やさしい微分積分
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《グラフの傾き》
以下では、区間で連続な関数のグラフの傾きを考える。例えば、ｘの実数全体の区間で連続な放物線の関数ｆ(x) を考える。下図の放物線のグラフy=ｆ(x) の各点での傾きを調べる。
ｙ＝ｆ(x) の放物線のグラフの曲線の点Ｃでの傾きは、点Ｃでグラフの曲線に接する直線ＤＥの傾きと同じである。直線ＤＥの傾きは、その直線に平行な直線ＡＢの傾きと等しい。
すなわち、放物線の点Ｃでの傾きは、点Ｃの近くの曲線上の２つの点ＡとＢを結ぶ直線の傾きと等しい。このように、放物線の点Ｃでの傾きは、点Ｃの近くの曲線上の２点を通る直線の傾きとして求めることができる。
２点を定めて点Ｃでの放物線の傾きを計算するときは、以下の図のように、２点のうちの１つを点Ｃとし、もう１つの点を点Ｃの近くの曲線上の点Ｐとする方が計算がし易いので、その２点で計算する。
上図のグラフで、点Ｃから点Ｐまで独立変数ｘが変化する幅をｘの増分と呼び、Δx とあらわす。
これに対応して点Ａから点Ｂまで従属変数ｙが変化する幅の、（点Ｐの高さ）－（点Ｃの高さ） をｙの増分と呼び、Δy とあらわす。
放物線の微小部分の傾きは、微小なｘの増分Δx に対する放物線の微小なｙの増分Δｙの比Δy／Δx としてあらわすことができる。
（注意： Δx やΔy は、これでまとまった記号で、Δ×(x)やΔ×(y) を意味するのではありません。そのため分母と分子のΔを約分してはいけません。）
上図のように、点Ｃと右の点Ｐ2（Δx＞０）との傾きと、点Ｃと左の点Ｐ1（Δx＜０）との傾きとはわずかに異なる。直線ＣＰ2の傾きと、直線Ｐ1Ｃの傾きとは、Δx を０に近くすればするほど、変化していく。そして、点Ｐが限りなく点Ｃに近づくと、直線ＣＰは点Ｃにおける接線ＤＥに近づいていく。このとき、直線ＣＰが接線ＤＥに収束する、と言う。
その直線ＣＰの傾きは、上図の式であらわすことができる。
《極限値》
増分Δx が０とは異なる値をとりながら限りなく０に近づくとき、Δy／Δx の値がある定数ｋに限りなく近づくならば、
Δx →０のとき、(Δy／Δx)→ｋ
とか、
とあらわす。
そして、その定数ｋを、
Δx →０のときのΔy／Δx の極限値、または、極限と呼ぶ。
（注意： 限りなく近づくとは「最終的には一致する」ことを意味しない。Δy／Δx が限りなくｋに近づくだけで永遠にｋに一致しないでも、「極限値がｋである」と言うのです。）
ここで、増分Δx をｈとあらわすことにする。そして、増分ｈを限りなく０に近づけた式は、以下の図の式であらわす。
点Ｃ(ｘ0，ｙ0) におけるこの式の極限値のことを、ｆ'(ｘ0)と表して、独立変数の数直線上のｘ＝ｘ0の点における微分係数という。
《関数ｆ(x) は、定義域の閉区間の端では微分できない》
ここで、点Ｃ(ｘ0, ｙ0) の左右の点を平等に考えて傾きを計算する。点Ｃ以外のもう１つの点のｘ座標は、ｘ0 より小さい値からｘ0 よりも大きい値までで傾きを計算する。
その計算ができるようにするために、微分係数を計算するｘ座標の値ｘ0 は関数ｆ(x) の区間の内部になければならない。つまり、値ｘ0 は関数ｆ(x)の変数ｘの区間の端にあってはいけない。値ｘ0 は変数ｘの区間の内部（開区間）になければならない。
上図の関数ｆ(x) が０≦ｘ≦２の閉区間 [0,2] で定義されている場合を考える。
この関数ｆ(x) を定義域である閉区間の端点ｘ＝０やｘ＝２で微分することは無意味である。定義域の外側ではどのようなグラフにつながっているか、または、つながっていないか、が決められていないからである。
関数ｆ(x) の定義域が閉区間[a,b]である場合に、区間の端ではｆ(x) が微分できない。
【導関数とは何か】
上記のように、区間で連続な関数f(x) の独立変数ｘの数直線上のｘ＝ｘ0の点における微分係数を１つ求めた。しかし、独立変数ｘの数直線上の各点における微分係数を毎回求めるのはかなり面倒なので、関数ｆ(x)の独立変数ｘの区間の内部の任意のｘの点での微分係数を全部求める。つまり、関数ｆ(x) のｘの区間の内部（開区間）の点での微分係数ｆ’(x) を計算する。
ここで、区間で連続な関数ｆ(x) の微分係数ｆ’(x) があらわす（開区間での）関数を、関数ｆ(x)の導関数と言う。以下の図の関数ｆ(x) の導関数ｆ’(x) は微分の公式により計算でき下図の式になる。
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《グラフの傾き》
以下では、区間で連続な関数のグラフの傾きを考える。例えば、ｘの実数全体の区間で連続な放物線の関数ｆ(x) を考える。下図の放物線のグラフy=ｆ(x) の各点での傾きを調べる。
ｙ＝ｆ(x) の放物線のグラフの曲線の点Ｃでの傾きは、点Ｃでグラフの曲線に接する直線ＤＥの傾きと同じである。直線ＤＥの傾きは、その直線に平行な直線ＡＢの傾きと等しい。
すなわち、放物線の点Ｃでの傾きは、点Ｃの近くの曲線上の２つの点ＡとＢを結ぶ直線の傾きと等しい。このように、放物線の点Ｃでの傾きは、点Ｃの近くの曲線上の２点を通る直線の傾きとして求めることができる。
２点を定めて点Ｃでの放物線の傾きを計算するときは、以下の図のように、２点のうちの１つを点Ｃとし、もう１つの点を点Ｃの近くの曲線上の点Ｐとする方が計算がし易いので、その２点で計算する。
上図のグラフで、点Ｃから点Ｐまで独立変数ｘが変化する幅をｘの増分と呼び、Δx とあらわす。
これに対応して点Ａから点Ｂまで従属変数ｙが変化する幅の、（点Ｐの高さ）－（点Ｃの高さ） をｙの増分と呼び、Δy とあらわす。
放物線の微小部分の傾きは、微小なｘの増分Δx に対する放物線の微小なｙの増分Δｙの比Δy／Δx としてあらわすことができる。
（注意： Δx やΔy は、これでまとまった記号で、Δ×(x)やΔ×(y) を意味するのではありません。そのため分母と分子のΔを約分してはいけません。）
上図のように、点Ｃと右の点Ｐ2（Δx＞０）との傾きと、点Ｃと左の点Ｐ1（Δx＜０）との傾きとはわずかに異なる。直線ＣＰ2の傾きと、直線Ｐ1Ｃの傾きとは、Δx を０に近くすればするほど、変化していく。そして、点Ｐが限りなく点Ｃに近づくと、直線ＣＰは点Ｃにおける接線ＤＥに近づいていく。このとき、直線ＣＰが接線ＤＥに収束する、と言う。
その直線ＣＰの傾きは、上図の式であらわすことができる。
《極限値》
増分Δx が０とは異なる値をとりながら限りなく０に近づくとき、Δy／Δx の値がある定数ｋに限りなく近づくならば、
Δx →０のとき、(Δy／Δx)→ｋ
とか、
とあらわす。
そして、その定数ｋを、
Δx →０のときのΔy／Δx の極限値、または、極限と呼ぶ。
（注意： 限りなく近づくとは「最終的には一致する」ことを意味しない。Δy／Δx が限りなくｋに近づくだけで永遠にｋに一致しないでも、「極限値がｋである」と言うのです。）
ここで、増分Δx をｈとあらわすことにする。そして、増分ｈを限りなく０に近づけた式は、以下の図の式であらわす。
点Ｃ(ｘ0，ｙ0) におけるこの式の極限値のことを、ｆ'(ｘ0)と表して、独立変数の数直線上のｘ＝ｘ0の点における微分係数という。
《関数ｆ(x) は、定義域の閉区間の端では微分できない》
ここで、点Ｃ(ｘ0, ｙ0) の左右の点を平等に考えて傾きを計算する。点Ｃ以外のもう１つの点のｘ座標は、ｘ0 より小さい値からｘ0 よりも大きい値までで傾きを計算する。
その計算ができるようにするために、微分係数を計算するｘ座標の値ｘ0 は関数ｆ(x) の区間の内部になければならない。つまり、値ｘ0 は関数ｆ(x)の変数ｘの区間の端にあってはいけない。値ｘ0 は変数ｘの区間の内部（開区間）になければならない。
この関数ｆ(x) を定義域である閉区間の端点ｘ＝０やｘ＝２で微分することは無意味である。定義域の外側ではどのようなグラフにつながっているか、または、つながっていないか、が決められていないからである。
関数ｆ(x) の定義域が閉区間[a,b]である場合に、区間の端ではｆ(x) が微分できない。
【導関数とは何か】
上記のように、区間で連続な関数f(x) の独立変数ｘの数直線上のｘ＝ｘ0の点における微分係数を１つ求めた。しかし、独立変数ｘの数直線上の各点における微分係数を毎回求めるのはかなり面倒なので、関数ｆ(x)の独立変数ｘの区間の内部の任意のｘの点での微分係数を全部求める。つまり、関数ｆ(x) のｘの区間の内部（開区間）の点での微分係数ｆ’(x) を計算する。
ここで、区間で連続な関数ｆ(x) の微分係数ｆ’(x) があらわす（開区間での）関数を、関数ｆ(x)の導関数と言う。以下の図の関数ｆ(x) の導関数ｆ’(x) は微分の公式により計算でき下図の式になる。
導関数ｆ’(x) を求めることを、関数ｆ(x) を微分すると言う。
また、関数ｆ(x) の導関数ｆ'(x) をｄｆ／ｄｘと書くこともある。更に、導関数ｆ’(x) をｄｙ/ｄx と書いたり、ｙ’ と書くこともある。
【関数ｆ(x) の微分係数が定まらない場合もある】
ここで、関数ｆ(x) によっては、所定の点Ｃの左右の点を平等に考えて傾きを計算する場合に、左側の点Ｐ1 と点Ｃとを結ぶ直線が限りなく近づく直線の傾きと、点Ｃと右側の点Ｐ2 とを結ぶ直線が限りなく近づく直線の傾きが一致しない関数ｆ(x) もある。
以下の図の関数ｆ(x)＝|x| のｘ＝０の点Ｏで、それがおきている。
この場合には、その点Ｏでは、微分係数が定まらず微分ができない。
（注意）
独立変数ｘの実数全体の区間で連続な関数ｆ(x) ＝|x| の導関数ｆ’(x) は、以下のグラフであらわされる。
この導関数ｆ’(x) は、ｘ＝０の点では定義されず、その点でグラフが千切れるため、実数全体の区間で連続な関数ではない。この導関数ｆ’(x) は、ｘ＜０の区間の連続関数とｘ＞０の区間の連続関数とを合わせた、複合区間を定義域とする関数である。
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