ベクトルの使い道：問題をやさしくする数学

　数学は、本来、難しい問題をやさしく解く方法の探求によって生み出されてきた学問です。
　数学で何か新しい手法を学んだら、「その手法でどの問題がやさしくなるのだろうか」という価値判断で新しい手法を評価するのが良いと思います。

　以下、本シリーズでは、個々の数学手法が、数学のどの問題をやさしくするかという観点で、学んだ数学手法の使い道を解説していきます。

【ベクトルの使い道（１）】３点が１直線上にある証明が、図形の本質をつかんで論理的に証明できる。
　ここをクリックした先の事例が参考になると思う。


【ベクトルの使い道（２）】三角形の重心の計算が簡単になる。

【思い出してください】三角形の重心はベクトルで以下のように計算できたことを思い出してください。

先ず、実数変数のパラメータｓを使ってあらわした、以下の直線ＡＤの式１と、実数変数のパラメータｔを使ってあらわした直線ＢＥの式２をイコールで結んで計算する。
それだけで、２つの実数変数の値が確定して、それにより、その２つの直線の交点Ｇが計算できます。

式１と式２のベクトルをイコールで結ぶと、以下のように、２つの実数変数の値に関する連立方程式が得られ、それにより、２つの実数変数ｓとｔが確定する。

　この計算で、直線ＡＤと直線ＢＥの実数変数ｓとｔの値が確定し、それにより、交点Ｇをあらわす式が得られました。
 （解答おわり）

　直線ＡＤと直線ＣＦの交点Ｇをあらわす式は、ベクトルｂとベクトルｃを交換してあらわすことで得られます。その式は、上の計算で得たベクトルＡＧを表わす式と同じになります。よって、直線ＡＤと直線ＣＦの交点が、同じ点Ｇで交わることが証明できました。

（補足）
　なお、ベクトルであらわした２つの平面の交線を求めるときも同じで、実数変数のパラメータを使って面をあらわした、２つの面の式同士をイコールで結んで計算するだけで、３つの実数変数が消えて、１つの実数変数だけが残って、その実数変数であらわした交線の式が求まります。
　また、ベクトルであらわした３つの平面の交点を求めるときは３つの面の式を互いにイコールで結んで計算すれば良い。

  （むずかしい問題がやさしくなったか）
　三角形に描いた３直線が１点（重心）で交わる問題を図形の証明問題として解こうとするとけっこう難しい問題だったと思います。その難しい問題がベクトルを使うことでやさしくなりました。

【問】以下の図の面αと面βの交線を求めよ。

このような問題も、以下の式１と式２の様に、
実数変数のパラメータｓとｔを使って面αをあらわし、
実数変数のパラメータｗとｕを使って面βをあらわします。

以下の様に、その２つの面の式同士をイコールで結び、あとは、計算間違いをしないように細心の注意をして計算していくだけ（それが難しいので訓練が必要ですが）で答えが得られます。

このベクトル方程式のベクトルａ、ｂ、ｃが、それだけで三次元空間の全ての点をあらわすことができる、線形独立な（他のベクトルの線形結合ではあらわせない）場合に限り、以下の式が成り立ちます。

この、４つの実数変数ｓとｕとｔとｗに関する３つの式の連立方程式を解いて、式１の２つの実数変数ｓとｔの関係を求める。

上の計算で得た、実数の変数ｔを実数の変数ｓであらわす式３を、面をあらわす式１に代入して実数変数ｔを消去して、実数変数ｓだけで位置ベクトルをあらわす式４を得る。

式４ｂは、１つの実数変数ｓだけで位置ベクトルをあらわす式であり、その式は、直線（交線）の位置ベクトルの式である。
すなわち、実数変数ｓと、ベクトルｃとベクトルａを使った式３ｂで交線があらわされた。
（解答おわり）

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計算ミス対策：判別式の使い方（１３）

【再度強調】　判別式を使う問題を見たら、判別式を導出する式の変形を繰り返して（計算用紙に）記述した方が良いです。
　この方法は、判別式を思い出して使う場合より計算時間が増えるということはありません。それを示すため以下の例題とその解きかたの例を追加しますので、判別式を思い出して使う場合と比べてみてください。

【問題】以下の２次方程式が虚数解を持つ場合の定数ｋの範囲を求めよ。

【解答】

　この３行の計算だけで問題を判別式にあてはめられましたので、時間はかかりません。

（解答おわり）

（補足）
　解の公式や判別式に機械的に数値をあてはめて計算する計算は、同じ数を掛け算した後でまたその数で割り算するといった余分な計算が多く、計算ミスを招きやすい。
　それに対し、上記の計算例のように問題の式に合わせて判別式や解の公式を再導出すると、式が整理されているので余分な計算が避けられ、計算ミスが減る。


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計算ミス対策：判別式の使い方（１２）

以下のような、判別式を使う問題を見たら、判別式の思い出しミスを無くし計算を正確にするため、以下のように計算した方が良い。

【問題】以下の２次方程式が異なる２つの解を持つように定数ａの範囲を定めよ。

【解答の方針】以下のように判別式を導出する式の変形を繰り返して（計算用紙に）記述した方が良い。

【解答】

　このように計算すれば、式の流れの中で判別式（２）が再現できる。
　それだけで無く、この問題のもう１つのポイントである式（１）の条件：
ａ≠０　（１）
も導き出されるので、式（１）の条件を解答に加え忘れるミスも無くなる。

（解答おわり）

（補足）
　解の公式や判別式に機械的に数値をあてはめて計算する計算は、同じ数を掛け算した後でまたその数で割り算するといった余分な計算が多く、計算ミスを招きやすい。
　それに対し、上記の計算例のように問題の式に合わせて判別式や解の公式を再導出すると、式が整理されているので余分な計算が避けられ、計算ミスが減る。


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計算ミス対策：数学本能を覚える（１１）

計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
　このサイトでは、計算ミスを少なくするための１つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
　的確なアドバイスと思います。

　例えば、以下のような分数式を見たら、「先ずは、右辺のように数式を移し変えたい。」という数学本能を覚えると良い。
数式は、先ずはやさしい形に移し変えて、それから計算するようにしましょう。

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計算ミス対策：図形を覚える（１０）

計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
　このサイトでは、計算ミスを少なくするための１つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
　的確なアドバイスと思います。
例えば、以下のような図形の性質を覚えておくと良い。
（重要）この関係を知らないと解くのが難しい問題が出題されたことがあります。
そのため是非、覚えるようにしましょう。

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計算ミス対策：図形を覚える（９）

計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
　このサイトでは、計算ミスを少なくするための１つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
　的確なアドバイスと思います。
例えば、以下のような図形の性質を覚えておくと良い。
（重要）この関係を知らないと全く問題が解けない場合があります。
必ず覚えるようにしましょう。

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三角形の高さベクトルｈの公式

計算ミス対策：図形を覚える（８）

計算ミスを無くす方法
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　このサイトでは、計算ミスを少なくするための１つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
　的確なアドバイスと思います。
例えば、以下のような図形の性質を覚えておくと計算が楽になり計算ミスが少なくなります。

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三角形の高さベクトルｈの公式

計算ミス対策：グラフを覚える（７）

計算ミスを無くす方法
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　このサイトでは、計算ミスを少なくするための１つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
　的確なアドバイスと思います。
例えば、以下のようなグラフの性質を覚えておくと計算が楽になり計算ミスが少なくなります。

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ベクトル方程式で空間図形の面と直線の交点を求める

大学への数学「ベクトル」編の勉強

【問１】以下の空間図形の線分ＯＢと、三角形ＤＥＦが張る面βとの交点Ｇの位置ベクトルをもとめよ。
　なお、ベクトルＯＡをベクトルａとし、ベクトルＯＢをベクトルｂとし、ベクトルＯＣをベクトルｃとする。
　そして、点Ｄは線分ＯＡを２：３に内分する点、点Ｅは線分ＡＣを２：１に内分する点、点Ｆは線分ＢＣを１：２に内分する点である。

【解答方針】
　ベクトル方程式の問題は、
「３次元空間の全てのベクトルは、３つの独立なベクトルの係数倍の和であらわすことができる」
という基本原理を用いて、３つの基本ベクトルを決めて、その３つのベクトルで全てのベクトルをあらわす。
　位置ベクトルの問題は、その基本ベクトルの係数を計算することに帰着させる。


【解答】
３点Ｄ、Ｅ、Ｆの位置ベクトルを以下の式１から３であらわす。

線分ＯＢと面の交点Ｇの位置ベクトルは、以下のベクトル方程式であらわせる。

このベクトル方程式を解くと、以下の式（４）から式（６）が得られる。

この連立方程式を解いて、係数ｘを計算する。

（解答おわり）

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計算ミス対策：３点を通る放物線の式を求める（６）

３点を通る放物線の式を求める式は連立方程式を解くことで放物線の式を求めます。しかし、連立方程式は、計算ミスし易いので、連立する式の数が少ない方が良い。
　以下で、連立する式の数を減らす、微分を利用する方法を説明します。

放物線の点の傾きｙ’は、その点のｘ座標がΔｘずれると以下の式のようにΔｙ’ずれる。

また、上図の放物線で、線分ＡＢと同じ傾きの放物線上の点のｘ座標は、線分ＡＢの中点のｘ座標であることがわかっている（覚えておいてください）。

【問題】
　３点Ａ（１，１５）、Ｂ（２，４１）、Ｃ（３，８１）を通る放物線の式
ｙ＝ａｘ^２＋ｂｘ＋ｃ　（式１）
を求めよ。

【解答】
　以上に示した微分を利用した式を使って以下のように計算する。

これでａの値がわかったので、このａの値を放物線の点ＡとＢでの式に代入して以下の２つの式の連立方程式を得、それを解くことで係数ｂとｃを求める。

求める放物線の式は以下の式である。

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