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▷課題
▷（外部リンク）点Cから三角形OABに下した垂線の足Hを求めて法線ベクトルを求める
▷面上の２つのベクトルとの内積が０の連立方程式で法線ベクトルを求める
▷面上の１つのベクトルに垂直な２つのベクトルｍとｎを使って法線ベクトルを求める
▷面の方程式の係数の作るベクトルが面の法線ベクトル
▷法線ベクトルｈは、面上の２つのベクトの外積
▷面の点の座標の連立方程式を作って法線ｈを求める
▷面の座標軸との交点の座標値
【課題】
以下の四面体ＡＢＣＤの面ＢＣＤに垂直な法線ベクトルｈを求める。
【解答１】
四面体ＡBCDの点Ａから三角形BＣＤに下した垂線の足Hを求める方法で、法線ベクトルAＨを求めることができる。
それ以外の方法では、以下の様にして法線ベクトルｈを求める事ができる。
【解答１B】
（面上の２つのベクトルとの内積が０の連立方程式で法線ベクトルを求める方法）
法線ベクトルｈの成分を以下の式A1で定義する。
以下のように、この法線ベクトルがベクトルBC及びベクトルBDに垂直であることを表すベクトル方程式を立てて、その解を求める。
ここで、法線ベクトルの成分の３つの未知数に対して方程式が２つなので、３成分を確定する方程式の数が不足している。しかし、法線ベクトルの３つの成分の比２つを求める方程式の数は２つで十分である。
法線ベクトルｈの３成分に共通に掛かる 未知の係数ｋを導入して、以下のように、法線ベクトルの解を求める。
（解答１Bおわり）
【解答２】
（面上の１つのベクトルに垂直な２つのベクトルｍとｎを使って法線ベクトルを求める）
法線ベクトルｈに関して以下の式が成り立つ。
ここで、ベクトルBCに垂直な、以下の２つのベクトルｍとｎを考える。
式B１を満足する、ベクトルBCに垂直な全てのベクトルhは、係数ｓとｔを使った以下の式であらわすことができる。
（場合１）ベクトルｎが面BCDに垂直な法線ベクトルである場合は、それで法線ベクトルが定まる。その場合は、法線ベクトルｈを表す上の式の係数 s=0 である。
（場合２）そうで無い場合：
以下の式B３で、未知の係数ｋを使って、法線ベクトルｈに平行なベクトルを（改めてそのベクトルをｈとして）以下の式(B3)であらわす。
この式B3であらわすベクトルｈが法線ベクトルであるために、式B2も満足する必要がある。
式B2に係る、互いに垂直なベクトルの内積が０になる方程式に、式(B3)のベクトルｈを代入する。
これで未知の係数ｋが求められた。このｋを式B3に代入してベクトルｈの成分を求める。
このベクトルを、以下の定数倍して整理したベクトルを求める。
このベクトルが、面BCDに垂直な法線ベクトルである。
（解答２おわり）
この解答２では、解答１よりも危なげなく解がえられた。
解答２は、先ずベクトルBCに垂直なベクトル２つを求め、その２つのベクトルの和でベクトルを求める、という見通しの良い計算をする解き方である。
そのように見通しが良いので、危なげが無い良い解き方である。
【解答３】
以下の図のように、面の方程式の係数の作るベクトルが面の法線ベクトルであることを利用して問題を解く。
（上図のように、平面の各座標軸との交点の座標値と平面の方程式の係数a,b,cとが反比例する。その関係を利用すると平面の法線ベクトル(a,b,c)が速やかに求められる）
以下の図のXYZ座標軸において、ベクトルBCとベクトルBDとのベクトルの組から、もっと分かり易いベクトル（Z成分かY成分が０のベクトル）を作る。そのＸ成分を１にする。
点E(1,0,0)＝位置ベクトルEを設定する。次に、位置ベクトルＥから、先に作った分かり易いベクトルを引き算する。
それにより、その点Eを通る、ベクトルBCとベクトルBDの張る平面の、Y座標軸及びZ座標軸との交点F,Gを求めて、それらの座標軸との交点EFGを通る平面の方程式を求める。その平面の方程式のｘとｙとｚの係数の作るベクトルが法線ベクトルである。
（解答３おわり）
【解答３b】
ベクトルBCとベクトルBDのいずれかが、初めから、ベクトルの１つの成分が０であった場合は、以下のようにして直ぐに法線ベクトルが求められる。
（解答３ｂおわり）
【解答４】
面ＢＣＤに垂直な法線ベクトルｈは、面上のベクトルＢＣとベクトルＢＤの外積であらわされる。
下図のように、
ｘ軸上の単位ベクトルｘ、
ｙ軸上の単位ベクトルｙ、
ｚ軸上の単位ベクトルｚ、
同士のベクトルの外積の以下の公式があります。
この公式を使うと、ベクトルＢＣとベクトルＢＤの外積が以下の式で計算できる。
（解答４おわり）
この式８は、３次元ベクトルの外積の公式として知られています。
（補足１）
面ＢＣＤに垂直なベクトルを表す公式は、２次元平面における直線に垂直なベクトルを表す公式が２つあるのと同様に、この外積の公式で表す以外にも、他の表現の公式も作れます。ベクトルには、観点を変えて異なる表現ができるという特徴があるからです。
しかし、その観点を変えて表した「他の公式」は、公式の形が複雑になって、不便な公式であると考えます。
便利な公式であるベクトルの外積の公式を覚えるだけで十分と考えます。
（補足２）
この法線ベクトルｈの公式を、ベクトルｂ，ｃ，ｄの外積であらわすと以下の式９になります。
（補足３）
また、各ベクトルｂ，ｃ，ｄと法線ベクトルｈの内積は、各ベクトルの法線ベクトルへの正射影であるため、全て等しくなります。
【解答４ｂ】
ベクトルBCとベクトルBDのいずれかが、初めから、ベクトルの１つの成分が０であった場合は、
以下のようにして、もう１つの、ベクトルの１つの成分が０であるベクトルを作って使うと、
ベクトルの外積の計算が楽になる。
（解答４ｂおわり）
【解答5】
以下の様に、３次元空間の面の点の座標の連立方程式を作って法線ｈを求める事もできます。（以下の式では、点Aを座標原点Oとみなします）。
式１４は点Ａを座標原点Oとした面の式です。
この面の式１４に式１１、１２、１３を代入して連立方程式を作って法線ベクトルｈを求めます。
この式１５から１７を以下のベクトル方程式であると解釈して解きます。
この式２０の分子と分母は、以下の式で計算できます。
ｈ2とｈ3も同様にして計算できる。
（解答5おわり）
（補足４）
この解答5の解の式２０から２２が解答4の解の式８と同じである事は、以下の様にして確認できる。
式２０の分母は、以下の式２３であらわせる。
また、分子は、以下の式２４であらわせる。
（確認おわり）
【解答5の２】
解答5の連立方程式１５～１７の解は、以下の解き方で解くと、スムーズに解が得られます。
未知の係数ｋを導入して：
未知の係数 s を導入して：
式４１で法線ベクトルの成分比が求められた。
式４１は、式８の法線ベクトルの成分表示と合っている。
（解答5の２おわり）
この「解答5の解の式２０から２２が解答4の解の式８と同じ」である事実などの複雑な公式の見通しを良くするためには、もう高校までの知識＋個人の数学の力だけでは足りず、行列の知識など、大学で学ぶ数学の深い知恵が必要になります。
行列を理解し易くするには、アインシュタインの縮約記法も学ぶ事が望ましいです。研究の先人から、その様に便利な手法を学ぶ事で数学の理解が深まります。
【面の座標軸との交点の座標値】
上の面と各ｘ，ｙ，ｚ座標軸との交点の座標値は、
（上の解答5の式１４をよく見ると、法線ベクトルｈの各ｘ，ｙ，ｚ成分の逆数になります）
各座標軸毎に以下の式で計算できます。
この様に面と各座標軸の交点が、ベクトルの外積を使ってあらわされます。
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高校数学の目次
▷課題
▷（外部リンク）点Cから三角形OABに下した垂線の足Hを求めて法線ベクトルを求める
▷面上の２つのベクトルとの内積が０の連立方程式で法線ベクトルを求める
▷面上の１つのベクトルに垂直な２つのベクトルｍとｎを使って法線ベクトルを求める
▷面の方程式の係数の作るベクトルが面の法線ベクトル
▷法線ベクトルｈは、面上の２つのベクトの外積
▷面の点の座標の連立方程式を作って法線ｈを求める
▷面の座標軸との交点の座標値
【課題】
以下の四面体ＡＢＣＤの面ＢＣＤに垂直な法線ベクトルｈを求める。
四面体ＡBCDの点Ａから三角形BＣＤに下した垂線の足Hを求める方法で、法線ベクトルAＨを求めることができる。
それ以外の方法では、以下の様にして法線ベクトルｈを求める事ができる。
【解答１B】
（面上の２つのベクトルとの内積が０の連立方程式で法線ベクトルを求める方法）
法線ベクトルｈの成分を以下の式A1で定義する。
法線ベクトルｈの３成分に共通に掛かる 未知の係数ｋを導入して、以下のように、法線ベクトルの解を求める。
【解答２】
（面上の１つのベクトルに垂直な２つのベクトルｍとｎを使って法線ベクトルを求める）
法線ベクトルｈに関して以下の式が成り立つ。
（場合２）そうで無い場合：
以下の式B３で、未知の係数ｋを使って、法線ベクトルｈに平行なベクトルを（改めてそのベクトルをｈとして）以下の式(B3)であらわす。
式B2に係る、互いに垂直なベクトルの内積が０になる方程式に、式(B3)のベクトルｈを代入する。
（解答２おわり）
この解答２では、解答１よりも危なげなく解がえられた。
解答２は、先ずベクトルBCに垂直なベクトル２つを求め、その２つのベクトルの和でベクトルを求める、という見通しの良い計算をする解き方である。
そのように見通しが良いので、危なげが無い良い解き方である。
【解答３】
以下の図のように、面の方程式の係数の作るベクトルが面の法線ベクトルであることを利用して問題を解く。
（上図のように、平面の各座標軸との交点の座標値と平面の方程式の係数a,b,cとが反比例する。その関係を利用すると平面の法線ベクトル(a,b,c)が速やかに求められる）
以下の図のXYZ座標軸において、ベクトルBCとベクトルBDとのベクトルの組から、もっと分かり易いベクトル（Z成分かY成分が０のベクトル）を作る。そのＸ成分を１にする。
点E(1,0,0)＝位置ベクトルEを設定する。次に、位置ベクトルＥから、先に作った分かり易いベクトルを引き算する。
それにより、その点Eを通る、ベクトルBCとベクトルBDの張る平面の、Y座標軸及びZ座標軸との交点F,Gを求めて、それらの座標軸との交点EFGを通る平面の方程式を求める。その平面の方程式のｘとｙとｚの係数の作るベクトルが法線ベクトルである。
（解答３おわり）
【解答３b】
ベクトルBCとベクトルBDのいずれかが、初めから、ベクトルの１つの成分が０であった場合は、以下のようにして直ぐに法線ベクトルが求められる。
【解答４】
面ＢＣＤに垂直な法線ベクトルｈは、面上のベクトルＢＣとベクトルＢＤの外積であらわされる。
下図のように、
ｘ軸上の単位ベクトルｘ、
ｙ軸上の単位ベクトルｙ、
ｚ軸上の単位ベクトルｚ、
同士のベクトルの外積の以下の公式があります。
この式８は、３次元ベクトルの外積の公式として知られています。
（補足１）
面ＢＣＤに垂直なベクトルを表す公式は、２次元平面における直線に垂直なベクトルを表す公式が２つあるのと同様に、この外積の公式で表す以外にも、他の表現の公式も作れます。ベクトルには、観点を変えて異なる表現ができるという特徴があるからです。
しかし、その観点を変えて表した「他の公式」は、公式の形が複雑になって、不便な公式であると考えます。
便利な公式であるベクトルの外積の公式を覚えるだけで十分と考えます。
（補足２）
この法線ベクトルｈの公式を、ベクトルｂ，ｃ，ｄの外積であらわすと以下の式９になります。
（補足３）
また、各ベクトルｂ，ｃ，ｄと法線ベクトルｈの内積は、各ベクトルの法線ベクトルへの正射影であるため、全て等しくなります。
【解答４ｂ】
ベクトルBCとベクトルBDのいずれかが、初めから、ベクトルの１つの成分が０であった場合は、
以下のようにして、もう１つの、ベクトルの１つの成分が０であるベクトルを作って使うと、
ベクトルの外積の計算が楽になる。
【解答5】
以下の様に、３次元空間の面の点の座標の連立方程式を作って法線ｈを求める事もできます。（以下の式では、点Aを座標原点Oとみなします）。
この面の式１４に式１１、１２、１３を代入して連立方程式を作って法線ベクトルｈを求めます。
（解答5おわり）
（補足４）
この解答5の解の式２０から２２が解答4の解の式８と同じである事は、以下の様にして確認できる。
式２０の分母は、以下の式２３であらわせる。
また、分子は、以下の式２４であらわせる。
【解答5の２】
解答5の連立方程式１５～１７の解は、以下の解き方で解くと、スムーズに解が得られます。
式４１は、式８の法線ベクトルの成分表示と合っている。
（解答5の２おわり）
この「解答5の解の式２０から２２が解答4の解の式８と同じ」である事実などの複雑な公式の見通しを良くするためには、もう高校までの知識＋個人の数学の力だけでは足りず、行列の知識など、大学で学ぶ数学の深い知恵が必要になります。
行列を理解し易くするには、アインシュタインの縮約記法も学ぶ事が望ましいです。研究の先人から、その様に便利な手法を学ぶ事で数学の理解が深まります。
【面の座標軸との交点の座標値】
上の面と各ｘ，ｙ，ｚ座標軸との交点の座標値は、
（上の解答5の式１４をよく見ると、法線ベクトルｈの各ｘ，ｙ，ｚ成分の逆数になります）
各座標軸毎に以下の式で計算できます。
この様に面と各座標軸の交点が、ベクトルの外積を使ってあらわされます。
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