三角形の辺と角の等式を複素数平面で証明

「（佐藤の）数学教科書［三角比・平面図形編］」（東進ブックス）の以下の問題を複素数平面を利用して解きます。

【問３２】上の三角形ＡＢＣにおいて、次の等式を証明しなさい。
c(a・cos（Ｂ）－b・cos（Ａ）)=a²－b²　　（１）

（証明開始）
　この等式の証明には、この等式の左辺から右辺を引き算した以下の（式２）を考えます。
c(a・cos（Ｂ）－b・cos（Ａ）)－{a²－b²}=0　（２）

この左辺が０になることが計算できれば、問題の等式が証明できます。

以下では、この問題を以下の複素数平面の図を利用して証明します。
以下の図のａ，ｂ，ｃは複素数とし、上式のａ，ｂ，ｃは|ａ|，|ｂ|，|ｃ|に書き直して計算します。

ベクトルａとｃの内積、及びベクトルｂとｃの内積が以下の式であらわされる。

であるので、
上の（式２）の左辺は、以下のようにあらわして計算できます。

（証明おわり）

（補足）以上の計算は、途中から、以下のように計算する方が無理が無く計算できます。


　この問題は複素数平面（又はベクトル）を利用しないで余弦定理を使って解いた場合は、けっこう難しかったと思います。
　ベクトルの内積をあらわす複素数平面のＲｅ（）の計算式を利用して解くと、以上のように簡単に解けるようになりました。


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三角形の辺と角の等式の証明
三角形の辺と角の等式をベクトルで証明
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複素数平面の公式を使ってベクトルの難問を解く

ベクトルの難問は、複素数平面の計算公式を使うと易しく解ける場合がよくある。

【ベクトルの難問】
　下図のように半径ｒの円周上に３点ＡＢＣがある。この場合に、以下の式１の関係が成り立つことを示せ。

【解答】
　この問題は、ベクトルの難問ですが、
複素数平面の計算公式のうちの複素数の切替の公式
を適用すると、以下の様に簡単に解けます。
上図において、

という関係があることに注目し、
複素数平面の切替の公式を適用する。

 よって、式（１）が成り立つことが証明できた。
（解答おわり）

　以上のように、複素数平面の計算公式により、式（１）の関係を簡単に求めることができました。
　ベクトルの難問は、複素数平面の計算公式を使うと簡単になる場合が多いです。

リンク：
ベクトルの難問の強力な解答手段
複素数計算の公式を覚える
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複素数平面が、円の２つの接線の交点問題を簡単にする

複素数平面が、円の２つの点の接線の交点を求める問題を簡潔明瞭にする。

【問１】
　複素数平面上の原点Ｏを中心にする半径１の円に対して、
その円上の点ｚ_１から引いた接線と、
点ｚ_２から引いた接線の交点Ｐの位置ベクトルを複素数であらわせ。

（解答開始）
（ベクトルＯＰとベクトルＯＭが平行である）

（注）上の式は、図から得た。解答後の補足２で、この式を以下の式（接点の式）から導く。

（接点の式）

ｐの値の計算：

（解答おわり）

（補足１）
　この逆に、ｚ_１とｚ_２をｐであらわす式は以下の式になる。

（補足２）ベクトルＯＰとベクトルＯＭが平行である式：

は、以下の様にして、上の接点の式から導ける。

ここで、ベクトルｚ_１とベクトルｚ_２の長さが等しいので、ベクトル（ｚ_１－ｚ_２）は、ベクトル（ｚ_１＋ｚ_２）に垂直である。
上の内積の式は、ベクトル（ｚ_１＋ｚ_２）に垂直なベクトルにベクトルｐが垂直であることをあらわしている。
ゆえに、ベクトルＯＰ＝ｐはベクトルＯＭ＝（ｚ_１＋ｚ_２）／２に平行であって、

が成り立つ。

（補足３） 
　 ｐをｚ_１とｚ_２であらわす式は、以下の式であらわせるが、

この式は、分母の複素数を実数化した以下の式に変換できる。

ｐの、この形の式は、ＸＹ座標系で計算した、点ｚ_１とｚ_２での接線の交点Ｐの解と同じ形の式である。
　分母の実数化は、もう１つできる（こちらの方が考え易い）。

 以上の２つは、同じｐの分母を実数化する２つの解をあらわしている。そのため、ｐの解は、以下の２つのあらわし方がある。

　この２つの表し方が等しいことを証明するのは簡単では無かったが、複素数平面を使うと、上の２つの計算によって、両者が等しいことが証明できる。
　また、この２つの式は、複素数の偏角αを使って、以下の１つの式であらわすことができる。

（補足４）
　この問題は、上図のように複素数平面を使って、簡潔明瞭にあらわせます。
　２接線の交点Ｐの位置座標は、２接点の中点Ｍの位置によって定まる。
　しかも、その中点Ｍの位置ベクトルｍと交点Ｐの位置ベクトルｐは平行である。
　このように複素数平面であらわして考えると、２接線の交点を求める問題を、２接点の中点Ｍを求める簡単な問題に変換できます。

【問２】

　複素数平面上の原点Ｏを中心にする虚軸方向の直径を２とし実軸方向の直径を２ａとする楕円に対して、
その楕円上の点ｚ_１から引いた接線と、
点ｚ_２から引いた接線の交点Ｐ₀の位置ベクトルを複素数であらわせ。


この問２の解答は、ここをクリックした先にあります。

リンク：
円の極の座標の解の変換
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複素数平面の公式を導き出す（１）

複素数の計算を推進する以下の公式を導きだしましょう。

（第１優先事項）
　複素数平面のグラフの方程式を計算でつなぐ道はがけ崩れで崩壊している。

　複素数平面のグラフをあらわす方程式を変換する問題は、複素数の計算をせずに、図形の考察で答えを求めるようにしましょう。すなわち、複素数平面のグラフを表わす複素数の方程式同士を計算でつながないで図形の考察でつなげば何とか問題が解けますのでそれを第１優先にしましょう。

（優先順位の２位以下のこと）
　それよりは優先順位が低いことですが、以下のような、複素数平面の計算の公式の導き出し方を身に付けると、少しは計算が推進されます。

先ず、以下の式の左辺の形の式の組み合わせを見たら、条件反射で右辺の式に変換して（実数を基準にして）考える習慣をつけてください。

 以下の公式も、簡単に導き出せるようになればとても良いと思います。


以下の公式も導き出してください。

複素数ｓとｒの絶対値が等しく、ｓ＋ｒ＝ｚの場合以下の公式も導き出してください。

この公式を使って、原点と点αを結んだ線分の垂直二等分線の直線の式（点ｚの式）が以下の式であらわせる。

以下の公式も導き出してください。

（この公式の証明は、ここをクリックした先にあります）

点Sのｚベクトルに下した垂線の足Hのベクトルの公式も以下のように導けます。


以下の公式も複素数の計算により導き出すことはできます。

しかし、この公式は、以下の図から、明らかです。

この図を書く方が、複素数の計算をするよりも速く公式を導き出す事ができます。
　この例の様に、多くの複素数平面の公式は、図から明らかな場合が多いです。
そのため、複素数平面の問題を解く場合は、「複素数平面のグラフをあらわす方程式を変換する問題は、複素数の計算をせずに、図形の考察で答えを求めるようにしましょう。」を優先させる方が速やかに解答が得られる場合が多い事に注意しましょう。

この後の公式は、説明が長くなったので以下のページに分割して記載しました。

複素数平面の公式を導き出す（２） 
複素数平面の公式を導き出す（３）
複素数平面の公式を導き出す（４）
複素数平面の公式を導き出す（５）

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