増減表の極意

〔増減表の初歩のページ〕
　増減表における、ｆ’(x)＝０になる点であって、その点のｘの値の前後のｙ’’＝ｆ’’(x) がともに正である場合か、又は、ともに負である場合は、ｆ’(x)＝０の前後のｆ’(x) の正と負が交互に変わる。
　他方、ｆ’(x)＝０になる点であって、その点のｘの値の前後のｙ’’＝ｆ’’(x) の値が正から負に移る場合や、負から正に移る場合には、ｆ’(x) の正と負が交互に変わらない。

別の観点から言えば：
　ｆ’(x)＝０になるｘの解が 重解でない場合は、ｆ’(x)＝０の前後のｆ’(x) の正と負が交互に変わる。
　ｆ’(x)＝０になるｘの解が２重解の場合は、ｆ’(x) の正と負が交互に変わらない。
　ｆ’(x)＝０になるｘの解が３重解の場合は、ｆ’(x) の正と負が交互に変わる。
　ｆ’(x)＝０になるｘの解が４重解の場合は、ｆ’(x) の正と負が交互に変わらない。

上記の増減表は、４回微分した導関数のグラフから１回微分した導関数のグラフと関数ｆ(x) のグラフを重ねて表示したようなものです。

《ｓ(a)＝０の単調増加関数を外していく増減表》
　関数ｆ(x) を微分していく増減表に類似した増減表として、以下の図の増減表を考えることもできる。すなわち、ｆ(x) から、ｓ(a)＝０であってｘ＝ａの前後で単調増加する関数ｓ(x) を外していく増減表も、関数ｆ(x) の形を微分して変える増減表と同様な効果がある。関数ｓ(x) を外していく増減表を使っても、関数を微分していく増減表と同様に、ｘ＝ａの前後の関数の概形を求めることができる。


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