勉強しよう数学: 8月 2018

（ベクトルの内積の定義）

単位ベクトルＡ＝ベクトルＯＡ＝（ａ_１，ａ_２）の長さの２乗は、（ａ_１・ａ_１）＋（ａ_２・ａ_２）＝１　（式１）
であらわすことができる。
その値は、単位ベクトルＡがどの方向を向いていても１になる。

この式１を拡張して、
ベクトルＰ＝ベクトルＯＰ＝（ｐ_１，ｐ_２）があり、単位ベクトルＡ＝ベクトルＯＡ＝（ａ_１，ａ_２）がある場合に、
ベクトルＰとベクトルＡの内積演算を、以下の式２で定義する。

その定義の結果、以下の式４が成り立つ。

この式のθは、ベクトルＰがベクトルＡと成す角度です。

ベクトルOＰと単位ベクトルOＡの内積は、ベクトルOＰの、直線ＯＢへの正射影の長さＯＢをあらわす。（ベクトルOＰを直径とする円と、ベクトルＯＡを含む直線との交点が点B）

（注意）
　大学や、おそらく世界中の数学者は、式２でベクトルの内積を定義しています。しかし、日本の高校では、式４によってベクトルの内積を定義しています。
日本の大学の教科書・参考書を見ると、日本の大学では、学生が高校で教わった式４の定義も認めた上で、式２の定義を示し式２の定義の適用の広さを教えることで、学生に式２の定義の方が優れている事を諭しています。

　この式２の内積の定義は、各ベクトルを
ｘ方向の単位ベクトル

と、
ｙ方向の単位ベクトル

を使って以下の式の様に表して、

以下の式の様に単位ベクトル同士の内積の演算を基礎にしてベクトルの内積を定義しています。

（補足）
上記のベクトルの計算では、以下のように計算するベクトルの内積の分配の法則を利用しています。

　式２で定義した内積を使うことで、余弦定理も証明できます。その証明において特に注意すべきことは、式４では内積を定義せず、式２で内積を定義することから証明を開始しなければなりません。その証明には、
「式２で内積を定義する」
と明記して、証明をしてください。
詳しくは：
「ベクトルｐとベクトルａの内積の演算を、
（ｐ_１，ｐ_２）・（ａ_１，ａ_２）＝ｐ_１・ａ_１＋ｐ_２・ａ_２
で定義する。
その定義の結果、ベクトルの内積が、ベクトルの長さの積と、ベクトル同士が成す角度θの余弦ｃｏｓθとの積であらわされる。」
と明記して、証明をしてください。

「式４で内積を定義しても、余弦定理を使って式２が導き出せるので問題無い」という誤った認識が流通しているので注意して下さい。
式２は余弦定理が無ければ成り立たない式では無く、逆に、式２を用いて余弦定理も証明でき、かつ、式４も導き出せるのです。
　式４で内積を定義してしまったら、式４の根拠付けに余弦定理が使われていますので、内積を使って余弦定理を導き出すのは、その定義の根拠になった公式を導き出すという循環論法になるので、内積で余弦定理を導き出してはいけない事になってしまいます。しかし、それは正しくはありません。
　そういう真実も、高校時代から学んで欲しいと考えます。

　なお、高校生になった学生は、心身ともに大人として完成する時期に入ったので、もう中学生時代のように受け身で勉強や生きる道を選択するのでは無く、自分から積極的に広く情報を集めて取捨選択して信頼できる情報を手に入れるようにして欲しいと思います。
　世間に流通している情報には、誤った情報の方が多く、正しい情報が少ないです。誤った情報しか手に入らないと、誤った情報は問題解決の役に立たないので自信が無くなり、どうしても受け身で勉強する姿勢になり易いです。
　正しい情報の貴重さを認識する経験を積んで欲しいと思います。そして、手に入れた正しい情報に基づいた確信と、生きる勇気を手に入れて、人生の永い道に乗り出して行って欲しいと思います。

（１）式２で内積を定義すると、
互いに垂直なベクトル同士の内積＝０
になる。
実際、
単位ベクトルＡ（ａ_１，ａ_２）と
それに垂直なベクトルＡ_ｖ（－ａ_２，ａ_１）
との内積の式３：

になる。

（２）下図の様に、ベクトルＰを、ベクトルＡに平行なベクトルＰ_ａと、ベクトルＡに垂直なベクトルＰ_ｂに分解し、両ベクトルを合成したベクトルと考える。

すると、ベクトルＡに垂直なベクトルＰ_ｂとベクトルＡの内積は０になる。

そのため、ベクトルＰとベクトルＡの内積は、ベクトルＰからベクトルＡに垂直なベクトルＰ_ｂを除去して、残ったベクトルＡに平行なベクトルＰ_ａとベクトルＡとの内積になる。
ベクトルＰ_ａはベクトルＰのベクトルＡへの正射影である。

単位ベクトルＡの大きさは１だから、ベクトルＰとベクトルＡの内積は、ベクトルＰにおけるベクトルＡに平行な部分のベクトルＰ_ａの大きさ（長さ）になる。

（３）ベクトルＰと単位ベクトルＡの内積は、
ベクトルＰから単位ベクトルＡに垂直なベクトルＰ_ｂを除去して、残ったベクトルＡに平行なベクトルＰ_ａの長さに等しい。

すなわち、ベクトルＰと単位ベクトルＡの内積は、
ベクトルＰの、ベクトルＡに平行な直線への正射影の長さＰ_ａに等しい。

例えば、ベクトルＰがベクトルＡと成す角度がθの場合、
ベクトルＰの、ベクトルＡに平行な直線への正射影の長さ＝|Ｐ|ｃｏｓθである。
よって、

こうして、ベクトルＰと単位ベクトルＡとの内積によって、
ベクトルＰの、単位ベクトルＡに平行な直線上への正射影の長さをあらわすことができます。

　このベクトルの内積の持つ性質（式４）は重要な性質なので、心に銘記して覚えるべき事と思います。
　高校の数学教育では、ベクトルの内積のこの重要な性質（式４）を学生が忘れないようにする配慮から、いっその事、ベクトルの内積のこの性質（式４）を、「ベクトルの内積の定義」として教えているのだろうと考えます。

（３次元空間のベクトルでも同じ）
　このベクトルの内積の持つ性質（式４）は、３次元空間のベクトルの間の内積の場合にも成り立ちます。そして、
３次元空間でも、ベクトルＰと単位ベクトルＡの内積は、
ベクトルＰの、ベクトルＡに平行な直線への正射影の長さＰ_ａに等しい。

《ベクトルＡＣのベクトルＡＢへの正射影》
　下図の関係も成り立ちます。
下図のＡＣベクトルが、正射影ベクトルＡＨに変換されます。

ただし、AHの方向がABの方向と反対の方向を向く場合は、上の式の右辺の項にマイナスが付きます。

（４）もう１つ大切な事を付け加えておきます。それは、ベクトルの内積の値は、座標系を回転させても変わらないことです。
　これは、ベクトルＰと単位ベクトルＡとの内積の値は、ベクトルＰの、単位ベクトルＡに平行な直線上への正射影の長さを表わすので、その値が座標系を回転させても変わらないのは当たり前のことです。
　しかし、式２で定義した内積を計算するためのベクトルの成分は座標系によって定められるので座標系の回転変換によって変化します。それにもかかわらず、内積の値は変わらないという事は不思議で面白いことです。

（ベクトルの成す角度はベクトルの内積を使って定義される）
　また、４次元空間における２つのベクトルの成す角度θの余弦＝ｃｏｓθを、２つのベクトルの内積の値を使って定義することができます。
単位ベクトルＰ（ｐ_１，ｐ_２，ｐ_３，ｐ_４）があり、
単位ベクトルＡ（ａ_１，ａ_２，ａ_３，ａ_４）がある場合に、
４次元空間での単位ベクトルＰと単位ベクトルＡが成す角度θの余弦＝ｃｏｓθを、
ｃｏｓθ＝（ｐ_１・ａ_１）＋（ｐ_２・ａ_２）＋（ｐ_３・ａ_３）＋（ｐ_４・ａ_４）

で定義することができます。
　この例の様に、ベクトルの成す角度θというものは、ベクトルの成分を使って測られ、ベクトルの内積などで定義されるものであって、角度θはベクトルの成分に従属するものです。
　そのため、何かを定義するとき、それをベクトルの成す角度θを使って定義するよりは、そのθも定義する要素である、ベクトルの成分のｐ_１，ｐ_２，ｐ_３，ｐ_４等を使って定義する方が、より根源的なしっかりした定義であると言えます。

《複素数成分のベクトルの内積》
複素数成分を持つベクトルｚとベクトルｗの内積は、各成分毎の、ベクトルｚの成分と、ベクトルｗの成分の共役複素数の積、の和になります。

《角度とcosとsinの対応》角度βに１：１対応する量ａ