積分とは何か

やさしい微分積分
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【積分とは何か】
　先に「微分積分を考える根底」のページでは積分の大まかな考え方：「分割した要素の総計を求めてグラフの面積を計算する手法が積分という」を示した。ここでは、積分という概念を、より具体的に定義する。

関数 y = f(x) は閉区間 [a, b] で連続とする．（関数ｆ(x) の積分では、定義されない点はまたげない）
（下図の y = f(x)であらわされる曲がったグラフの面積を測定するときに、長方形で細かく近似するのが積分です）

この区間を図のように (n-1) 個の点
ｘ_１, ｘ_２, … , ｘ_ｎ－１
で n 個の小区間
[a,ｘ_１], [ｘ_１,ｘ_２], … , [ｘ_ｎ－１, b]
に分ける．それら小区間内にそれぞれ任意の点
ｔ_１, ｔ_２, … , ｔ_ｎ　…①
をとって，和：

を作る．ただし、ａ＝ｘ₀，ｂ＝ｘ_ｎとする。
すべての小区間の長さが，いずれも 0 に近づくように n を限りなく大きくするとき， ①の点の位置のとり方にかかわらず， 和Ｓ_ｎは一定の値Sに近づくことが知られている。この一定の値Sを極限値，または、極限と呼ぶ。また，このように和が一定値Sに近づくとき、和がSに収束する，と言う。この極限値Sを，関数 f(x) の区間 [a, b] における定積分といい

で表す．

〘不定積分について〙以下の図の関数ｆ(x) のグラフを考える。

この関数ｆ(x) は、ｘ＝０の点とｘ＝２の点では連続では無い関数です。
ｘ＝０の点とｘ＝２の点で関数は不連続であり、また、極限も存在しませんが、閉区間：
－１≦ｘ≦３
などの、その連続で無い点ｘ＝０，とｘ＝２の点を範囲内に持つ閉区間で積分可能です。（その区間内のどの点でも関数ｆ(x) が定義されているからです）
この関数ｆ(x) をー１からｘまでの区間で積分して、以下の図の、ｘに応じた積分値Ｆ(x) を示すグラフが求められる。

　その積分値の関数Ｆ(x) に積分定数Ｃを足した関数を不定積分と呼ぶ。

〘不定積分に関する注意〙
〘関数ｆ(x) の積分では、定義されない点はまたげない〙
　下のグラフのように、点ｘ＝０で不連続な、不定積分（原始関数）が複合された関数Ｆ(x) を考える。（不定積分には積分定数Ｃが加えられる）

この、不定積分が複合された関数Ｆ(x) が、ｘ≠０において、
ｄＦ(x) ／ｄｘ＝ｆ(x) ＝０
となる。
被積分関数ｆ(x) が、
ｘ＝０ではｆ(x) の値が定義されず、
ｆ(x) ＝０　（ｘ＞０）
ｆ(x) ＝０　（ｘ＜０）
という関数の場合において、
〘関数ｆ(x) の積分では、定義されない点はまたげない〙ので、
ｆ(x) に対する、ｘ＞０の定義域における第１の不定積分Ｆ1(x) と、
ｘ＜０の定義域における第２の不定積分Ｆ2(x)との；
Ｆ1(x)＝C1,　（ｘ＞０）
Ｆ2(x)＝C2,　（ｘ＜０）
という、異なる積分定数C1とC2で区別される、２つの不定積分がある。
〘微分すると同じ関数ｆ(x) になる原始関数のバラエティを不定積分で表すために、不定積分には積分定数Ｃを付ける〙

　このように、定義域が分離された区間毎に異なる不定積分の関数がある。それらの異なる不定積分を一緒くたにした、ｘの定義域が、－∞＜ｘ＜∞で、（ｘ≠０）である１つの関数を１つの不定積分としてはいけない。

この１つにした関数は、定義域がｘ＜０とｘ＞０であって、－∞＜ｘ＜∞までの変数ｘの範囲内に、x=0という、連続で無い点を含む。しかし、積分して得られる真の不定積分＝原始関数Ｆ(x)は、①その関数のｘの定義域が１つながりの区間である。②その区間の中に連続で無い点が無い（連続な）関数Ｆ(x) である。

被積分関数ｆ(x) が定義されない点で不定積分Ｆ(x) が分離されて区別される。無理やり表現するとしたら、分離された不定積分には異なる積分定数Ｃが設定される。

　しかし、実際の（異なる）２つの不定積分を、分離して表現する場合は、以下のように表現する方が良い。


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やさしい微分積分
積分可能の定義と原始関数と不定積分の求め方
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