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やさしい微分積分
《微分積分学の基本定理》
微分型で表現した微分積分学の基本定理は：
連結区間内で１つながりに連続な関数ｆ(x)がある場合：
が成り立つというものです。
この式が成り立たない場合などあり得ないのではないか？と考える人もいるかもしれません。
この式が成り立たない場合というのは、ｆ(x)が積分出来ない場合です。そもそも積分できなければ、微分する以前に、この式が成り立たないことになります。
また、被積分関数ｆ(x)を積分して不定積分の関数F(x)が得られても、関数F(x)が折れ曲がった関数になれば、その折れ曲がり点でF(x)は微分できません。F(x)が微分できなければ、この式が成り立たないことになります。
以下の図の関数ｆ(x) のグラフを考えます。
この関数ｆ(x) は、ｘ＝０の点とｘ＝２の点では連続では無い関数です。
ｘ＝０の点とｘ＝２の点で関数は不連続であり、また、極限も存在しませんが、閉区間：
－１≦ｘ≦３
などの、その連続で無い点ｘ＝０，とｘ＝２の点を範囲内に持つ閉区間で積分可能です。
この関数ｆ(x) を積分して、以下の図の不定積分の関数Ｆ(x) を求めることができます。
この不定積分Ｆ(x) を微分して下図のグラフの関数を求めます。
ｘ＝０とｘ＝２の点ではグラフが折れ曲がっているので微分できません。
上図のグラフに示すように、この不定積分F(x)を微分した結果の導関数（ｄＦ(x)／ｄｘ）は、ｘ＝０とｘ＝２で関数値が存在しないという点で、被積分関数ｆ(x) と異なる関数になります。
この式が成り立たないのです。
「関数 f(x) が連結区間内で１つながりに連続している被積分関数ｆ(x)を不定積分して得た関数Ｆ(x)が、その連結区間で微分可能である。不定積分の関数Ｆ(x) を微分した結果は被積分関数ｆ(x)に戻る。」というのが（微分型の）微分積分学の基本定理です。
そこには、「被積分関数ｆ(x) が、ある連結区間内で１つながりに連続している」という条件が付いているのです。
つまり、変数ｘの連結区間内で１つながりに連続している関数ｆ(x)の真の不定積分F(x)は、その連結区間内のどのｘの値の点でも微分可能であって、微分結果が関数ｆ(x) になる。そのため、もし、不定積分の計算で求めた関数が、（１つながりに連続な）被積分関数ｆ(x)の変数ｘの区間内のある値で不連続になる場合は、その不連続点は「除去可能な不連続点（取除きうる不連続点）」である。そして、その不連続点を除去した連続な関数が真の不定積分F(x)である。
《微分積分の参考書の、微分積分学の基本定理の証明》
「大道を行く数学（解析編）」
https://www.gensu.jp/new_book/9742/
（２１９ページの途中から）
（証明おわり）
《補足》（この証明での重要ポイント）
以上の証明の中で、被積分関数ｆ(x)が変数ｘの点の近傍のｘの区間において連続である（連続関数である）という前提条件を使っている。つまり、被積分関数ｆ(x)が連続関数なので、Δx を十分小さくすれば、ｆ(x+Δx)がｆ(x)に近づく、という前提条件を使った。
この証明の発想の根底に、関数（グラフ）が連続であるという概念が、証明の重要なポイントになっているということに気づくことが大事だ。
「数学の受験教科書 ９ 微分・積分」
https://math.co.jp/contpgm2/w_main.php?oya_id=2&back_id=85#85
（２４２ページ途中から）
（この参考書の旧版での以下の証明も参考になる）
「駿台受験シリーズ 分野別 受験数学の理論7 微分法・積分法の基礎」
https://math.co.jp/contpgm2/w_main.php?oya_id=2&back_id=14#14
（９６ページ途中から）
（証明おわり）
〘不定積分の関数の定義域を連結して真の不定積分を求める〙
複数の区間の不定積分を、区間のつなぎ目でつないで１つの不定積分にする。
この不定積分の関数は、θ＝０の点で定義されず、θ＜０の区間と、θ＞０の区間とに関数が分割されている。
θ→０での関数の極限値をθ＝０での不定積分の値であると定義し、その点でθ＜０の区間と、θ＞０の区間をつないで１つの区間にした下式の不定積分Ｆ(x) を定義する。この式が真の不定積分である。
不定積分がこのＦ(x) の式になるので、Ｆ(x) はｘ＝０の点で微分でき、微分と積分が逆操作になる。
リンク：
微分積分学の基本定理
なぜ微分と積分は逆の操作なのか
高校数学の目次
やさしい微分積分
《微分積分学の基本定理》
微分型で表現した微分積分学の基本定理は：
連結区間内で１つながりに連続な関数ｆ(x)がある場合：
が成り立つというものです。
この式が成り立たない場合などあり得ないのではないか？と考える人もいるかもしれません。
この式が成り立たない場合というのは、ｆ(x)が積分出来ない場合です。そもそも積分できなければ、微分する以前に、この式が成り立たないことになります。
また、被積分関数ｆ(x)を積分して不定積分の関数F(x)が得られても、関数F(x)が折れ曲がった関数になれば、その折れ曲がり点でF(x)は微分できません。F(x)が微分できなければ、この式が成り立たないことになります。
以下の図の関数ｆ(x) のグラフを考えます。
ｘ＝０の点とｘ＝２の点で関数は不連続であり、また、極限も存在しませんが、閉区間：
－１≦ｘ≦３
などの、その連続で無い点ｘ＝０，とｘ＝２の点を範囲内に持つ閉区間で積分可能です。
この関数ｆ(x) を積分して、以下の図の不定積分の関数Ｆ(x) を求めることができます。
ｘ＝０とｘ＝２の点ではグラフが折れ曲がっているので微分できません。
この式が成り立たないのです。
「関数 f(x) が連結区間内で１つながりに連続している被積分関数ｆ(x)を不定積分して得た関数Ｆ(x)が、その連結区間で微分可能である。不定積分の関数Ｆ(x) を微分した結果は被積分関数ｆ(x)に戻る。」というのが（微分型の）微分積分学の基本定理です。
そこには、「被積分関数ｆ(x) が、ある連結区間内で１つながりに連続している」という条件が付いているのです。
つまり、変数ｘの連結区間内で１つながりに連続している関数ｆ(x)の真の不定積分F(x)は、その連結区間内のどのｘの値の点でも微分可能であって、微分結果が関数ｆ(x) になる。そのため、もし、不定積分の計算で求めた関数が、（１つながりに連続な）被積分関数ｆ(x)の変数ｘの区間内のある値で不連続になる場合は、その不連続点は「除去可能な不連続点（取除きうる不連続点）」である。そして、その不連続点を除去した連続な関数が真の不定積分F(x)である。
《微分積分の参考書の、微分積分学の基本定理の証明》
「大道を行く数学（解析編）」
https://www.gensu.jp/new_book/9742/
（２１９ページの途中から）
（証明おわり）
《補足》（この証明での重要ポイント）
以上の証明の中で、被積分関数ｆ(x)が変数ｘの点の近傍のｘの区間において連続である（連続関数である）という前提条件を使っている。つまり、被積分関数ｆ(x)が連続関数なので、Δx を十分小さくすれば、ｆ(x+Δx)がｆ(x)に近づく、という前提条件を使った。
この証明の発想の根底に、関数（グラフ）が連続であるという概念が、証明の重要なポイントになっているということに気づくことが大事だ。
「数学の受験教科書 ９ 微分・積分」
https://math.co.jp/contpgm2/w_main.php?oya_id=2&back_id=85#85
（２４２ページ途中から）
（この参考書の旧版での以下の証明も参考になる）
「駿台受験シリーズ 分野別 受験数学の理論7 微分法・積分法の基礎」
https://math.co.jp/contpgm2/w_main.php?oya_id=2&back_id=14#14
（９６ページ途中から）
（証明おわり）
〘不定積分の関数の定義域を連結して真の不定積分を求める〙
複数の区間の不定積分を、区間のつなぎ目でつないで１つの不定積分にする。
この不定積分の関数は、θ＝０の点で定義されず、θ＜０の区間と、θ＞０の区間とに関数が分割されている。
θ→０での関数の極限値をθ＝０での不定積分の値であると定義し、その点でθ＜０の区間と、θ＞０の区間をつないで１つの区間にした下式の不定積分Ｆ(x) を定義する。この式が真の不定積分である。
不定積分がこのＦ(x) の式になるので、Ｆ(x) はｘ＝０の点で微分でき、微分と積分が逆操作になる。
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微分積分学の基本定理
なぜ微分と積分は逆の操作なのか
高校数学の目次
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