裏正弦定理

正弦定理の裏の定理の、裏正弦定理があります

下図のように三角形の周りに、その外接円とその円の中心（外心）とを描きます。

上の図で、三角形の頂点の角度∠Ａ＝θが外接円の円周角であり、それは中心角∠ＢＯＣの２分の１であることに注目すると、
三角形の外接円の半径Ｒと、三角形の頂点の角度∠Ａ＝θとその頂点Ａへの対辺ＢＣに対する外接円の中心Ｏの高さｍ_Ａとの間に、以下の関係式が成り立つことがわかります。

すなわち、∠Ａ＝θであらわすと、

この式を変形すると、

です。

同様に、

が成り立ちます。
　 　　 　 

これらが裏正弦定理です。
裏正弦定理は、上の図の様に、円周角の定理と密接に結びついた定理です。
　なお、裏正弦定理は、下図の様に、三角形ＡＢＣの頂点から垂心Ｈ までの長さで表現すると、その式の下に書いた正弦定理の式と形がほとんど同じで、いかにも裏正弦定理だという形で表せます。


　円周角に関係が深い問題は正弦定理又は裏正弦定理を使って解きましょう。

（後に学ぶ余弦定理は円周角に関する問題を解くのが苦手で、高校２年で学ぶベクトル方程式も円周角に関する問題を解くのが苦手です。それらの問題に正弦定理を使って解いてください。）

リンク：
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sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
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