《ベクトルの一次独立とは何か》
２つの独立したベクトルのことを、「２つの一次独立なベクトル」と呼びます。
２つのベクトルのうちのある１つのベクトルが、他の１つのベクトルの実数倍であらわせる場合は、その２つのベクトルが１次従属である、と呼びます。
２つの独立したベクトルという意味は、そういうことはない、という意味です。
３つの独立したベクトルのことを、「３つの一次独立なベクトル」と呼びます。
３つのベクトルのうちのある１つのベクトルが、他の２つのベクトルの合成であらわせる場合は、その３つのベクトルが１次従属である、と呼びます。
３つの独立したベクトルという意味は、そういうことはない、という意味です。
〔２次元ベクトルの２つのベクトルが１次独立であるとは〕
２つのベクトルが０ベクトルではなく、かつ、同一直線上にはないことです。
〔３次元ベクトルの３つのベクトルが１次独立であるとは〕
３つのベクトルが０ベクトルではなく、かつ、同一平面上にはないことです。
別の視点から説明すると、
▷２つのベクトル（２次元平面上のベクトルであっても空間ベクトルであっても良い）が１次独立であるとは、
その２つの（０べクトルではない）ベクトルで（直線につぶれていない）２次元（平面）の斜交座標系を作れるということです。
▷３つのベクトルが１次独立であるとは、
その３つの（０べクトルではない）ベクトルで（平面につぶれていない）３次元（３次元空間）の斜交座標系を作れるということです。
すなわち、
①１次独立な２つのベクトルが平面を構成し、 その２つのベクトルの合成により、その平面上のあらゆるベクトルがあらわせる。
しかも、平面上のあるベクトルを２つの１次独立なベクトルの合成であらわすとき、各ベクトルの合成係数が１つに定まる（式の一意性）。
②１次独立な３つのベクトルが３次元空間を構成し、 その３つのベクトルの合成により、その３次元空間上のあらゆるベクトルがあらわせる。
しかも、３次元空間上のあるベクトルを３つの１次独立なベクトルの合成であらわすとき、各ベクトルの合成係数が１つに定まる（式の一意性）。
例えば、以下のように考える。
２次元ベクトル、又は３次元ベクトル、又は４次元ベクトルで、３つのベクトルが１次独立であるとは、
３つのベクトルが同一平面上にはないことです。
３つの空間ベクトルが同一平面上にあることの確認方法や、同一平面上にはないことの確認方法は、ここをクリックした先のページで説明する。
ここで、２次元ベクトルは、ある平面上のベクトルなので、
２次元ベクトルの３つのベクトルは、同一平面上にある。
すなわち、２次元ベクトルの３つのベクトルは、その３つのベクトルが一次独立になる条件（その３つのベクトルが３次元空間を構成する）を満足しない。
そのため、
２次元ベクトルの３つのベクトルは１次独立にはならない。
２次元ベクトルでの３つのベクトルは、必ず１次従属になる。
１次独立な２つのベクトルａとベクトルｂがある場合を考える。その２つのベクトルを合成することで、その２つのベクトルを含む２次元平面上の全てのベクトルがあらわされる。
その２次元平面に垂直な（ベクトルａに垂直で、かつ、ベクトルｂに垂直な）ベクトルｃを考える。（２次元平面に垂直なベクトルｃの求め方は、ここをクリックした先にある）
ベクトルｃは、先の２次元平面上のベクトルでは無いので、ベクトルｃは、ベクトルａとベクトルｂの合成では作ることができない。また、ベクトルｃとベクトルｂを合成したベクトルにはベクトルａに垂直な成分が含まれるので、ベクトルａは、ベクトルｃとベクトルｂの合成では作ることができない。同様に、ベクトルｂは、ベクトルｃとベクトルａの合成では作ることができない。つまり、ベクトルｃとベクトルｂとベクトルａとの３つのベクトルは、３つの独立したベクトルになる。
その３つのベクトルは１次独立なベクトルである。その３つのベクトルは同一平面上には無い。そして、その３つのベクトルを合成することで、３次元空間の全てのベクトルを表すことができる。
一次独立な２個のベクトルは、平面に含まれる全てのベクトルをあらわす２次元平面の斜交座標系を構成する。一次独立な３個のベクトルは、３次元空間に含まれる全てのベクトルをあらわす３次元空間の斜交座標系を構成する。一次独立なｎ個のベクトルがｎ次元空間の斜交座標系を構成する場合に、そのｎ次元空間の全てのベクトルに垂直なベクトルｃをｎ＋１個目のベクトルにしたｎ＋１個のベクトルは、ｎ＋１個の独立したベクトルになる。すなわち、一次独立なベクトルになる。そのｎ＋１個のベクトルは、ｎ＋１次元空間に含まれる全てのベクトルを表すｎ＋１次元空間の斜交座標系を構成する。
ｎ次元空間の斜交座標系の原点である０ベクトルをｎ個の一次独立なベクトルの合成で表す場合には、各ベクトルの合成成分が全て０の場合にのみ、０ベクトルがあらわせる（式の一意性）。
大学数学では、ｎ次元のベクトルをあらわすｎ次元の斜交座標系（つぶれていない）の原点（０ベクトル）をベクトルの合成であらわす式が、ｎ個のベクトルの合成成分を全て０にした式のみであること（一意性）を使って、ｎ個のベクトルの一次独立を定義している。
ｎ個の（０ベクトルでない）ベクトルの作る斜交座標系がつぶれていてｎ個のベクトルが（ｎ－１）次元の空間に含まれる場合は、０ベクトルをｎ個のベクトルの合成であらわすとき、各ベクトルの合成成分が０で無い式でも０ベクトルがあらわせる。また、０ベクトルは、ｎ個のベクトルの全ての合成成分が０の式でもあらわせる。そのように０ベクトルを複数の式であらわせるので、０ベクトルをｎ個のベクトルであらわす式の一意性が失われる。
ｎ個のベクトルが張る斜交座標系の原点（０ベクトル）をｎ個のベクトルの合成であらわす式が、ｎ個のベクトルの合成成分が全て０の式のみである（式の一意性がある）ならば、ｎ次元の斜交座標系はつぶれていない。そのとき、そのｎ個のべクトルが一次独立である、と定義している。
リンク：
ベクトルの1次独立と分解
1次独立(空間ベクトル)
（大学数学）ベクトルの一次独立，一次従属の定義と意味
高校数学の目次
２つの独立したベクトルのことを、「２つの一次独立なベクトル」と呼びます。
２つのベクトルのうちのある１つのベクトルが、他の１つのベクトルの実数倍であらわせる場合は、その２つのベクトルが１次従属である、と呼びます。
２つの独立したベクトルという意味は、そういうことはない、という意味です。
３つの独立したベクトルのことを、「３つの一次独立なベクトル」と呼びます。
３つのベクトルのうちのある１つのベクトルが、他の２つのベクトルの合成であらわせる場合は、その３つのベクトルが１次従属である、と呼びます。
３つの独立したベクトルという意味は、そういうことはない、という意味です。
〔２次元ベクトルの２つのベクトルが１次独立であるとは〕
２つのベクトルが０ベクトルではなく、かつ、同一直線上にはないことです。
〔３次元ベクトルの３つのベクトルが１次独立であるとは〕
３つのベクトルが０ベクトルではなく、かつ、同一平面上にはないことです。
別の視点から説明すると、
▷２つのベクトル（２次元平面上のベクトルであっても空間ベクトルであっても良い）が１次独立であるとは、
その２つの（０べクトルではない）ベクトルで（直線につぶれていない）２次元（平面）の斜交座標系を作れるということです。
▷３つのベクトルが１次独立であるとは、
その３つの（０べクトルではない）ベクトルで（平面につぶれていない）３次元（３次元空間）の斜交座標系を作れるということです。
すなわち、
①１次独立な２つのベクトルが平面を構成し、 その２つのベクトルの合成により、その平面上のあらゆるベクトルがあらわせる。
しかも、平面上のあるベクトルを２つの１次独立なベクトルの合成であらわすとき、各ベクトルの合成係数が１つに定まる（式の一意性）。
②１次独立な３つのベクトルが３次元空間を構成し、 その３つのベクトルの合成により、その３次元空間上のあらゆるベクトルがあらわせる。
しかも、３次元空間上のあるベクトルを３つの１次独立なベクトルの合成であらわすとき、各ベクトルの合成係数が１つに定まる（式の一意性）。
例えば、以下のように考える。
２次元ベクトル、又は３次元ベクトル、又は４次元ベクトルで、３つのベクトルが１次独立であるとは、
３つのベクトルが同一平面上にはないことです。
３つの空間ベクトルが同一平面上にあることの確認方法や、同一平面上にはないことの確認方法は、ここをクリックした先のページで説明する。
ここで、２次元ベクトルは、ある平面上のベクトルなので、
２次元ベクトルの３つのベクトルは、同一平面上にある。
すなわち、２次元ベクトルの３つのベクトルは、その３つのベクトルが一次独立になる条件（その３つのベクトルが３次元空間を構成する）を満足しない。
そのため、
２次元ベクトルの３つのベクトルは１次独立にはならない。
２次元ベクトルでの３つのベクトルは、必ず１次従属になる。
１次独立な２つのベクトルａとベクトルｂがある場合を考える。その２つのベクトルを合成することで、その２つのベクトルを含む２次元平面上の全てのベクトルがあらわされる。
その２次元平面に垂直な（ベクトルａに垂直で、かつ、ベクトルｂに垂直な）ベクトルｃを考える。（２次元平面に垂直なベクトルｃの求め方は、ここをクリックした先にある）
ベクトルｃは、先の２次元平面上のベクトルでは無いので、ベクトルｃは、ベクトルａとベクトルｂの合成では作ることができない。また、ベクトルｃとベクトルｂを合成したベクトルにはベクトルａに垂直な成分が含まれるので、ベクトルａは、ベクトルｃとベクトルｂの合成では作ることができない。同様に、ベクトルｂは、ベクトルｃとベクトルａの合成では作ることができない。つまり、ベクトルｃとベクトルｂとベクトルａとの３つのベクトルは、３つの独立したベクトルになる。
その３つのベクトルは１次独立なベクトルである。その３つのベクトルは同一平面上には無い。そして、その３つのベクトルを合成することで、３次元空間の全てのベクトルを表すことができる。
一次独立な２個のベクトルは、平面に含まれる全てのベクトルをあらわす２次元平面の斜交座標系を構成する。一次独立な３個のベクトルは、３次元空間に含まれる全てのベクトルをあらわす３次元空間の斜交座標系を構成する。一次独立なｎ個のベクトルがｎ次元空間の斜交座標系を構成する場合に、そのｎ次元空間の全てのベクトルに垂直なベクトルｃをｎ＋１個目のベクトルにしたｎ＋１個のベクトルは、ｎ＋１個の独立したベクトルになる。すなわち、一次独立なベクトルになる。そのｎ＋１個のベクトルは、ｎ＋１次元空間に含まれる全てのベクトルを表すｎ＋１次元空間の斜交座標系を構成する。
ｎ次元空間の斜交座標系の原点である０ベクトルをｎ個の一次独立なベクトルの合成で表す場合には、各ベクトルの合成成分が全て０の場合にのみ、０ベクトルがあらわせる（式の一意性）。
大学数学では、ｎ次元のベクトルをあらわすｎ次元の斜交座標系（つぶれていない）の原点（０ベクトル）をベクトルの合成であらわす式が、ｎ個のベクトルの合成成分を全て０にした式のみであること（一意性）を使って、ｎ個のベクトルの一次独立を定義している。
ｎ個の（０ベクトルでない）ベクトルの作る斜交座標系がつぶれていてｎ個のベクトルが（ｎ－１）次元の空間に含まれる場合は、０ベクトルをｎ個のベクトルの合成であらわすとき、各ベクトルの合成成分が０で無い式でも０ベクトルがあらわせる。また、０ベクトルは、ｎ個のベクトルの全ての合成成分が０の式でもあらわせる。そのように０ベクトルを複数の式であらわせるので、０ベクトルをｎ個のベクトルであらわす式の一意性が失われる。
ｎ個のベクトルが張る斜交座標系の原点（０ベクトル）をｎ個のベクトルの合成であらわす式が、ｎ個のベクトルの合成成分が全て０の式のみである（式の一意性がある）ならば、ｎ次元の斜交座標系はつぶれていない。そのとき、そのｎ個のべクトルが一次独立である、と定義している。
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ベクトルの1次独立と分解
1次独立(空間ベクトル)
（大学数学）ベクトルの一次独立，一次従属の定義と意味
高校数学の目次
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