加法定理はベクトルの内積の式

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▷ベクトルの内積の定義
▷ベクトルの射影
▷三角関数の加法定理はベクトルの内積の式

先ず、ベクトルの内積によってベクトルの射影の長さが計算できることを説明する。
《ベクトルの内積の定義》
（このベクトルの内積の定義の説明を、もっと分かり易くした説明がここをクリックした先に有る）

単位ベクトルＡ＝ベクトルＯＡ＝（ａ_１，ａ_２）の長さの２乗は、ａ_１・ａ_１＋ａ_２・ａ_２＝１　（式１）
であらわすことができる。
その値は、単位ベクトルＡがどの方向を向いていても１になる。

この式１を拡張して、
ベクトルＰ＝ベクトルＯＰ＝（ｐ_１，ｐ_２）があり、単位ベクトルＡ＝ベクトルＯＡ＝（ａ_１，ａ_２）がある場合に、
ベクトルＰとベクトルＡの内積演算を、
ｐ_１・ａ_１＋ｐ_２・ａ_{２　（式２）}
で定義する。
-----ベクトルの内積の定義おわり----------------

《ベクトルの射影》
（１）式２で内積を定義すると、
互いに垂直なベクトル同士の内積＝０
になる。
実際、
単位ベクトルＡ（ａ_１，ａ_２）と
それに垂直なベクトルＡ_ｖ（－ａ_２，ａ_１）
との内積＝－ａ_１ａ_２＋ａ_２ａ_１＝０　（式３）
になる。

（２）下図の様に、ベクトルＰを、ベクトルＡに平行なベクトルＰ_ａと、ベクトルＡに垂直なベクトルＰ_ｂに分解し、両ベクトルを合成したベクトルと考える。

すると、ベクトルＡに垂直なベクトルＰ_ｂとベクトルＡの内積は０になる。

そのため、ベクトルＰとベクトルＡの内積は、ベクトルＰからベクトルＡに垂直なベクトルＰ_ｂを除去して、残ったベクトルＡに平行なベクトルＰ_ａとベクトルＡとの内積になる。
ベクトルＰ_ａはベクトルＰのベクトルＡへの射影である。

単位ベクトルＡの大きさは１だから、ベクトルＰとベクトルＡの内積は、ベクトルＰにおけるベクトルＡに平行な部分のベクトルＰ_ａの大きさ（長さ）になる。

（３）ベクトルＰと単位ベクトルＡの内積は、
ベクトルＰから単位ベクトルＡに垂直なベクトルＰ_ｂを除去して、残ったベクトルＡに平行なベクトルＰ_ａの長さに等しい。
すなわち、ベクトルＰとベクトルＡの内積は、
ベクトルＰの、ベクトルＡに平行な直線への射影の長さに等しい。
 
例えば、ベクトルＰがベクトルＡと成す角度がθの場合、
ベクトルＰの、ベクトルＡに平行な直線への射影の長さ＝|Ｐ|ｃｏｓθである。
よって、
ベクトルＰと単位ベクトルＡの内積＝|Ｐ|ｃｏｓθ　（式４）

こうして、ベクトルＰと単位ベクトルＡとの内積によって、
ベクトルＰの、単位ベクトルＡに平行な直線上への射影の長さをあらわすことができます。

《三角関数の加法定理は、ベクトルの内積の式である》
　このベクトルの内積の概念を使うと、
三角関数の加法定理の公式が、
ベクトルの内積の計算の式であると理解できる。
（下図でベクトルＴはベクトルＷに垂直なベクトルである）

このcosの式とsinの式が三角形の加法定理を表している。

（なお、点あるいはベクトルの座標値を記号であらわすときは、上図の様に添え字を付けて座標記号をあらわし、点の名前ＷとＳを引き継いだ記号であらわしてください。そうした方が、記号の意味の見通しが良くなるからです）

（ｔａｎの加法定理）
ｔａｎの加法定理は、ｓｉｎの加法定理とｃｏｓの加法定理から、以下のようにｔａｎの加法定理が導ける。

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