三角形の垂心の図の全ての線分を三角関数の積で表す

【問題１】
　下図の三角形ＡＢＣにおいて外接円の半径をＲとするとき、三角形ＡＢＣの垂心に係る各線分の長さが図に書き込んだ長さになる事を導き出せ。

　この問題の解答は特に書きませんので、上図の長さを全て、自力で導出して下さい。

（補足１）
上の三角形の辺BC＝BD+DC
2RsinA＝2RsinCcosB+2RsinBcosC，
∴　
sinA＝sinCcosB+sinBcosC，

この公式を使えば：
∠Bと∠Cのsinやcosが良く知られている場合は、
∠Aのsinが容易に計算できる。

（補足２）
　この図の各線分は全て（２Ｒ）との積なので覚え易いです。この図を覚えていると、三角形ＡＢＣの面積Ｓは、
Ｓ＝ａｈ／２＝（ａ／２）＊（２Ｒ）ｓｉｎＢｓｉｎＣ
＝ （ａ／２）＊ｂ＊（ｃ／２Ｒ）
と計算でき、三角形ＡＢＣの面積Ｓを外接円の半径Ｒと辺の長さａ，ｂ，ｃであらわす公式が速やかに導き出せ、その面積Ｓの公式を覚え無いでも良くなります。

（補足３）なお、下図が描ける。

上図で、三角形ＤＣＨの外接円は、∠ＨＤＣが直角なので、辺ＨＣに係る円周角が直角である。円周角を直角にする辺ＨＣはその円の直径である。
三角形ＤＣＨの外接円において、辺ＨＣに係る、点Ｅ側の円周角が直角であるが、∠ＣＥＨが、その円周角と同じ値の直角なので、点Ｅは、三角形ＤＣＨの外接円上にある。
よって、四角形ＨＤＣＥは、ＨＣを直径とする円に内接する。
　ただし、四角形ＨＤＣＥが内接する円は、以下の図のように、三角形ＡＢＣの外接円と接しているわけでは無い。

　このように、四角形ＨＤＣＥが、ＨＣを直径とする円に内接することが導き出せるので、それを解にする、以下の問題を作る事ができる。
【問題２】
　 三角形ＡＢＣの垂心Ｈに係り作図した上図の点が作る四角形ＨＤＣＥが１つの円に内接することを示せ。

　また、上図の辺の長さを眺めていると、余弦定理を変形した形を問題にした以下の問題を作る事ができる。
【問題３】
　三角形ＡＢＣの頂角Ａ，Ｂ，Ｃに関して、以下の式が成り立つことを示せ。
(sinA)^２＝(sinB)^２＋(sinC)^２－２sinBsinCcosA，

（補足４）
　この図の様に、三角形の各部の長さを三角関数であらわせても、三角形の長さの公式が三角関数の組み合わせで速やかに導かれるだろうと考えるのは間違っている事を注意しておきます。
　辺の長さを使って何かを表す定理を導き出すには、先ずは、三角関数で表された長さをあらわす式を、なるべく早く三角関数を使わない式に変換して三角関数を無くしてから問題を解くのが一番の近道です。三角関数をいつまでも残さない様にして問題を解いてください。

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