やさしい微分積分
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《関数のグラフの形と微分係数》
区間で連続な関数ｆ(x) のグラフｙ＝ｆ(x) の形を考える。
関数の微分係数によりグラフの傾きが求められる。グラフの各箇所の傾きが分かれば、各箇所の傾きからグラフの形が分かる。
例えば、ｙ＝ｆ(x) ＝ｘ２という放物線のグラフでは：
このグラフは、
ｘ＝０の右側のｘではグラフが右上がりで、
ｘ＝０の左側のｘでは右下がりのグラフであることは良く知っている。
このことは、微分を利用すれば簡単にわかる。
微分を利用すれば、ｘ＝０の右側のｘの導関数ｆ’(x) ＝２ｘが正なので、グラフが右上がりであることがわかる。
また、ｘ＝０の左側のｘの導関数ｆ’(x) ＝２ｘが負なので、グラフが右下がりであることがわかる。
更に、ｘ＝０の位置でのｘの導関数ｆ’(0) ＝０であるので、ｘ＝０の点ではグラフが水平方向に進むことがわかる。
そのように、微分を利用してグラフの傾きｙ’＝ｆ’(x) を求めることでグラフの概形を知ることができる。
微分を利用してグラフの導関数ｙ’＝ｆ’(x) からグラフの概形を求める方法として、以下の図に示す増減表でグラフをあらわす。
《増減表を書く手順》
先ず、関数ｙ＝ｆ(x) を微分した導関数ｆ’(x) を求める。
そして、ｙ’＝ｆ’(x)＝０となるｘの値を求める。
ｆ’(x) ＝０となるｘの値を増減表の列にする。その列のｙ’＝ｆ’(x) の欄に０を書き、ｙ＝ｆ(x) の欄に、ｆ(x) の値を書く。
そのｘの値の前後の値のｘのｆ’(x) の値が正（＋）か負（－）かを調べて、そのｘの値の列のｙ’＝ｆ’(x) の欄に書き込む。
すなわち、ｆ’(x) の値が＋ならば、ｙ＝ｆ(x) の欄に右上がりの矢印を書き込み、ｆ’(x) の値が－ならば、ｙ＝ｆ(x) の欄に右下がりの矢印を書き込む。
増減表は、上図の表のように、関数ｙ＝ｆ(x) の独立変数ｘの値と、従属変数ｙの値と、関数の微分ｙ’＝ｆ’(x) の値とを表にしてグラフの概形をあらわす。
所定区間でｆ’(x) ＞０ならば、その区間でｆ(x) は単調に増加。
所定区間でｆ’(x) ＜０ならば、その区間でｆ(x) は単調に減少。
【問１】
関数ｆ(x)＝ｘ2－6ｘの増減表をつくりなさい。
【解１】
先ず、関数ｆ(x) の導関数ｆ’(x)＝２ｘー６を求める。
ｆ’(x)＝０となるｘの値は３である。
そのｘの値＝３を増減表の列にする。
ｘ＝３の列のｙ’＝ｆ’(x) の欄に０を書き、ｙ＝ｆ(x) の欄に、ｆ(３) の値の－９を書く。
【解２】
ｆ(x)＝０になるｘ＝０とｘ＝６の点の列を加えて以下の増減表を書いても良い。
【問２】
関数f(x)=－2x3+6xの増減表をつくりなさい。
【解１】
【解２】
ｆ(x)＝０になるｘ＝０の点の列を加えて以下の増減表を書いても良い。
《有限の区間で定義された関数ｆ(x) の増減表》
関数ｙ＝ｆ(x) が有限の区間で定義されている場合の関数の増減表は、関数ｙが区間の端では微分できないことに注意して以下の図のように書く。以下の図は、関数ｙ＝ｆ(x) の定義域が閉区間 [-2,2] の場合の増減表をあらわす。
上図の増減表で、区間の端の関数の微分ｙ’＝ｆ’(x) の欄は、上図のように区間の端の近傍でのｙ’の値をカッコ()付きで書くか、その欄を空欄にするか、あるいはその欄に斜線を引いてあらわす。
《関数の極大・極小》
上図の関数ｆ(x) のグラフの点（－１，２）では、関数の値が増加から減少に移る。そのように関数ｆ(x) がｘ＝ａを堺目として増加から減少に移るとき、
ｆ(x) はｘ＝ａで極大である、
と言い、ｆ(a) を極大値と呼ぶ。
上図のグラフの点（１，－２）では、関数の値が減少から増加に移る。そのように関数ｆ(x) がｘ＝ｂを堺目として減少から増加に移るとき、
ｆ(x) はｘ＝ｂで極小である、
と言い、ｆ(b) を極小値と呼ぶ。
極大値と極小値をまとめて極値と呼ぶ。
上図の関数のグラフでは、ｙ’＝ｆ’(x)＝０となるｘの点で関数が極値を持った。しかし、以下の関数ｆ(x) の例に示すように、ｆ’(a)＝０となるｘ＝ａなるｘの点で関数が極値を持つとは限らない。
関数ｆ(x) に関して次のことが言える。
関数ｆ(x) がｘ＝ａで極値を取るならばｆ’(a)＝０である。
ｆ’(a) ＝０であっても、ｘ＝ａで極値を取るとは限らない。
ｆ’(a) ＝０であっても：
ｘ＝ａ の前後でｆ’(x) ＞０ならば、ｘ＝ａ の前後でｆ(x) は単調に増加。
ｘ＝ａ の前後でｆ’(x) ＜０ならば、ｘ＝ａ の前後でｆ(x) は単調に減少。
確実に極値を取ると言えるのは、以下の場合である。
すなわち、ｆ’(x)＝０になる点であって、その点のｘの値の前後で、ｙ’’＝ｆ’’(x) がともに正である場合に必ず極小値を取る。また、ともに負である場合に必ず極大値を取る。
他方、ｆ’(x)＝０になる点であって、その点のｘの値の前後で、ｙ’’＝ｆ’’(x) の値が正から負に移る場合か、又は、負から正に移る場合には、決して極値を取らない。
【関数ｆ(x) の極値の例】
また、y'' とｙ’との増減表からｙ’＝ｆ’(x) のグラフの概形がわかる。ｙ’のグラフの概形は以下の図のようになる。
《ｆ’(x) ＝０になる前後のｘのｙ’＝ｆ’(x) の正負の判定》
下図の関数ｆ(x) の増減表のように、ｙ’’を求めて、ｙ’のグラフの概形を求めることでｙ’の正負を判定する。
ｆ’(x)＝０になる点であって、その点のｘの値の前後のｙ’’＝ｆ’’(x) がともに正である場合か、又は、ともに負である場合は、ｆ’(x)＝０の前後のｆ’(x) の正と負が交互に変わる。
他方、ｆ’(x)＝０になる点であって、その点のｘの値の前後のｙ’’＝ｆ’’(x) の値が正から負に移る場合や、負から正に移る場合には、ｆ’(x) の正と負が交互に変わらない。
別の観点から言えば：
ｆ’(x)＝０になるｘの解が 重解でない場合は、ｆ’(x)＝０の前後のｆ’(x) の正と負が交互に変わる。
ｆ’(x)＝０になるｘの解が２重解の場合は、ｆ’(x) の正と負が交互に変わらない。
ｆ’(x)＝０になるｘの解が３重解の場合は、ｆ’(x) の正と負が交互に変わる。
ｆ’(x)＝０になるｘの解が４重解の場合は、ｆ’(x) の正と負が交互に変わらない。
《補足》
３次関数のグラフで、極大値と極小値とを持つグラフには、以下の寸法の関係があることを覚えておくと便利です。（これが成り立つことの証明は各自で行っておくこと）
《極値の定義》
(1) 関数ｆ(x) において、ｘ＝ｃの前後の近くで、
ｘ≠ｃ なら f(x)＜f(c)
が成立するとき、
f(c) を極大値と言う。
(2) 関数ｆ(x) において、ｘ＝ｃの前後の近くで、
ｘ≠ｃ なら f(x)＞f(c)
が成立するとき、
f(c) を極小値と言う。
すなわち、ｆ(x)がｘ＝cで微分係数ｆ’(x)を持たない場合でも、更には、ｘ＝cで連続でなくても、以上の定義に当てはまれば、ｆ(c) が極値になり得る。
リンク：
やさしい微分積分
増減表の極意
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《関数のグラフの形と微分係数》
区間で連続な関数ｆ(x) のグラフｙ＝ｆ(x) の形を考える。
関数の微分係数によりグラフの傾きが求められる。グラフの各箇所の傾きが分かれば、各箇所の傾きからグラフの形が分かる。
例えば、ｙ＝ｆ(x) ＝ｘ２という放物線のグラフでは：
このグラフは、
ｘ＝０の右側のｘではグラフが右上がりで、
ｘ＝０の左側のｘでは右下がりのグラフであることは良く知っている。
このことは、微分を利用すれば簡単にわかる。
微分を利用すれば、ｘ＝０の右側のｘの導関数ｆ’(x) ＝２ｘが正なので、グラフが右上がりであることがわかる。
また、ｘ＝０の左側のｘの導関数ｆ’(x) ＝２ｘが負なので、グラフが右下がりであることがわかる。
更に、ｘ＝０の位置でのｘの導関数ｆ’(0) ＝０であるので、ｘ＝０の点ではグラフが水平方向に進むことがわかる。
そのように、微分を利用してグラフの傾きｙ’＝ｆ’(x) を求めることでグラフの概形を知ることができる。
微分を利用してグラフの導関数ｙ’＝ｆ’(x) からグラフの概形を求める方法として、以下の図に示す増減表でグラフをあらわす。
《増減表を書く手順》
先ず、関数ｙ＝ｆ(x) を微分した導関数ｆ’(x) を求める。
そして、ｙ’＝ｆ’(x)＝０となるｘの値を求める。
ｆ’(x) ＝０となるｘの値を増減表の列にする。その列のｙ’＝ｆ’(x) の欄に０を書き、ｙ＝ｆ(x) の欄に、ｆ(x) の値を書く。
そのｘの値の前後の値のｘのｆ’(x) の値が正（＋）か負（－）かを調べて、そのｘの値の列のｙ’＝ｆ’(x) の欄に書き込む。
すなわち、ｆ’(x) の値が＋ならば、ｙ＝ｆ(x) の欄に右上がりの矢印を書き込み、ｆ’(x) の値が－ならば、ｙ＝ｆ(x) の欄に右下がりの矢印を書き込む。
増減表は、上図の表のように、関数ｙ＝ｆ(x) の独立変数ｘの値と、従属変数ｙの値と、関数の微分ｙ’＝ｆ’(x) の値とを表にしてグラフの概形をあらわす。
所定区間でｆ’(x) ＞０ならば、その区間でｆ(x) は単調に増加。
所定区間でｆ’(x) ＜０ならば、その区間でｆ(x) は単調に減少。
【問１】
関数ｆ(x)＝ｘ2－6ｘの増減表をつくりなさい。
【解１】
先ず、関数ｆ(x) の導関数ｆ’(x)＝２ｘー６を求める。
ｆ’(x)＝０となるｘの値は３である。
そのｘの値＝３を増減表の列にする。
ｘ＝３の列のｙ’＝ｆ’(x) の欄に０を書き、ｙ＝ｆ(x) の欄に、ｆ(３) の値の－９を書く。
【解２】
ｆ(x)＝０になるｘ＝０とｘ＝６の点の列を加えて以下の増減表を書いても良い。
【問２】
関数f(x)=－2x3+6xの増減表をつくりなさい。
【解１】
【解２】
ｆ(x)＝０になるｘ＝０の点の列を加えて以下の増減表を書いても良い。
《有限の区間で定義された関数ｆ(x) の増減表》
関数ｙ＝ｆ(x) が有限の区間で定義されている場合の関数の増減表は、関数ｙが区間の端では微分できないことに注意して以下の図のように書く。以下の図は、関数ｙ＝ｆ(x) の定義域が閉区間 [-2,2] の場合の増減表をあらわす。
上図の増減表で、区間の端の関数の微分ｙ’＝ｆ’(x) の欄は、上図のように区間の端の近傍でのｙ’の値をカッコ()付きで書くか、その欄を空欄にするか、あるいはその欄に斜線を引いてあらわす。
《関数の極大・極小》
上図の関数ｆ(x) のグラフの点（－１，２）では、関数の値が増加から減少に移る。そのように関数ｆ(x) がｘ＝ａを堺目として増加から減少に移るとき、
ｆ(x) はｘ＝ａで極大である、
と言い、ｆ(a) を極大値と呼ぶ。
上図のグラフの点（１，－２）では、関数の値が減少から増加に移る。そのように関数ｆ(x) がｘ＝ｂを堺目として減少から増加に移るとき、
ｆ(x) はｘ＝ｂで極小である、
と言い、ｆ(b) を極小値と呼ぶ。
極大値と極小値をまとめて極値と呼ぶ。
上図の関数のグラフでは、ｙ’＝ｆ’(x)＝０となるｘの点で関数が極値を持った。しかし、以下の関数ｆ(x) の例に示すように、ｆ’(a)＝０となるｘ＝ａなるｘの点で関数が極値を持つとは限らない。
関数ｆ(x) に関して次のことが言える。
関数ｆ(x) がｘ＝ａで極値を取るならばｆ’(a)＝０である。
ｆ’(a) ＝０であっても、ｘ＝ａで極値を取るとは限らない。
ｆ’(a) ＝０であっても：
ｘ＝ａ の前後でｆ’(x) ＞０ならば、ｘ＝ａ の前後でｆ(x) は単調に増加。
ｘ＝ａ の前後でｆ’(x) ＜０ならば、ｘ＝ａ の前後でｆ(x) は単調に減少。
確実に極値を取ると言えるのは、以下の場合である。
すなわち、ｆ’(x)＝０になる点であって、その点のｘの値の前後で、ｙ’’＝ｆ’’(x) がともに正である場合に必ず極小値を取る。また、ともに負である場合に必ず極大値を取る。
他方、ｆ’(x)＝０になる点であって、その点のｘの値の前後で、ｙ’’＝ｆ’’(x) の値が正から負に移る場合か、又は、負から正に移る場合には、決して極値を取らない。
【関数ｆ(x) の極値の例】
また、y'' とｙ’との増減表からｙ’＝ｆ’(x) のグラフの概形がわかる。ｙ’のグラフの概形は以下の図のようになる。
《ｆ’(x) ＝０になる前後のｘのｙ’＝ｆ’(x) の正負の判定》
下図の関数ｆ(x) の増減表のように、ｙ’’を求めて、ｙ’のグラフの概形を求めることでｙ’の正負を判定する。
ｆ’(x)＝０になる点であって、その点のｘの値の前後のｙ’’＝ｆ’’(x) がともに正である場合か、又は、ともに負である場合は、ｆ’(x)＝０の前後のｆ’(x) の正と負が交互に変わる。
他方、ｆ’(x)＝０になる点であって、その点のｘの値の前後のｙ’’＝ｆ’’(x) の値が正から負に移る場合や、負から正に移る場合には、ｆ’(x) の正と負が交互に変わらない。
別の観点から言えば：
ｆ’(x)＝０になるｘの解が 重解でない場合は、ｆ’(x)＝０の前後のｆ’(x) の正と負が交互に変わる。
ｆ’(x)＝０になるｘの解が２重解の場合は、ｆ’(x) の正と負が交互に変わらない。
ｆ’(x)＝０になるｘの解が３重解の場合は、ｆ’(x) の正と負が交互に変わる。
ｆ’(x)＝０になるｘの解が４重解の場合は、ｆ’(x) の正と負が交互に変わらない。
《補足》
３次関数のグラフで、極大値と極小値とを持つグラフには、以下の寸法の関係があることを覚えておくと便利です。（これが成り立つことの証明は各自で行っておくこと）
《極値の定義》
(1) 関数ｆ(x) において、ｘ＝ｃの前後の近くで、
ｘ≠ｃ なら f(x)＜f(c)
が成立するとき、
f(c) を極大値と言う。
(2) 関数ｆ(x) において、ｘ＝ｃの前後の近くで、
ｘ≠ｃ なら f(x)＞f(c)
が成立するとき、
f(c) を極小値と言う。
すなわち、ｆ(x)がｘ＝cで微分係数ｆ’(x)を持たない場合でも、更には、ｘ＝cで連続でなくても、以上の定義に当てはまれば、ｆ(c) が極値になり得る。
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