勉強しよう数学: 3月 2017

2017年3月21日火曜日

二項定理に関連する公式

二項定理は、例えば：
（ｘ＋１）^５
を展開した各項の係数が以下の式であらわされるという定理です。

ｘ＝１とおけば、上の式１のように、２^５が組合わせの数_ｎＣ_ｒの和であらわされます。
上のように式１が得られたので、この式１を覚えろと言われます。

しかし、数学のセンスのある学生ならば、ここで、何となくうさんくさく感じて、素直にはこの式１を覚える気にはならないと思います。
（そのうさんくささを感じる嗅覚が数学的センスです）
この公式がうさんくさいので、先ずは、具体的な場合を調べて、本当に式１が成り立つのかを具体的に調べます。

何と！全部成り立っているではないですか。

しかし、それでも納得いかないので、この式１が別の方法で証明できるならばこの式１を覚えても良いと考え、別の証明方法が無いか調べてみます。
（その調査をすることが数学を勉強するということだと考えます）

そのために、組合せの数_ｎＣ_ｒの式の定義を使ってこの式１を証明する方法を探してみます。
先ず、組合せの数_ｎＣ_ｒの式の変形可能性を調べます。

上のように、組合せの数_ｎＣ_ｒには、式２の関係があることを確認できました。
（この式２は覚えておきましょう）
この式２を使って、もう少し調べてみます。

この式３も成り立つことが分かりました。
この式３を使うことで、組合せの数_ｎＣ_ｒを、そのパラメータｎをどんどん減らした式に変換でき、下の図の関係があります。
（便利なので、この式３を覚えましょう）
下図では、各行の各項_ｎＣ_ｒが、式３に従って、その下の行の２つの項の和であらわされます。

上の図で、下方の行の各項が上方の行で２回使われています。そのため、上方の行の値は下方の行の値の２倍です。
それゆえ、式１が成り立ちます。
（式１の証明おわり）

こうしたやり方で、
「納得した後で初めて式１を覚えることにする。」
という勉強方法は間違っていないと私は考えます

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2017年3月20日月曜日

二項定理

二項定理は、例えば：
（ｘ＋１）^６
を展開した各項の係数が以下の式であらわされるという定理です。

ｘ^２の係数は、（ｘ＋１）の６つの項の積において掛け合わされる数の組み合わせが２^６個あるうちの、ｘを２つ選ぶ組合せの数＝６＊５／（２＊１）になります。

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2017年3月15日水曜日

当ブログは共謀罪法案の提出に反対します

共謀罪法案が閣議決定されようとしています。
当ブログは共謀罪法案の提出に反対します。

共謀罪法案は、内心を罰する法案であり、
科学の批判精神に敵対するものだからです。

当ブログは、日本の学生の数学の学力向上をめざして、
数学教育に努めてきましたが、

共謀罪の成立によって、
当ブログがこれまで行なってきた科学教育の努力が
全て無駄になってしまいます。

そのため、当ブログは、共謀罪法案の提出に反対します。

2017年3月13日月曜日

ベクトルを分解する道を視線でたどって式を書く

・ベクトルを分解する道を視線でたどって式を書く。
以下のようにベクトルＡＥを分解する道ＡＯＥを視線でたどります。

ベクトルAE＝点Aから点Eまで行く道
です。

ベクトルＡＥを、以下の式のように、実数の未知数ｔを使ってベクトルａとベクトルｃであらわす。

ベクトルAEの紐の真ん中を点Oまで引っ張って紐AOEにして、真ん中の点Oで紐を切って紐AOと紐OEに分ける。
そして、紐AOの方向を逆にしたベクトルOAにして、マイナスを付けて①にする。
①は、視線がベクトルａを逆向きにたどったのでマイナスを付けると考えても良い。
②は、順向きなので”＋”のまま。

　ベクトルＡＥのＡからの道ＡＯの向きがベクトルａと逆方向に進むことを確認してベクトルａにはマイナスを付けてベクトルＡＥの展開式を書くようにします。
　こうすることで、思い込みによりベクトルａの符号をプラスにして式を書いてしまうミスを防げます。

また、以下の式を変形する公式については：

無理して公式を覚えるよりは、以下の様に視線で考えて（体で使う技を覚えて）計算する様にしましょう。

紐OAの向きを逆の紐AOにしてマイナスを無くし、
紐AOと紐OＥを共通の点Oでつないだ紐AOEにして、
紐AOE＝ベクトルＡＥにする。
（以上が、体の技として覚える公式）

また、以下の式で表されたベクトルＡＤの終端の点Ｄが線分ＢＣ上にある事は、以下の様に視線で考えて（体で使う技を覚えて）計算する様にしましょう。

この式は、以下の様に、視線と手を使って（紙に書いて）考える。

（以上が、体の技として覚える公式）

《点Ｄが直線ＢＣ上にある公式の証明》
　念のために、以下で、上図の公式を証明しておきます。
　先ず、上図で点Ｄが直線ＢＣ上にあるとき、以下の式が成り立つ。

このとき、１－ｋをｂとおくと、以下の公式が成り立っている。

（公式の証明おわり）

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2017年3月10日金曜日

ユークリッドの互除法で最大公約多項式を求める

（２つの多項式の最大公約多項式を求める問題）

　次数の大きい方の多項式ｆを、次数の小さい方の多項式ｇで割り算して余りの多項式ｈ（多項式ｇより次数の小さい多項式）を求め、その余りの多項式ｈで次数の小さい方の多項式ｇを割り算する。
こうして余りの多項式を求めることで、少しづつ式の次数を小さくしていき、最後に式が割り切れて余りが０になった場合に、
式を割り切ることができた余りの多項式（次数が一番小さい）が、最大公約多項式です。

　この手順で最大公約多項式を求める方法を、ユークリッドの互除法と呼びます。

【例題１】
以下の多項式ｆとｇの最大公約多項式を求めよ。

【解答】

この場合は、多項式ｆが、多項式ｇで割り切れましたので、多項式ｇが最大公約多項式です。
（解答おわり）

（補足１）
　多項式ｆと多項式ｇを足し合わせる計算をするのは、多項式ｆ＝０と多項式ｇ＝０の連立方程式の解を計算する処理と等価です。
すなわち：
ｆ(x)＝０，
ｇ(x)＝０，
の解は、共通因数の積の式の解です。
共通因数の積の式は最大公約多項式です。

（補足２）
　ユークリッドの互除法で、多項式を多項式で割り算していくと、最終的な余りが定数になります。
（１）その余り定数が０の場合は、その０を余りにするように、多項式を割り切った式が、最大公約多項式です。
（２）その余り定数が０で無い場合は、最大公約多項式は存在しない。あえて言えば、最大公約多項式は「定数」である。

【例題２】
以下の多項式ｆとｇの最大公約多項式を求めよ。