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【問１】
双曲線（ｘ２－ｙ２＝１）に対して、
接点ａ（ａ１，ａ２）から引いた接線と接点ｂ（ｂ１，ｂ２）から引いた接線の交点ｐ（ｐ１，ｐ２）を求めよ。
（参考）接点ａと接点ｂから引いた２つの接線の交点ｐを、双曲線の極線ａｂに対する極と呼びます。
【解答】
双曲線の式を、以下の式１のｆ（ｘ，ｙ）＝０であらわす。
接点ａとｂとに、以下の式２と３が成り立つ。
双曲線の接線の公式により、接点ａとｂとの２つの接線は、以下の式４と５であらわせる。
式４と５を連立させて、２つの接線の交点ｐ（ｐ１，ｐ２）＝（ｘ，ｙ）を求める。
この式８であらわされるベクトルPと、ベクトルｍが平行である事が以下の計算で確かめられる。
先ず、ベクトルａとｂを反時計回りに９０度回転したベクトルａvとベクトルｂvを考える。
（ベクトルの平行性の確認おわり）
この接線の交点Ｐの式を、以下の、双曲線の弦と中点の共役点通過線の直交の公式を使って更に変形する。
＜双曲線の弦と中点の共役点通過線の直交の公式＞
「この式１０の左右の項が互いに置き換えられる」
ということが、
双曲線の弦と中点の共役点通過線の直交の公式です。
これは、以下の図の直線が直交し、両直線の傾きの積＝－１となる関係を表す公式です。
（原点と、極ｐの共役点ｐ’と、弦の中点ｍの共役点は一直線上にあります）
式６を変形する。
（式の変形の補足）
以上の計算で分母を変換した計算は、以下の様に、ベクトルａとｂを反時計回りに９０度回転したベクトルａvとベクトルｂvを使ってあらわした２重平行四辺形の面積の公式を利用した変形として覚えられます。
（以上で、２重平行四辺形の面積の公式を使った）
この式１１に、公式１０を代入する。
次に、二重平行四辺形の面積の公式を使って式７を変形する。
この式１３に公式１０を代入する。
式１２と式１４をまとめる。
（解答おわり）
（補足）
式１５は、２つの接線の交点Ｐの位置ベクトルは、先に確認した通りに、点ａと点ｂの中点ｍの位置ベクトルに平行であることを示している。
リンク：
高校数学の目次
以下では、ベクトルを使って、ベクトルで記述した方程式を解きます。
ベクトルの問題の解法の１つに「ベクトル方程式」というものがあります。しかし、以下の様なベクトルで記述した方程式の解を求めるには、「ベクトル方程式」のみでは解けません。「ベクトル方程式」を使う以上に、ベクトルで記述した多くの公式を組み合わせて問題を解きます。
ベクトルで問題を解くということは、ベクトルという記述手段を利用して問題を記述し、多くの公式を適用することで問題を解く作業を行なうということです。
いわば、ベクトルは問題や公式を記述する道具であって、ベクトル自身の法則を使って問題を解くというのはごく一部の問題に限られています。
そのため、ベクトルの問題を解くということは、ベクトルで記述された公式を使って図形の問題を記述し、その図形問題を、図形を考えることで、図形を解くあらゆる手段を用いて解くという作業です。例えば、ＸＹ座標系のグラフを使ってグラフの連立方程式を作って問題を解くことだってあり得ます。
そのため、ベクトルの独特の計算方法によって問題を解いているような場合も、その計算は、従来の計算方法を、ベクトルという表現手段を使って、整理した形で表現しているだけなのではないかという視点も持って問題解法を見るようにして欲しいと思います。
【問１】
座標原点を中心にする半径１の円（ｘ２＋ｙ２＝１）に対して、
接点Ｂ（ｂ１，ｂ２）から引いた接線と、接点Ｃ（ｃ１，ｃ２）から引いた接線の交点Ａ（ａ１，ａ２）をあらわすベクトルを求めよ。
（参考）点ＢとＣから引いた円の接線の交点Ａを、直線ＢＣに対する円の極と呼びます。
【解答】
（第１種の解）
線分ＯＡの長さをａとする。
点ＢとＣの中点をＥとする。
２角が等しいため、△ＡＢＯ∽△ＢＥＯ
∴ＯＡ／ＯＢ＝ＯＢ／ＯＥ
ａ／１＝１／ＯＥ
ＯＥ＝ １／ａ
すなわち、ベクトルＯＥの長さは１／ａで、ＯＡの長さはａである。
そして、ベクトルＯＡはベクトルＯＥに平行なので、ベクトルＯＡは以下の式で計算できる。
（解答おわり）
（第１種の解その２）
上の解で式１と式２を導出した後は、以下のベクトルの計算によって解を求めることもできます。
この式ｂ９は、式５と同じ形の、ベクトルＯＡの解である。
（解答おわり）
（第２種の解）
長さｇのベクトルＥＢ＝βはベクトルＯＥに垂直である。
そのベクトルＥＢを９０度回転したベクトルαはベクトルＯＥに平行なベクトルである。
以下では、そのベクトルαを使って、ベクトルＯＡをあらわす式を計算する。
（解答おわり）
（第２種の解その２）
以下の図のように、ベクトルＯＢに垂直なベクトルｕと、ベクトルＯＣに垂直なベクトルｗを考える。
ベクトルＯＡを、以下の、変数ｓを使った式８と、変数ｔを使った式９との２通りにあらわす。
ベクトルＯＡを未知数ｋとｈを持つ以下の式１０の形で計算することにする。
式８と式１０を合わせる。
式９と式１０を合わせる。
式１２と式１４を式１０に代入して、ベクトルＯＡをあらわす。
この式１５は、式７と同じ形の、ベクトルＯＡの解である。
（解答おわり）
（補足１）
ベクトルＯＡをあらわす解答の式は、式５の形の第１種の解と、式７の形の第２種の解との、異なる２つの形の式であらわされた。
この２つの形の異なる式は、同じ値をあらわし、両者とも、これ以上単純な式であらわすことができない同等な解である。
この解は、ここをクリックした先のページで、複素数平面の助けを借りて統一された１つの単純な形で表現できる。
また、この式５の形の解は、ｘｙ座標系であらわした接線の式の連立方程式の解では容易には導けない（連立方程式を解くと、通常は、式７の形の解が導かれる）という特徴がある。
この式５は、以下の「ひし形の対角線の直交の公式」を使うことで、式７に変換できる。
＜大きさが同じベクトルｂとｃで描いたひし形の対角線の直交の公式＞
詳しくは：
（解の式５の変換開始）
この式ａ４の公式を使って、式５であらわしたベクトルＯＡの１つの成分を変換する。
こうして、式７であらわしたベクトルＯＡの成分が得られた。
式５であらわしたベクトルＯＡの残りの成分についても同様に計算すれば、式７であらわしたベクトルＯＡの成分が得られる。
（解の式５の式７への変換おわり）
また、三角関数を使うと、この２つの式は以下の式に単純化される。
（補足２）
式５の解と式７（式１５）の解は、以下の図の、ひし形の対角線ベクトル変換公式を使うことで、もっと簡単に変換できる。
（ひし形の対角線ベクトル変換公式）
（ひし形の対角線ベクトル変換公式おわり）
このひし形の対角線ベクトル変換公式を使うと、式５が以下の様に変換できる。
（解の式５の変換開始）
この式１６は、式１５及び式７と同じ形の式である。
（解の式５の式７への変換おわり）
ひし形の対角線ベクトル変換公式を使うことで、このように簡単に式５から式７への変換ができた。
そもそも、式５と式７との２つの形の解をあらわすことができる原因は、ひし形の対角線ベクトル変換公式によってあらわされる、同じベクトルが２つの形で表現できるという現象に起因するからです。
ベクトルの問題を解くという作業は、
（１）求めるベクトルの解をどのベクトルを使って表すかを選択ずる。
（２）次に、その２つのベクトルの線形結合の係数を計算して求める。
という作業です。
ベクトルの問題を解く計算の結果で、解を表現するために適切なベクトルが選び出されてくるということは起こらず、
（１）の段階で基準ベクトルを選ぶことで、解に使われるベクトルが決まってしまいます。それ以外のベクトルによっては、その解があらわされなくなります。式１５等はその様にして解を表すベクトルを定めています。
ここで、あるベクトル系で解を表現した場合に、その解は、ひし形の対角線ベクトル変換公式により、そのベクトル系の直交ベクトル系で表現したもう１つの解の表現ができます。その解は、一見、全く異なる解に見えますので注意する必要があります。
リンク：
高校数学の目次
（参考）接点ａと接点ｂから引いた２つの接線の交点ｐを、双曲線の極線ａｂに対する極と呼びます。
接点ａとｂとに、以下の式２と３が成り立つ。
双曲線の接線の公式により、接点ａとｂとの２つの接線は、以下の式４と５であらわせる。
式４と５を連立させて、２つの接線の交点ｐ（ｐ１，ｐ２）＝（ｘ，ｙ）を求める。
この式８であらわされるベクトルPと、ベクトルｍが平行である事が以下の計算で確かめられる。
（ベクトルの平行性の確認おわり）
「この式１０の左右の項が互いに置き換えられる」
（原点と、極ｐの共役点ｐ’と、弦の中点ｍの共役点は一直線上にあります）
（式の変形の補足）
（以上で、２重平行四辺形の面積の公式を使った）
次に、二重平行四辺形の面積の公式を使って式７を変形する。
この式１３に公式１０を代入する。
式１２と式１４をまとめる。
（解答おわり）
