対数の大小の公式２

佐藤の数学教科書「指数関数・対数関数」編の勉強

【問２】ｌｏｇ_３４とｌｏｇ_４６の大小関係を求めよ。

（解答の方針）
底の変換公式を使う。


対数関数の大小は、以下の対数の大小の公式を（以下の数の範囲で）利用することで必ず解くことができる。

《対数の大小の公式》

底について　　１＜m＜ｕ
真数について　ｓ≧ｐ
である場合は、上の公式が成り立つ。
（対数の大小の公式おわり）

　この公式を、以下のように利用することで、大小関係を必ず解くことができる。
（１）底を１より大きくし、真数も１より大きくした式に変換した上で、
（２）小さい方（と思われる）対数関数の底を、他の対数関数の底よりも大きくする。
（３）大きい方（と思われる）の対数関数がｌｏｇ_mＣ≡Ｈであり、
小さい方（と思われる）の対数関数がｌｏｇ_uＤ≡Ｌである場合、
対数関数Ｈの真数Ｃと底mを使って、１より大きい真数であって、なるべく１に近い真数のＣⁿ／m^tを作る。
それを、対数関数Ｌの真数Ｄと底Ａを使って同じ形に作った真数Ｄⁿ／ｕ^t と比べる。
このように真数を変換することは、元の対数関数をｎ倍にした値からｔを引き算することを意味する。
nＨ－t＝ｌｏｇ_m（Ｃⁿ／ｍ^t）
nＬ－t＝ｌｏｇ_u（Ｄⁿ／ｕ^t）

対数関数ＨがＬより大きければ、
nとtを十分大きくして、１より大きな真数で、なるべく１に近い真数を作れば、
対数関数Ｈから作った真数は必ず、対数関数Ｌから（同様にして）作った真数よりも大きくなり、先の公式にあてはまるようになる。

（その理由は、大きなnで対数関数の大小関係が拡大されているので、対数関数ＨとＬの真数の値は、対数の底の違い以上に大きさが異なるようになるためである。
なお、tを引き算する理由は、対数関数の値が同じなら、底が異なっても真数を同じにするためである。）

　この方法を使えば、必ず、対数関数の大小関係を求めることができる。

【解答はじめ】
Ｌ≡ｌｏｇ_３４
Ｈ≡ｌｏｇ_４６
（１）この２つの対数関数の大小関係は、多分Ｈ＞Ｌである。
そのため、対数関数Ｈの底を、Ｌの底＝３より小さくする。

２Ｈ＝ｌｏｇ_２６
２Ｌ＝２ｌｏｇ_３４＝ｌｏｇ_３１６

（２）真数を１に近づける（ただし１より大きくする）ために、対数関数から２を引き算する。
２Ｈ－２＝ｌｏｇ_２（６／４）＝ｌｏｇ_２（３／２）
２Ｌ－２＝ｌｏｇ_３（１６／９）

（３－１）対数関数を更に２倍にする。
４Ｈ－４＝ｌｏｇ_２（９／４）
４Ｌ－４＝ｌｏｇ_３（２５６／８１）

（３－２）
真数９／４＝２＋（１／４）
　　　　　＝底｛１＋（１／４）／２｝
真数２５６／８１＝３＋（１３／８１）
　　　　　＝底｛１＋（１３／８１）／３｝
ここで、（１／４）／２＞（１３／８１）／３
よって、対数の大小の公式によって、
４Ｈ－４＞４Ｌ－４
∴　Ｈ＞Ｌ
ｌｏｇ_４６＞ｌｏｇ_３４
（解答おわり）

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