積分とは何か

やさしい微分積分
〔前のページ〕〔次のページ〕
【積分とは何か】
　先のページでは積分の大まかな考え方：「分割した要素の総計を求めてグラフの面積を計算する手法が積分という」を示した。ここでは、積分という概念を、より具体的に定義する。

関数 y = f(x) は閉区間 [a, b] で連続とする．

この区間を図のように (n-1) 個の点
ｘ_１, ｘ_２, … , ｘ_ｎ－１
で n 個の小区間
[a,ｘ_１], [ｘ_１,ｘ_２], … , [ｘ_ｎ－１, b]
に分ける．それら小区間内にそれぞれ任意の点
ｔ_１, ｔ_２, … , ｔ_ｎ　…①
をとって，和：

を作る．ただし、ａ＝ｘ₀，ｂ＝ｘ_ｎとする。
すべての小区間の長さが，いずれも 0 に近づくように n を限りなく大きくするとき， ①の点の位置のとり方にかかわらず， 和Ｓ_ｎは一定の値Sに近づくことが知られている。この一定の値Sを極限値，または、極限と呼ぶ。また，このように和が一定値Sに近づくとき、和がSに収束する，と言う。この極限値Sを，関数 f(x) の区間 [a, b] における定積分といい

で表す．

リンク： 
やさしい微分積分
積分可能の定義と原始関数と不定積分の求め方
高校数学の目次