2011年8月13日土曜日

円の接線の公式を微分で導く

「微分・積分」の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
(ある直線と曲線の交点を求める式が重根を持つときその直線が必ず接線であるとは言えない。下図の曲線にO点で交わる直線と曲線の交点を求める式は重根を持つ。しかし、ABを通る直線のような方向を向いた直線でもO点で重根を持って曲線と交わる。)

【研究問題】円の接線の公式は既に学習していると思いますが、
接線は、微分によって初めて正しく定義できるので、
改めて、円の接線の公式を微分により導いてみます。

円 x+y=1 (式1)
この円の式全体を微分します。
その微分の際に、
微分の基本公式 (f・g)’=f’・g+f・g’
を使います。

x’・x+x・x’+y’・y+y・y’=1’ 
x’=1で、1’=0だから、
2x+2y・y’=0 (式2)
接点(x,y)での接線の傾きy’は、
(yが0で無い場合は)
式2を変形した以下の式であらわせます。
y’=-x/y (式3)
 接点を(a,b)とすると、式3は以下の式になります。
y’=-a/b

接線の式は、
y-b=y’(x-a)
y-b=(-a/b)(x-a)
b(y-b)=-a(x-a)
b(y-b)+a(x-a)=0
by+ax=a+b
点(a,b)は式1を満足するので、
+b=1
∴ by+ax=1
この、円の接線の公式は既に学んでいる接線の式です。

【研究問題その2】
楕円の式は高校3年の数学ⅢCで学びますが、高校2年でも、その式だけは覚えていても良いと思います。
楕円 x/a+y/b=1 (式1)
です。

この楕円の接線の公式は、微分により導けます。

この楕円の式全体を微分します。
その微分の際に、
微分の基本公式 (f・g)’=f’・g+f・g’
を使います。
(x’・x+x・x’)/a+(y’・y+y・y’)/b=1’
x’=1で、1’=0だから、
2x/a+2y・y’/b=0 (式2)
接点(x,y)での接線の傾きy’は、
(yが0で無い場合は)
式2を変形した以下の式であらわせます。
y’=-x・b/(y・a) (式3)
接点を(α,β)とすると、式3は以下の式になります。
y’=-α・b/(β・a
接線の式は、
y-β=y’(x-α)
y-β=(-α・b/(β・a))(x-α)
β(y-β)/b=-α(x-α)/a
β(y-β)/b+α(x-α)/a=0
βy/b+αx/a=(α/a)+(β/b)
点(α,β)は式1を満足するので、
(α/a)+(β/b)=1
∴ βy/b+αx/a=1
こうして、楕円の接線の公式が得られました。

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2 件のコメント:

  1. 名前:noname 日付:2015/2/27(金) 1:48

    円x^2+y^2=r^2上の点P(x[1],y[1])における接線の方程式は
    x[1]x+y[1]y=r^2
    の証明でPが座標軸上にないときで円上にあるからという条件というのがあるのですが、この条件をよく忘れます。
    なぜでしょうか?

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  2. 円x^2+y^2=r^2上の点P(x[1],y[1])における接線の方程式は
    x[1]x+y[1]y=r^2
    この接線の式はPがX座標軸上にある場合でも、Y座標軸上にある場合でも成り立つ式です。
    本ブログの証明方法では、y’を計算した上で接線の方程式を計算しましたので、X座標軸上にP点がある場合を除外して計算しました。
    X座標軸上にある場合は、別途計算して、その場合でも上の式にあてはまることが証明できます。
     y’=dy/dx
    を利用して接線の方程式を求めるのでそうなるのですが、
    微分量dyをdxで割り算する計算を経由しないで、y’のところをdyとして、x’のところを、dxとして計算をすすめるならば、
    Y座標軸上にP点が来る場合も除外せず、例外を設けず計算をして、
    接線の方程式を得ることができます。

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