最初に戻る確率の入試問題８

【問１】（難問）
「一つのサイコロを振り，出た目が4以下ならばAに1点を与え，5以上ならばBに1点を与える」 
という試行を繰り返す。
(1)AとBの得点差が2になったところでやめて得点の多い方を勝ちとする．n回以下の 試行でAが勝つ確率ｐ_ｎを求めよ。
（1992 一橋大）

解答は、ここをクリックした先のページにあります。

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自然数の数の入試問題７

【問１】
３桁の自然数のうち、５の数字を１回以上用いている奇数の数を求めよ。
（神奈川大・経）

解答はここをクリックした先にあります。
（数え間違いをしないための工夫も書きましたので、問題を解いた後で、参考に解答を見ておいてください）

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模様数と確率分の積を考える確率の入試問題５

【問１】
赤玉３個と白玉７個が入っている袋から無作為に１個を取り出し、 色を確認してから袋に戻す操作を３０回繰り返すとき、 赤玉を何回取り出す確率が最も大きいか答えよ。
（2013年　武庫川女子大）

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模様内模様を考える確率の入試問題６

【問１】（難問）
さいころをｎ個同時に投げるとき、出た目の数の和がｎ＋３になる確率を求めよ。
（2006年　京都大学）

この問題の解答はここをクリックした先にあります。
（この問題は、できた！と思っても完全な答えでは無いことがありますので、解答を参考にして、注意深く問題を解く心構えを整えてください）

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空試行を考える確率の入試問題４

【問１】（難問）
中の見えない袋の中に同じ大きさの白球３個、赤球２個、黒球１個が入っている。
この袋から１球ずつ球を取り出し、黒球を取り出したときに袋から球を取り出すことをやめる。
ただし、取り出した球はもとに戻さない。
この試行を行なうとき、以下の問いに答えよ。
(1)取り出した球の中に、赤球がちょうど２個含まれる確率を求めよ。
（2006年　大阪府立大）

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空試行を考える確率の入試問題３

【問１】
１個のサイコロを振るという試行を繰り返す。
奇数の目が連続して３回出るか偶数の目が通算して４回出たら試行を終了するものとする。
(1)この試行が６回以下で終了する確率を求めよ。
(2)この試行がちょうど７回で終了する確率を求めよ。
（2003年　上武大）

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余事象の確率の入試問題２

【問１】
１つのさいころを投げ続けて、同じ目が２回連続して出たら終了するものとする。
４回目以内（４回目も含む）に終了する確率を求めよ。
(2006年　北大)

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全部の場合を数え上げる確率の入試問題１

【問１】（難問）
箱の中に、１から９までの番号を１つずつ書いた９枚のカードが入っている。
ただし、異なるカードには異なる番号が書かれているものとする。
この箱から２枚のカードを同時に選び、小さいほうの数をＸとする。
これらのカードを箱に戻して、
再び２枚のカードを同時に選び、小さいほうの数をＹとする。
Ｘ＝Ｙである確率を求めよ。
(2011年　京都大)

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先ず正弦定理を試みるべき問題

【問１】（難問）

上の三角形において、図の角度の条件が成り立つＤ点の位置座標を求めよ。
ただし、点Ａ，Ｂ，Ｃの位置座標を、Ａ（０，０）と、Ｂ （１，０）と、Ｃ（０，√３）とする。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

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ベクトルの難問Ｂ１を複素数平面で解く問題（１／２）
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三角形の外心の高さの式のベクトルでの証明

大学への数学「ベクトル」編の勉強

【問１】 

 上の三角形において、上のベクトルの内積の式が成り立つことを証明せよ。

（外心Ｏを原点にしたベクトルを使って解く方法）
①この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。
②一番簡単な解答は、ここをクリックした先のページに在ります。
（直交ベクトルを利用して導く方法）
③三角形の外心を直交ベクトルを利用して導く解答もあります。

初めから与えられている式を証明する問題は、新しく式を見出す場合とは異なり、問題が易しくなります。

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ベクトルによる円周角の定理の確認

大学への数学「ベクトル」編の勉強

【問】下図のように三角形ＡＢＣと外接円の中心Ｄがある。この三角形の頂点Ａが外接円上を移動しても頂角Ａの角度が変わらないこと（円周角の定理）を確認せよ。

（注意）円周角の定理の方がベクトル計算の種々の定理の基礎になっていて、ベクトル計算は円周角の定理等の結果と考えます。そのため、ベクトル計算では、円周角の定理を確認できても、証明ではないと考えます。

【一番簡単な確認】

ベクトルの計算で外心の高さが式１で与えられる。
そして、
ベクトルの計算で外接円の半径Ｒは式２で与えられる。
式１と式２を使うと、


この式３により、頂点Ａが移動しても右辺の値が変わらない。これは、式３の左辺に余弦であらわされている角度Ａが変わらないことを意味する。
（確認おわり）

（補足）
　この式３の関係は、ベクトルだけを使って式１を導き出し、次に、ベクトルだけを使って式２を導き出したことでようやく導き出された関係です。しかし、式３は、高校１年で円周角の定理を図形で証明する過程で、図形の関係から容易に導き出されます。
　問題を楽に解くという観点では、高校１年での図形の証明による方法が一番楽です。そのため、ベクトルの係わる問題が出題されても、許される限りは、高校１年での図形の証明方法を使うようにしましょう。

【苦労する解き方】
　この円周角の定理を、準備無く解く苦労する解き方をした例を、ここをクリックした先に書きました。

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余弦定理は拡張三平方の定理

【問１】

上図の三角形ＡＢＣの長さＢＤ＝ａ_１を与える上の式を証明せよ。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

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３辺が定まった三角形の頂点の足の位置

【問１】

上図の三角形ＡＢＣの頂点Ａの左右へのずれを計算する上の式が成り立つことを証明せよ。
 
この問題の解答はここをクリックした先のページにあります。

（補足）
この式を使うと頂点Ａの足Ｄで分割された線分ＢＤの長さが計算できる。

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