた。
【問２（２）】
以下の２次関数を因数分解せよ。
【解答】以下のように因数分解します。
〘係数（定数）を項１と項２の積に分割するコツ（その２）〙
積Ｓ＝１８を積に分割した項１と項２の和を９にするのが目標。
積Ｓ＝項１×項２
項１＋項２＝９＝（ｘの１乗の項の係数）
積Ｓを分割し得る限り分割した要素の積であらわすと、以下の式になる。
積Ｓ＝(-1)・(-1)・(2)・(3)・(3)，
①積Ｓの約数に素数３＝s がある。②目標（９）がその素数３の倍数であるかを調べる。その結果、目標（９）が３の倍数であることがわかる。①で積Ｓが３=s の倍数であるため、項１と項２のうちの１つの項は必ず３の倍数になる。②の調査の結果、目標（９）も３の倍数なので、③④のように、項１も項２も３の倍数でなければならない。
そのため、ｘの２乗の項の係数と定数項との積Ｓ＝１８を項１と項２の積に分割するとき、項１も項２も３の倍数である場合だけが有効な分割である。
積Ｓ＝(-1)・(-1)・(2)・(3)・(3)，
なので、
項１＝３・(-1)・(-1),
項２＝３・(2),
として、
積Ｓ＝１８＝(項１)×(項２)＝３×６
とだけ分割できる。
この処理は、下図のように考えて、積Ｔ＝（積Ｓ／９）と、目標２＝（目標／３）に関して、項３＝（(項１)／３）と、項４＝（(項２)／３）を、コツ（その１）で求めて、その結果、項１と項２を求めた処理である。
すなわち、先ず、式(1)を下図の式(2)に変形して、式(2)の右側の定数項の係数を３の倍数で無くする。そして、コツ（その１）を使って式(2)の左右の係数の積Ｔを分割する項３と項４を求める。
次に、得られた項３と項４から導き出した項１と項２への分割を使って、下図のように、たすき掛けの計算をする。
ｆ＝（ｘ＋６）（ｘ＋３）
と因数分解できた。
【問３】ｘの２乗の項の係数が１ではない２次関数
以下の２次関数を因数分解せよ。
【解答】
（解答の方針）
最初に、以下の図のように、ｘの２乗の係数と、定数項との積Ｓを計算する。次に、その積Ｓを項１と項２の積に分割する。その２つの項の和をｘの１次の項の係数の１５にするのが目標。
積Ｓ＝項１×項２
項１＋項２＝１５＝（ｘの１乗の項の係数）
すなわち、上記の計算のように、最初に、ｘの２乗の係数の２と、定数項１８との積Ｓ＝２×１８を計算する。
次に、その積Ｓを２つの数の積に分割する。
積Ｓ＝(2×18)＝（３）×（１２）
という、項１＝３と、項２＝１２の積に分割して、項１と項２を足すとｘの１乗の項の係数の１５になるようにする。
（３）＋（１２）＝１５・・・・・ｘの項の係数
そういうふうに積Ｓを項１と項２の積に分割する。
(1) 項１＝３であり、
(2) 項２＝１２である。
このやり方は、詳しくは、以下の手順で行う。
（▷その１）①積Ｓの約数に２がある。②一方で、目標値の１５が２の倍数でない。そのため、和を求める項１と項２では、片方の項が２の倍数なので、残りの項は２の倍数では無い。そのため、積Ｓ＝２×１８では、 ２の２乗である４が分割し得ない１組である。
積Ｓを分割し得る限り分割した要素の積であらわすと、以下の式になる。
積Ｓ＝(-1)・(-1)・４・３・３，
その要素の(-1)と(-1)と４と３と３との５つの数のブロックのうちのいくつかの数の積の項１と、残りの数の積の項２とに分けるしかない。
（▷その２）①積Ｓの約数に３がある。②一方で、目標値の１５が３の倍数なので、和を求める２つの項は、③④項１も項２も３の倍数である。
（▷その３）そのため、積Ｓ＝２×１８を項１と項２の積に分割するとき、両者が一緒に３の倍数である場合：
積Ｓ＝(2・18)＝(項１)×(項２)＝３×１２
だけが分割可能である。
(1) 項１＝３・(-1)・(-1)であり、
(2) 項２＝１２＝３・４である。
この処理は、下図のように考えて、積Ｔ＝（積Ｓ／９）と、目標２＝（目標／３）に関して、項３＝（(項１)／３）と、項４＝（(項２)／３）を、コツ（その１）で求めて、その結果、項１と項２を求めた処理である。
次に、その分割を使って、以下のように計算する。分割の各値に対する、その値を積の結果として与える２乗の項の係数の約数と、定数項の係数の約数と、は１つに定まり容易に導出できる。
ｆ＝（ｘ＋６）（２ｘ＋３）
と因数分解できた。
なお、先に、式の全ての項に共通する因数をくくり出しているならば、式の左右の係数に共通する素数2=s がある場合は、下図のように、素数2=s の集合を１つの項（下図では値が12の項）にまとめる。
これは、たすき掛けで数をかみ合わせる際に「互いに素を意識する」というキーワードでも教えられている。
【問３Ｂ】
以下の２次関数を因数分解せよ。
この問題の解答は、ここをクリックした先にある。
【問３Ｃ】
以下の２次関数を因数分解せよ。
この問題の解答は、ここをクリックした先にある。
【問４】
以下の２次関数を因数分解せよ。
【解答】
最初に、ｘの２乗の係数と、定数項との積Ｓ＝(6)(180)を計算する。次に、その積Ｓの値を項１と項２の積に分割する。その２つの項の和をｘの１次の項の係数の（ー６７）にするのが目標。
積Ｓ＝項１×項２
項１＋項２＝ー６７＝（ｘの１乗の項の係数）
すなわち、最初に、下図のように、ｘの２乗の係数の６と、定数項１８０との積(Ｓ＝６×１８０)を計算する。
（第１の処理）
左右の積Ｓを、項１と項２との積に分割する目標を定める。
Ｓ＝（項１）×（項２）
項１と項２を足して、ｘの１乗の係数（－６７）にするのが目標である。
（項１）＋（項２）＝－６７
（第２の処理）
次に、以下のように（コツ１）を使って、積Ｓの分割の方針を立てる。
(１) ①積Ｓの約数に２が存在する。
②その約数２はｘの１乗の係数（－６７）の約数ではない。
そのため、項１が２の倍数ならば、項２は２の倍数にはならない。
Ｓを項１と項２に分割する際に、
Ｓの約数の２の３乗の８が分割し得ない１組である。
(２) ①積Ｓの約数に３が存在する。
②その約数３はｘの１乗の係数（－６７）の約数ではない。
そのため、項２が３の倍数ならば、項１は３の倍数にはならない。
Ｓを項１と項２に分割する際に、
Ｓの約数の ３の３乗の２７が分割し得ない１組である。
(３) 積Ｓを分割し得る約数の積であらわすと、
Ｓ＝(-1)・(-1)・８・２７・５である。
すなわち、積Ｓを積に分けられるブロックは、(-1)と(-1)と８と２７と５のみに分けられる。
この積Ｓの、分割し得る数(-1)と(-1)と８と２７と５の数のうちのいくつかを選んで積を求めて項１にし、残りの数の積を項２にする。
そうして、
項１＋項２＝－６７
にする。
そうなる項１と項２の組み合わせは、（ー８）と（－１３５）、（－４０）と（ー２７）、ぐらいしかない。そのうち、２つの項の和がちょうど（ー６７）になる組合せは、（－４０）と（－２７）である。
(1)項１＝ー４０＝(－１)・８・５であり、
(2)項２＝(－１)・２７である。
（第３の処理）
この組合せが求められたので、以下のように数を噛み合わせてたすき掛けして因数分解する。
ｆ＝(２ｘ－９)(３ｘ－２０)，
に因数分解できた。
なお、先に、式の全ての項に共通する因数をくくり出しているならば、式の左右の係数に共通する素数3=s がある場合は、下図のように、素数3=s の集合を１つの項（下図では値が－２７の項）にまとめる。
【問４Ｂ】
以下の２次関数を因数分解せよ。
この問題の解答は、ここをクリックした先にある。
【問４Ｃ】
以下の２次関数を因数分解せよ。
この問題の解答は、ここをクリックした先にある。
【問４Ｄ】
以下の２次関数を因数分解せよ。
この問題の解答は、ここをクリックした先にある。
【問５】
以下の式を因数分解せよ。
（関西医科大学2023年前期数学【第１問(1)の変形】）
【解答】
最初に、ａの２乗の項の係数の式と、ａの０乗の式との積を計算する。次に、その式の積の値を２つの項の積に分割する。その２つの項の和をａの１乗の項の係数の式の（ー４ｂ）にするのが目標。
ａの２乗の項の係数の式と、ａの０乗の式との積Ｓは（ｂ－１）の倍数であり、かつ、（ｂ＋１）の倍数である。
積Ｓを項１と項２の積に分割して、その２つの項の和が目標の（－４ｂ）にする。
項１と項２のどちらかの項は（ｂ－１）の倍数であるが、目標の（－４ｂ）は、（ｂ－１）の倍数ではないので、残りの項は（ｂ－１）の倍数にはならない。
また、項１と項２のどちらかの項は（ｂ＋１）の倍数であるが、目標の（－４ｂ）は（ｂ＋１）の倍数ではないので、残りの項は（ｂ＋１）の倍数にはならない。
そのため、積Ｓでの、（ｂ－１）の２乗が分割し得ない１組であり、（ｂ＋１）の２乗が分割し得ない１組である。
ゆえに：
▷積Ｓを項１と項２の積に分割するときに、それが分割し得ない単位になるブロックは、（ｂ－１）の２乗のブロックと、（ｂ＋１）の２乗のブロックである。積Ｓはその２つのブロックの積のみになる。
以上のブロック（単位）のいくつかを選んで積を求めた項１と、残りのブロックの積を求めた項２を作る。その２つ項の和がちょうど（－４ｂ）になる組合せを選ぶだけです。
そうなる項１と項２の組み合わせは、（ｂ－１）の２乗と（－（ｂ＋１）の２乗）しかない。
(1) 項１＝（ｂ－１）の２乗、であり、
(2) 項２＝（－（ｂ＋１）の２乗）である。
項１と項２が求められたので、以下のように数を噛み合わせてたすき掛けして因数分解する。
ｆ＝｛(ｂ－１)ａ－(ｂ＋１)｝・｛(ｂ＋１)ａ＋ｂ－１｝，
に因数分解できた。
なお、先に、式の全ての項に共通する因数をくくり出しているならば、式の左右の係数に共通する因数(b+1)=s がある場合は、下図で因数(b+1)=s の群を（－(b+1)の二乗）の項にまとめたように、１つの項にまとめる。
【問６】
以下の２次関数を因数分解せよ。
【解答】
最初に、ｘの２乗の係数と、定数項との積Ｓを計算する。次に、その積の値を項１と項２の積に分割する。その２つの項の和をｘの１次の項の係数にするのが目標。
すなわち、最初に、下図のように、ｘの２乗の係数の３ａと、定数項（－２ａ）との積Ｓ＝３ａ×（－２ａ）を計算する。
積Ｓはａの倍数である。そのため、積Ｓを分割した項１か項２のどちらかはａの倍数になる。
一方で、目標の（６－ａ２）はａの倍数では無い。そのため、項１＋項２を目標にするためには、項１か項２かのどちらかはａの倍数にはできない。そのため、積Ｓにおいてａの２乗が分割し得ない１組である。
ゆえに：
▷積Ｓを項１と項２の積に分割する際に、分割し得ない組は、ａの２乗の１組と、それ以外の数の２と、３とが分割し得る３つのブロックになる。
積Ｓを分割し得る約数の積であらわすと、
Ｓ＝(-1)・(ａの二乗)・２・３である。
以上の分割し得る数のうちのいくつかを選んで積を求めた項１と、残りの数の積を求めた項２を作る。その項１と項２の和がちょうど（６－ａ２） になる組合せを選ぶだけである。
そうなる項１と項２として、（６）と（－（ａ）の２乗）が求められた。
(1) 項１＝２・３＝６、であり、
(2) 項２＝(-1)・(ａの２乗) 、である。
項１と項２が求められたので、以下のように数式を噛み合わせて各項になるように、たすき掛けして因数分解する。
ｆ＝(３ｘ－ａ)(ａｘ＋２)，
に因数分解できた。
なお、先に、式の全ての項に共通する因数をくくり出しているならば、式の左右の係数に共通する因数(ａ)がある場合は、下図のように、因数(ａ)の群を１つの項にまとめる。
《問６の別解（項の分割）》たすき掛けしないで自動的に計算する
たすき掛けが考えにくい場合は、以下のように式を計算すれば良い。
最初にｘの２乗の項の係数と、定数項とを掛けあわせた式
を計算する。
次に、それを２つの項の積に分割する。
その２つの項の和が、ｘの１乗の項の係数になるように、２つの項の積に分割する。
上記の計算の結果、２つの項への分割が見つかった。次に、その分割した２つの項で式をしっかり分けて（ｘの１乗の項を２つに分けて） 以下のように式を書く。
その式の、隣合う式同士を合わせて、同じ因数を括りだしていく。
こうすると、上の式のように自動的に因数分解できる。
【問７】以下の２次関数を因数分解せよ。
【解答】
最初に、ｘの２乗の係数と、定数項との積Ｓ＝(75)(-164)を計算する。次に、その積Ｓの値を項１と項２の積に分割する。その２つの項の和をｘの１次の項の係数の８９にするのが目標。すなわち、最初に、以下の計算を行って、足して８９にする２つの項を求める。
積Ｓ＝（７５）（ー１６４）は２の倍数であり、かつ、５の倍数である。
一方で、目標の８９は、２の倍数では無く、５の倍数でもない。そのため、積Ｓを項１と項２の積に分割して、その２つの項の和が目標の８９になるには、各項が一緒に２の倍数にはならない。各項が一緒に５の倍数にはならない。そのため、積Ｓ＝(75)(-164)を項１と項２の積に分割する際に、２の２乗の４が分割し得ない１組であり、５の２乗の２５が分割し得ない１組である。
ゆえに、用いることができるのは：
▷積Ｓを積に分けられるブロックは、3と25と、4と41のみに分けられる。
積Ｓを分割し得るブロックの積であらわすと、
Ｓ＝(-1)・(３)・(２５)・(４)・(４１)である。
以上のブロックの、(-1)と３と２５と４と４１の数のいくつかを選んで積を求めた項１と、残りの数の積を求めた項２を作る。その２つ項の和がちょうど８９になる組合せを選ぶだけです。
そうなる項１と項２項の組み合わせは、１２３と（－１００）、１６４と（－７５）、１０２５と（ー１２）、などの８組ぐらいしかない。そのうち、２つの数の和がちょうど８９になる組合せは、１６４と（－７５）です。
(1) 項１＝１６４＝４・４１であり、
(2) 項２＝－７５＝(－１)・３・２５である。
項１と項２が求められたので、以下のように数を噛み合わせてたすき掛けして因数分解する。
《問７の別解》たすき掛けしないで自動的に計算する
最初に、ｘの２乗の項の係数と、定数項とを掛けあわせて、次に、以下のようにして、足して８９にする２つの項を求める。
その２つの項が見つかったら、ｘの１乗の項を、その２つの項に係る項に分けて、以下のように式を書く。
そして、隣合う式同士を合わせて、同じ因数を括りだしていく。
こうすると、上の式のように自動的に因数分解できる。
【問８】
以下の２次関数を因数分解せよ。
この問題の解答は、ここをクリックした先にある。
【問９】
以下の２次関数を因数分解せよ。
この問題の解答はここをクリックした先にある。
（例１０）たすき掛けでは因数分解できない式（見分け方）
ｘの２乗の係数の（１）と、定数項（９６）との積Ｓ＝９６を、項１と項２の積に分解して、
その２つの項の和がｘの１乗の項の係数の（３６）になるのが目標。
▷目標の（３６）が２の倍数なので、積に分解した２つの項の和が２の倍数の目標になるには、その２つの項が一緒に２の倍数になる必要がある。その結果、積Ｓが２の２乗の倍数になっていなければならない。また、下図の①で、積Ｓが３の倍数であって、②で、目標の（３６）が３の倍数なので、積に分解した２つの項の和が３の倍数になるには、下図の④で、１つの項が３の倍数になり、③で、残りの項も３の倍数になる必要がある。その結果、積Ｓが３の２乗の倍数になっていなければならない。
しかし、積Ｓ＝９６を２つの項の積へ分割する場合では、２つ目の項④のみが３の倍数である。１つ目の項③は３の倍数にできない。（積Ｓが３の二乗の倍数になっていない）。そのため、この式は、たすき掛けでは因数分解できない。
この式の因数分解は、平方完成の方法で因数分解するしかない。
（例１１）たすき掛けでは因数分解できない式
ｘの２乗の係数が奇数であり、定数項が奇数であり、ｘの１乗の係数が奇数である場合は、たすき掛けでは因数分解できない。
この式の因数分解は、平方完成の方法で因数分解するしかない。
（例１２）たすき掛けでは因数分解できない式
ｘの２乗の係数の（１）と、定数項（３０）との積Ｓ＝（３０）を、項１と項２の積に分解して、
その２つの項の和がｘの係数の（１９）になるのが目標。
しかし、（３０＝２×３×５）を、２つの項の積に分解するあらゆる場合で、２つの項の和を１９にすることが不可能である。そのため、この式は、たすき掛けでは因数分解できない。
この式の因数分解は、平方完成の方法で因数分解するしかない。
（例１３）たすき掛けでは因数分解できない式
ｘの２乗の係数の（１）と、定数項（－(y-2)(y+2)）との積Ｓを、項１と項２の積に分解して、
その２つの項の和がｘの係数の（２）になるのが目標。
しかし、（－(y-2)(y+2)）を、２つの項の積に分解するあらゆる場合で、２つの項の和からｙを消去し、値を２にすることが不可能である。そのため、この式は、たすき掛けでは因数分解できない。
この式の因数分解は、例１４のように根号を使った式に因数分解する必要がある。
（問４の因数分解の、平方完成による方法）
（例１４）以下の式の因数分解は、たすき掛けでは因数分解できない。そのため、この式を因数分解するには、根号を使った式に因数分解する必要がある。|a|≦1の場合には、以下の式に因数分解できる。
リンク：
〔左右の係数の積を使う左右積法〕
因数分解「たすきがけ」を早く簡単にする裏ワザの方法を解説
たすきがけ不要！ 因数分解の裏技「左右積法」京都共栄学園バタビアコース
左右積法のpdf
〔係数の分割の極意〕
たすき掛けの因数分解が苦手な人へ：簡単に解くための3つのコツ！
【高校数学】超速たすき掛け１---たすき掛けの因数分解を高速でやっつけます。【因数分解】
係数が複雑なたすきがけ因数分解
たすき掛けによる因数分解のコツとは？
裏技どころか超正攻法！?「たすき掛けしない」たすき掛けの因数分解
【中学高校数学】たすきがけ（因数分解）の裏ワザ〈東大〉
分かりやすい【展開・因数分解】たすき掛けが簡単にできちゃう！
〔たすき掛けしない解き方〕
数学1 因数分解：たすき掛けしない解き方。
【裏技なのか？】たすき掛け因数分解を２通りで解説【ACメソッド(グループ化)】
たすきがけ因数分解できなくても諦めないで！くくってくくればできる因数分解
高校数学の目次
0 件のコメント:
コメントを投稿