（５）複素数平面での軌跡

佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強
第６講　複素数平面

【問１】実数の媒介変数ｔを－∞から∞まで変化させたとき、
ｚ＝１＋ｉ・ｔ　（式１）
であらわされる複素数ｚが複素数平面で描く軌跡を示せ。

【問２】実数の媒介変数ｔを－∞から∞まで変化させたとき、
ｚ＝１／（１＋ｉ・ｔ）　（式２）
であらわされる複素数ｚが複素数平面で描く軌跡を示せ。

この問題の解答はここをクリックした先にあります。
　
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（３）複素数の掛け算で三角関数の加法定理を導く

佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強

ｓ＝ｗ・ｚ
というように、複素数ｗに複素数ｚを掛け算して複素数ｓを計算する場合を考えます。

上図で ｅ はネイピア数です。
また、 ｅ の虚数乗がcosとｉ・ｓｉｎで表される公式はオイラーの公式と呼ばれている、とても便利な公式です。

（複素数の極形式のパラメータの定義）
複素数平面で複素数ｚが、０と１を結ぶ線分（実軸）から、０を中心に角度θ回転した位置にあるとき、
その角度θを偏角と呼び、
θ＝ａｒｇ（ｚ）とあらわします（左回りを正の角度にします）。

また、複素数ｚの絶対値は|ｚ|とあらわします。

先ず、各複素数の偏角を以下のように名づけておきます。
ａｒｇ（ｓ）≡α
ａｒｇ（ｗ）≡β
ａｒｇ（ｚ）≡θ
これらを使って各複素数が以下のようにあらわせます（複素数の極形式での表示）。
ｓ＝|ｓ|ｃｏｓ（α）＋|ｓ|ｓｉｎ（α）・ｉ
ｗ＝|ｗ|ｃｏｓ（β）＋|ｗ|ｓｉｎ（β）・ｉ
ｚ＝|ｚ|ｃｏｓ（θ）＋|ｚ|ｓｉｎ（θ）・ｉ

その複素数の掛け算ｓ＝ｗ・ｚの場合には、以下の公式が成り立ちます。
ａｒｇ（ｓ）＝ａｒｇ（ｗ）＋ａｒｇ（ｚ）
|ｓ|＝|ｗ|・|ｚ|

上の２つの式を書きかえると以下の式になります。

α＝β＋θ 　　（式１）
|ｓ|＝|ｗ|・|ｚ|　　　（式２）

佐藤の数学教科書では、三角関数の加法定理を使って、（式１）が成り立つことを説明しています。
つまり、（式１）の公式は三角関数の加法定理と深い関係があります。
それで、上の（式１）を利用すると、三角関数の加法定理が以下のようにして簡単に導き出せるので三角関数の加法定理が覚えやすくなります。
　ただし、複素数平面の計算によって三角関数の加法定理が導き出せはしても、それは加法定理の証明にはなりません。複素数平面の計算の礎（いしずえ）を加法定理が支えているからです。一方で、ベクトルの内積の計算から三角関数の加法定理を導き出すことができ、それは加法定理の証明になっています。

以下で、複素数ｗとｚの掛け算を計算して、その結果を複素数ｓと比較します。
ここで、加法定理との関係を分かり易くするため、複素数ｗとｚの絶対値の
|ｗ|＝|ｚ|＝|ｓ|＝１
とする。

複素数ｗ・ｚと、それに等しい複素数ｓとは、その実数部分が等しいので、その関係をあらわす１つの式を導き、更に、その虚数部分が等しいので、その関係をあらわす１つの式を導きます。それにより、以下の２つの関係式が導き出せます。

角αについて（式１）の関係があるので、それを代入して上の２つの式を書き直します。

上の式６がｃｏｓの加法定理であり、式７がｓｉｎの加法定理です。
ｃｏｓの加法定理とｓｉｎの加法定理を、以上の手順で素早く導き出せるように、以上の導き方を覚えておきましょう。
そうすれば、覚えるのにとても苦労する三角関数の加法定理が、覚えやすくなります。

【複素数平面の礎（いしずえ）の再構築】
　複素数平面の計算の礎を、加法定理を用いずに構築します。そうすることで、複素数平面の計算を用いて加法定理を導き出すことが可能になります。以下では、加法定理を用いずに複素数平面の計算の礎を再構築します。

ｓ＝ｗ・ｚ
というように、複素数ｗに複素数ｚを掛け算して複素数ｓを計算する場合、
複素数平面で複素数ｚが、０と１を結ぶ線分（実軸）から、０を中心に角度θ回転した位置にあるとき、
その角度θを偏角と呼び、θ＝ａｒｇ（ｚ）とあらわします（左回りを正の角度にします）。
また、複素数ｚの絶対値を|ｚ|とあらわします。

その複素数の掛け算については、以下の公式が成り立ちます。
ａｒｇ（ｓ）＝ａｒｇ（ｗ）＋ａｒｇ（ｚ）
|ｓ|＝|ｗ|・|ｚ|
以下で、これが成り立つ根拠を、加法定理を用いずに示します。

《例１》

上図のように、
複素数　ｗ＝１＋ｉ
に、実数３／２を掛け算すると、
複素数ｗは、実軸と成す角度が変わらない。長さ（絶対値）は３／２倍になる。

《例２》

上図のように、ｗ＝１に虚数ｚ＝ｉを掛け算すると、
掛け算の結果ｓ＝ｉになり、
数Ｗ＝１と原点０を結ぶ線が左回りに９０度回転する。

上図のように、ｗ＝ｉに虚数ｚ＝ｉを掛け算すると、
掛け算の結果ｓ＝－１になり、
数Ｗ＝ｉと原点を結ぶ線が左回りに９０度回転する。

《例３　ｗ＝１＋ｉの場合》 ｗを更に変えて考える。

上図のように、ｗ＝１＋ｉに虚数ｚ＝ｉを掛け算すると、
掛け算の結果ｓ＝－１＋ｉになり、
数Ｗ＝１＋ｉと原点を結ぶ線が左回りに９０度回転する。

《例４　ｗ＝（１＋３ｉ）／２の場合》

上図のように、ｗ＝（１＋３ｉ）／２に虚数ｚ＝ｉを掛け算すると、
掛け算の結果Ｗｉ＝S＝－（３／２）＋（１／２）ｉになり、
複素数Ｗ＝（１／２）＋（３／２）ｉと原点を結ぶ線が左回りに９０度回転する。

【重要なポイント】
　複素数Ｗが何であっても、それにｉを掛け算した複素数は、複素数Ｗよりも偏角が９０°回転する。その理由は、複素数Ｗのベクトルの実数成分も、虚数成分も、同じく９０°回転した成分に変換されるからである。

【視点を変えて考える】
　虚数ｉに複素数Ｗを掛け算した複素数は、虚数ｉの偏角の90°よりも複素数Ｗの偏角だけ回転した複素数に変換される。そして、実数１に複素数Ｗを掛け算した複素数は、実数１の偏角の0°よりも複素数Ｗの偏角だけ回転した複素数に変換される。そのため、どの複素数Ｚの実数成分も虚数成分も、同じく複素数Ｗの偏角だけ回転した複素数に変換される。
　そのため、その実数成分と虚数成分を合成して構成される複素数Ｚも、複素数Ｗを掛け算すると、その複素数Ｚ自体が複素数Ｗの偏角だけ回転する。
　ゆえに、複素数Ｚに複素数Ｗを掛け算した複素数は、複素数Ｚの偏角と複素数Ｗの偏角の和の偏角を持つ。
《以上の議論によって、複素数平面の礎が、加法定理を用いずに再構築された》

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（２）１のｎ乗根を複素数平面で求める

佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強
第５講　高次方程式

《ページ内リンク》
▷１の４乗根
▷１の５乗根
▷１の３乗根（ページ外にリンク）
▷実数の指数法則と複素数の指数法則

【問１】Ｘ^４＝１の解を求めよ。
Ｘ^４－１＝０

この方程式の４つの解を複素数平面上で表示すると、以下の図のようになります。

上の図で、
Ｘ_０＝１，Ｘ_１＝ｉ，Ｘ_２＝－１，Ｘ_３＝－ｉが、
Ｘ^４－１＝０
の４つの解です。
Ｘ_１は、複素数平面上で、０と１を結ぶ実軸上の線分から原点を中心にして単位円上を左回りに９０度（π／２ラジアン）回転した位置にあり、更に、順次に９０度回転した位置が、この方程式の解です。

Ｘ_１と０を結ぶ直線が０と１を結ぶ実軸上の線分と成す角９０度を４倍すれば３６０度になり、実軸に戻ります。
Ｘ_２と０を結ぶ直線が０と１を結ぶ実軸上の線分と成す角１８０度を４倍 すれば３６０度×２になり、実軸に戻ります。
Ｘ_３と０を結ぶ直線が０と１を結ぶ実軸上の線分と成す角２７０度を４倍 すれば３６０度×３になり、実軸に戻ります。

複素数を４乗するということは同じ複素数を４回掛け算することであり、複素数の掛け算では偏角が足し算されるので、複素数を４乗すれば、その複素数の偏角が４回足し算されて４倍になりました。
すなわち、
Ｘ^４＝１の複素数の解は、１の偏角を３６０度、３６０度×２、３６０度×３と考えて、その偏角を４分の１の９０度、１８０度、２７０度にし、その偏角を持つ絶対値１の複素数の値を図から求めれば、それがＸ^４＝１の複素数の解になります。

【問２】Ｘ^５＝１の解を求めよ。
Ｘ^５－１＝０

この方程式の５つの解を複素数平面上で表示すると、以下の図のようになります。

上の図で、

が、Ｘ^５－１＝０
の５つの解です。
Ｘ_１は、複素数平面上で、０と１を結ぶ実軸上の線分から原点を中心にして単位円上を左回りに２π／５ラジアン回転した位置にあり、更に、順次に２π／５rラジアン回転した位置が、この方程式の解です。

Ｘ_１と０を結ぶ直線が０と１を結ぶ実軸上の線分と成す角２π／５ラジアンを５倍すれば２πになり、実軸に戻ります。
Ｘ_２と０を結ぶ直線が０と１を結ぶ実軸上の線分と成す角２π×（２／５）ラジアンを５倍すれば２π×２になり、実軸に戻ります。
以下、同様に、Ｘ_３とＸ_４は、２π×３、２π×４になり、実軸に戻ります。

結局、
Ｘ^５＝１の複素数の解は、２π／５ラジアン×整数倍の偏角を持つ絶対値１の複素数の値を図から求めれば、それがＸ^５＝１の複素数の解になります。

同様に考えることで、
Ｘ^ｎ＝１の複素数の解は、２π／ｎラジアン×整数倍の偏角を持つ絶対値１の複素数の値を図から求めれば、それがＸ^ｎ＝１の複素数の解になります。
すなわち、値１の点を頂点の１つにする正ｎ角形の各頂点が、その方程式の解になります。 

【問２（ｂ）】Ｘ^５＝１の解を、三角関数の値も計算して求めること。

この解の求め方を次のページで解説します。

　しかし、次のページを直ぐには見ないで、
しばらくここに留まって、この解を自力で求める努力をしてください。

《実数の指数法則と複素数の指数法則》
　なお、１の３乗根の基本単位や１の５乗根の基本単位は以下の式で表すのが良いと思います。

そうすると、１の２乗根の基本単位の値も、１とするよりは、以下の式で表した方が良いと思います。

そして、以下の演算が成り立つと考えられます。

今後は、以下の様に、１の２乗根は基本単位で表して計算すると良い。そうすると√ は正の値を表すものとした表現ルールに合わなくなる（そもそも正の数では無い虚数を√ 記号で表した時点でルール違反）ので√ 記号は使わず２分の１乗記号で表した１の２乗根の基本単位を使って計算した方が良いと思います。

しかし、指数法則

が使えるためには、

と展開しても矛盾させないために、

（１の有理数乗や実数乗は全て１）とせざるを得ないので、悩ましい問題です。

という矛盾も起こさないようにする必要もあります。

という矛盾もだめです。
　それらの矛盾を回避するためには、指数法則

と、

は、
a>0, b>0,　（指数の底は必ず正にする）
の場合に限って使えるように制限することによって、上の式の問題を回避します。これが、実数の指数法則です。
　一方、虚数ｉの演算は、虚数記号ｉを使って、その記号の演算ルールで計算することにし、実数の指数法則は虚数の演算には関与させない（複素数の指数法則は後で説明する）ことで問題を回避します。
　複素数の指数法則は、以下の様に実数の指数法則を拡張します。複素数ｚは、以下の式のように、ネイピア数（正の実数です）の複素数乗であらわします。

この形で表した複素数は、ネイピア数が正の数なので、指数の底が正の実数であるという指数法則の基本条件を満足しています。指数関数の底は正の実数のままにして、指数だけを複素数まで拡張して指数法則を拡張します。複素数の指数法則の下でも、１の複素数乗は１になります。
そして、１の２つの２乗根を以下の計算で求めます。

１の２乗根を求めるために指数法則を適用する１は底がｅであって、指数が異なる２つの数に分けて扱います。こうすれば、１の２乗根の１つを－１にでき、もう１つを１にできます。
　また、以下の計算のように指数法則を矛盾を生じないように使えます。以下の計算の一番左側の項の（－１）の２分の１乗は、√(-1)という表現と同じく間違った表現です。（－１という数は、指数が異なる２つの数に分けて扱うべき）。しかし、(-1)の２乗根を表すために、あえて間違った使い方をしました。

上の式で(-1)をｅのπｉ乗であらわしましたが、(-1)は、ｅの(－πｉ)乗でも表されます。そのように表された２つ目の(-1)の２分の１乗は－ｉになります。

　以下のように、１の２乗根の２つを、指数法則を使って寄り道して計算することもできます。（以下の計算式の一番左側の項の１の２分の１乗は１です。しかし、１の２乗根を表すために、あえて間違った使い方をしました）。この指数法則の計算では矛盾が生じていない。

（補足）なお、指数法則が、高校２年生までは、指数関数の指数が整数である場合に限って、指数法則の基本条件が緩められて、指数関数の底は０で無いこと。底が負でも良いとされていました。しかし、指数が有理数になると、その条件では指数法則が成り立たなくなり、指数関数の底は正の実数であるという基本条件を満足する必要があります。指数法則のこの基本条件は、指数が実数や複素数になっても変わりません。
（蛇足）ちなみに底が０の場合は、以下のようになると考えられる。


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「n乗根１」大学入試から学ぶ高校数学

（１）１の三乗根を複素数平面で求める

佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強
第５講　高次方程式

【問】次の式を因数分解してｘ^３＝１の解を求めよ。
ｘ^３－１＝０

この式は以下のように変形して解きます。
ｘ^３－１
＝（ｘ－１）（ｘ^２＋ｘ＋１）
＝（ｘ－１）｛（ｘ＋（１／２））^２－（１／２）^２＋１｝
《公式Ｐ^２－Ｑ^２＝（Ｐ－Ｑ）（Ｐ＋Ｑ）を使う。その準備》

よって、ｘ^３＝１の解は

上のようにして因数分解することで、ｘ^３＝１の複素数の解が得られました。この３つの解を複素数平面上で表示すると、以下の図のようになります。

上の図で、ｘ＝１，Ａ=ω，Ｂ＝ω² が、ｘ^３＝１の３つの解です。
Ａは、複素数平面上で、０と１を結ぶ実軸上の線分から０を中心にして左回りに１２０度（２π／３ラジアン）回転した直線上にあり、Ｂは右回りに１２０度(左回りに２４０度）回転した直線上にあります。

Ａと０を結ぶ直線が０と１を結ぶ実軸上の線分と成す角１２０度を３倍すれば３６０度になり、実軸に戻ります。Ｂと０を結ぶ直線が０と１を結ぶ実軸上の線分と成す角の、右回りに１２０度(左回りに２４０度）を３倍すれば右回りに３６０度(左回りに７２０度）になり、実軸に戻ります。

複素数を３乗するということは同じ複素数を３回掛け算することであり、複素数の掛け算では偏角が足し算されるので、複素数を３乗すれば、その複素数の偏角が３回足し算されて３倍になりました。
すなわち、
ｘ^３＝１の複素数の解は、１の偏角を３６０度及び－３６０度と考えて、その偏角を３分の１の１２０度（点Ａ）や－１２０度（点Ｂ）にし、その偏角を持つ絶対値１の複素数の値を図から求めれば、それがｘ^３＝１の複素数の解になります。

　こうして答えを求める方法は、昔は、「禁じられた複素数平面の教え」だったので、そうやってその答えを出したと解答に書く事が出来ませんでした。最初に書いた、教わった範囲の解き方で解答するのが昔の高校生のやり方でした。

 　この教えは、２０１１年度からは禁止が解けました。
２０１１年度から、高校３年の数Ⅲで複素数平面を教えるようになりました。
そのため、高校３年からは、複素数平面の考えで問題を解いたと解答に書いても、合格点をもらえるようになりました。

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（２）複素数を掛け算すると偏角が足し算される

佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強

　以下の内容は、むかしは、高校の検定教科書では教えないことになっていました。多分、これを教えると、その説明が分からない人が続出して、先生までも分からなくなる恐れもあり、学校にとってとても危険な教えだから、教える事が禁じられていたのかもしれません。
そのため、むかしは、以下の内容は、禁止された教えであるので、この教えを知っている事を隠して生活するのが望ましかったと考えます。

　また、以下の内容が理解できなくても、それは、”正常”な人のあかしですので、理解できなかったからといって、決して、理解できなかった事を恥じたりしないで欲しい。また、理解できないからと言って、決して、理解できた人を迫害したりしないで欲しいと思います。

ｓ＝ｗ・ｚ
というように、複素数ｗに複素数ｚを掛け算して複素数ｓを計算する場合、
複素数平面で複素数ｚが、０と１を結ぶ線分（実軸）から、０を中心に角度θ回転した位置にあるとき、
その角度θを偏角と呼び、θ＝ａｒｇ（ｚ）とあらわします（左回りを正の角度にします）。
また、複素数ｚの絶対値を|ｚ|とあらわします。

その複素数の掛け算については、以下の公式が成り立ちます。
ａｒｇ（ｓ）＝ａｒｇ（ｗ）＋ａｒｇ（ｚ）
|ｓ|＝|ｗ|・|ｚ|
以下で、これが、どうして成り立つかを説明します。

《例１》

上図のように、
複素数　ｗ＝１＋ｉ
に、実数３／２を掛け算すると、
複素数ｗは、実軸と成す角度が同じまま、長さ（絶対値）が３／２倍になります。

《例２》

上図のように、ｗ＝１に虚数ｚ＝ｉを掛け算すると、
掛け算の結果ｓ＝ｉになり、
数Ｗ＝１と原点０を結ぶ線が左回りに９０度回転します。

上図のように、ｗ＝ｉに虚数ｚ＝ｉを掛け算すると、
掛け算の結果ｓ＝－１になり、
数Ｗ＝ｉと原点を結ぶ線が左回りに９０度回転します。

《例３　ｗ＝１＋ｉの場合》 ｗを更に変えて考える。

上図のように、ｗ＝１＋ｉに虚数ｚ＝ｉを掛け算すると、
掛け算の結果ｓ＝－１＋ｉになり、
数Ｗ＝１＋ｉと原点を結ぶ線が左回りに９０度回転します。

《例４　ｗ＝（１＋３ｉ）／２の場合》

上図のように、ｗ＝（１＋３ｉ）／２に虚数ｚ＝ｉを掛け算すると、
掛け算の結果Ｗｉ＝S＝－（３／２）＋（１／２）ｉになり、
複素数Ｗ＝（１／２）＋（３／２）ｉと原点を結ぶ線が左回りに９０度回転します。

【重要なポイント】
　複素数Ｗが何であっても、それにｉを掛け算した複素数は、複素数Ｗよりも偏角が９０°回転する。その理由は、複素数Ｗのベクトルの実数成分も、虚数成分も、同じく９０°回転した成分に変換されるからである。

　また、複素数Wに掛け算する複素数Zがその純虚数から正の実数まで変われば、複素数Ｗに複素数Ｚを掛け算した値ＷＺは、複素数Ｗの偏角から９０°回転するものから０°の回転まで変化する。そのことから、複素数Ｗが回転する角度は、それに掛け算する複素数Ｚの偏角と等しいだろうと容易に想像できる。

【視点を変えて考える】
　虚数ｉに複素数Ｗを掛け算した複素数は、虚数ｉの偏角の90°よりも複素数Ｗの偏角だけ回転した複素数に変換されると言える。そして、実数１に複素数Ｗを掛け算した複素数は、実数１の偏角の0°よりも複素数Ｗの偏角だけ回転した複素数に変換されると言える。そのため、ある複素数Ｚの実数成分も虚数成分も、同じく複素数Ｗの偏角だけ回転した複素数に変換される。
　このことから、複素数Ｚに複素数Ｗを掛け算すると、複素数Ｚが複素数Ｗの偏角だけ回転すると言える。ゆえに、複素数Ｚに複素数Ｗを掛け算した複素数は、複素数Ｚの偏角と複素数Ｗの偏角の和の偏角を持つと言える。

《例５　ｗの値もＺの値も任意の場合》

上図を用いて、どのような複素数ＷとＺについても、
複素数ＷＺは複素数Ｗよりも、偏角が複素数Ｚの偏角θだけ大きくなり、また、その絶対値は |Z| 倍になることが証明できます。

（証明開始）
上図で、線分ＯＡの長さの実数に複素数ｚを掛け算して得た複素数の点をＣとする。

線分ＯＢの長さの虚数に複素数ｚを掛け算して得た複素数の点をＤとする。

複素数ｗは線分ＯＡの長さの実数＋線分ＯＢの長さの虚数倍を足した値です。

複素数ｗに複素数ｚを掛け算した値Ｓは、Ｃ点の複素数にＤ点の複素数を足した値になる。

そのため、複素数S=ＷＺは、ベクトルOCとベクトルODを合成したベクトルの先端位置Sに来る。すなわち複素数S＝WZを表す点は、上図の長方形ＯＤＳＣの頂点Ｓの位置に来る。

三角形ＯＣＡと三角形ＯＤＢは、Ｏとｚと１を結んだ三角形に相似な三角形です。そのため：
辺ＯＣの長さは、辺ＯＡの長さの|ｚ|倍であり、
辺ＯＤの長さも、辺ＯＢの長さの|ｚ|倍です。

長方形ＯＤＳＣは、長方形ＯＢＷＡに対して、対応する辺OC：辺ＯＡと、辺OD：辺ＯＢが同じ相似比の|ｚ|倍です。そのため両者は相似な長方形です。
また、長方形ＯＤＳＣは、長方形ＯＢＷＡをｚの偏角θだけ回転した形をしています。

その長方形ＯＤＳＣの一部のベクトルＯＳは、長方形ＯＢＷＡの一部のベクトルＯＷを、ｚの偏角θだけ回転したベクトルになります。また、ベクトルＯＳの長さは、ベクトルＯＷの|ｚ|倍のベクトルになります。


ベクトルＯＳは複素数ＷＺです。すなわち、複素数ＷＺは複素数Ｗよりも偏角がθ大きくなり、また、その絶対値は |Z| 倍になります。
（証明終わり）

このことを、数式を用いて表現すると、
ａｒｇ（ｓ）＝ａｒｇ（ｗ）＋ａｒｇ（ｚ）
|ｓ|＝|ｗ|・|ｚ|
と表現できます。

　以上の証明により、WにZを掛け算すると偏角がZの偏角θだけ増えることが証明できた。以下では、そのことがどういう事を意味するかを例６で示します。

《例６》

例えば、上図のように、ｚが（１＋ｉ）／√2の場合は、

０とｚと（１）を結んだ三角形は、頂角が４５度の二等辺三角形になります。

そして、上図のように、ｗに偏角が45°の複素数Z＝（１＋ｉ）／√2を掛け算した場合は、
０と（ｗｚ）とｗを結んだ三角形は、頂角が４５度の二等辺三角形になります。

　また、ｕにｚ＝（１＋ｉ）／√2を掛け算した場合は、
０と（ｕｚ）とｕを結んだ三角形は、頂角が４５度の二等辺三角形になります。

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