拡張三平方の定理の２つの式がベクトルの内積により１つの余弦定理の式になる

 【三平方の定理】

上図の直角三角形で、式０であらわされた三平方の定理が成り立ちます。

【拡張三平方の定理】

上図の三角形で、式１であらわされた拡張三平方の定理が成り立ちます。
ａ_１が小さくなって０になれば、この式１は式０に一致します。

（証明開始）
三角形ＡＢＣに関して、三角形の辺の二乗の引き算の公式を使うと、以下の式が成り立ちます。

（証明おわり）

　式の対称性から、以下の様に、この式は、他の式でも表現できる、複数の式があるというバラエティがあります。

すなわち：
(1)辺ＢＣの長さａと、辺ＢＣ上への辺ＢＡの射影の長さａ_１の積を使う表現。
(2)辺ＢＡの長さｃと、辺ＢＡ上への辺ＢＣの射影の長さｃ_１の積を使う表現。
との２つのバラエティがあります。
その式のバラエティは、ベクトルの内積を使った１つの式で表現できます。
　そして、その式は、余弦定理をあらわします。 

（補足）
　拡張三平方の定理の式の２つの式のバラエティは、下図のように、三角形ＡＢＣの辺ＡＣの中点を中心にした円を使った方ベきの定理から理解できます。

しかし、２つの式のバラエティを含む定理は、方ベきの定理だけでは無く、以下の定理も、そのバラエティを含むので、頭を柔らかくしましょう。

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ベクトルＰと単位ベクトルの内積はベクトルＰの単位ベクトルへの正射影

（ベクトルの内積の定義）

単位ベクトルＡ＝ベクトルＯＡ＝（ａ_１，ａ_２）の長さの２乗は、（ａ_１・ａ_１）＋（ａ_２・ａ_２）＝１　（式１）
であらわすことができる。
その値は、単位ベクトルＡがどの方向を向いていても１になる。

この式１を拡張して、
ベクトルＰ＝ベクトルＯＰ＝（ｐ_１，ｐ_２）があり、単位ベクトルＡ＝ベクトルＯＡ＝（ａ_１，ａ_２）がある場合に、
ベクトルＰとベクトルＡの内積演算を、以下の式２で定義する。


その定義の結果、以下の式４が成り立つ。

この式のθは、ベクトルＰがベクトルＡと成す角度です。

ベクトルOＰと単位ベクトルOＡの内積は、ベクトルOＰの、直線ＯＢへの正射影の長さＯＢをあらわす。（ベクトルOＰを直径とする円と、ベクトルＯＡを含む直線との交点が点B）

（注意）
　大学や、おそらく世界中の数学者は、式２でベクトルの内積を定義しています。しかし、日本の高校では、式４によってベクトルの内積を定義しています。
日本の大学の教科書・参考書を見ると、日本の大学では、学生が高校で教わった式４の定義も認めた上で、式２の定義を示し式２の定義の適用の広さを教えることで、学生に式２の定義の方が優れている事を諭しています。

　この式２の内積の定義は、各ベクトルを
ｘ方向の単位ベクトル
と、
ｙ方向の単位ベクトル

を使って以下の式の様に表して、

以下の式の様に単位ベクトル同士の内積の演算を基礎にしてベクトルの内積を定義しています。


（補足）
上記のベクトルの計算では、以下のように計算するベクトルの内積の分配の法則を利用しています。


　式２で定義した内積を使うことで、余弦定理も証明できます。その証明において特に注意すべきことは、式４では内積を定義せず、式２で内積を定義することから証明を開始しなければなりません。その証明には、
「式２で内積を定義する」
と明記して、証明をしてください。
詳しくは：
「ベクトルｐとベクトルａの内積の演算を、
（ｐ_１，ｐ_２）・（ａ_１，ａ_２）＝ｐ_１・ａ_１＋ｐ_２・ａ_２
で定義する。
その定義の結果、ベクトルの内積が、ベクトルの長さの積と、ベクトル同士が成す角度θの余弦ｃｏｓθとの積であらわされる。」 
と明記して、証明をしてください。

「式４で内積を定義しても、余弦定理を使って式２が導き出せるので問題無い」という誤った認識が流通しているので注意して下さい。
式２は余弦定理が無ければ成り立たない式では無く、逆に、式２を用いて余弦定理も証明でき、かつ、式４も導き出せるのです。
　式４で内積を定義してしまったら、式４の根拠付けに余弦定理が使われていますので、内積を使って余弦定理を導き出すのは、その定義の根拠になった公式を導き出すという循環論法になるので、内積で余弦定理を導き出してはいけない事になってしまいます。しかし、それは正しくはありません。
　そういう真実も、高校時代から学んで欲しいと考えます。

　なお、高校生になった学生は、心身ともに大人として完成する時期に入ったので、もう中学生時代のように受け身で勉強や生きる道を選択するのでは無く、自分から積極的に広く情報を集めて取捨選択して信頼できる情報を手に入れるようにして欲しいと思います。
　世間に流通している情報には、誤った情報の方が多く、正しい情報が少ないです。誤った情報しか手に入らないと、誤った情報は問題解決の役に立たないので自信が無くなり、どうしても受け身で勉強する姿勢になり易いです。
　正しい情報の貴重さを認識する経験を積んで欲しいと思います。そして、手に入れた正しい情報に基づいた確信と、生きる勇気を手に入れて、人生の永い道に乗り出して行って欲しいと思います。

（１）式２で内積を定義すると、
互いに垂直なベクトル同士の内積＝０
になる。
実際、
単位ベクトルＡ（ａ_１，ａ_２）と
それに垂直なベクトルＡ_ｖ（－ａ_２，ａ_１）
との内積の式３：

になる。

（２）下図の様に、ベクトルＰを、ベクトルＡに平行なベクトルＰ_ａと、ベクトルＡに垂直なベクトルＰ_ｂに分解し、両ベクトルを合成したベクトルと考える。

すると、ベクトルＡに垂直なベクトルＰ_ｂとベクトルＡの内積は０になる。

そのため、ベクトルＰとベクトルＡの内積は、ベクトルＰからベクトルＡに垂直なベクトルＰ_ｂを除去して、残ったベクトルＡに平行なベクトルＰ_ａとベクトルＡとの内積になる。
ベクトルＰ_ａはベクトルＰのベクトルＡへの正射影である。

単位ベクトルＡの大きさは１だから、ベクトルＰとベクトルＡの内積は、ベクトルＰにおけるベクトルＡに平行な部分のベクトルＰ_ａの大きさ（長さ）になる。

（３）ベクトルＰと単位ベクトルＡの内積は、
ベクトルＰから単位ベクトルＡに垂直なベクトルＰ_ｂを除去して、残ったベクトルＡに平行なベクトルＰ_ａの長さに等しい。

すなわち、ベクトルＰと単位ベクトルＡの内積は、
ベクトルＰの、ベクトルＡに平行な直線への正射影の長さＰ_ａに等しい。

例えば、ベクトルＰがベクトルＡと成す角度がθの場合、
ベクトルＰの、ベクトルＡに平行な直線への正射影の長さ＝|Ｐ|ｃｏｓθである。
よって、

こうして、ベクトルＰと単位ベクトルＡとの内積によって、
ベクトルＰの、単位ベクトルＡに平行な直線上への正射影の長さをあらわすことができます。

　このベクトルの内積の持つ性質（式４）は重要な性質なので、心に銘記して覚えるべき事と思います。
　高校の数学教育では、ベクトルの内積のこの重要な性質（式４）を学生が忘れないようにする配慮から、いっその事、ベクトルの内積のこの性質（式４）を、「ベクトルの内積の定義」として教えているのだろうと考えます。

（３次元空間のベクトルでも同じ）
　このベクトルの内積の持つ性質（式４）は、３次元空間のベクトルの間の内積の場合にも成り立ちます。そして、
３次元空間でも、ベクトルＰと単位ベクトルＡの内積は、
ベクトルＰの、ベクトルＡに平行な直線への正射影の長さＰ_ａに等しい。

《ベクトルＡＣのベクトルＡＢへの正射影》
　下図の関係も成り立ちます。
下図のＡＣベクトルが、正射影ベクトルＡＨに変換されます。

ただし、AHの方向がABの方向と反対の方向を向く場合は、上の式の右辺の項にマイナスが付きます。

（４）もう１つ大切な事を付け加えておきます。それは、ベクトルの内積の値は、座標系を回転させても変わらないことです。
　これは、ベクトルＰと単位ベクトルＡとの内積の値は、ベクトルＰの、単位ベクトルＡに平行な直線上への正射影の長さを表わすので、その値が座標系を回転させても変わらないのは当たり前のことです。
　しかし、式２で定義した内積を計算するためのベクトルの成分は座標系によって定められるので座標系の回転変換によって変化します。それにもかかわらず、内積の値は変わらないという事は不思議で面白いことです。

（ベクトルの成す角度はベクトルの内積を使って定義される）
　また、４次元空間における２つのベクトルの成す角度θの余弦＝ｃｏｓθを、２つのベクトルの内積の値を使って定義することができます。
単位ベクトルＰ（ｐ_１，ｐ_２，ｐ_３，ｐ_４）があり、
単位ベクトルＡ（ａ_１，ａ_２，ａ_３，ａ_４）がある場合に、
４次元空間での単位ベクトルＰと単位ベクトルＡが成す角度θの余弦＝ｃｏｓθを、
ｃｏｓθ＝（ｐ_１・ａ_１）＋（ｐ_２・ａ_２）＋（ｐ_３・ａ_３）＋（ｐ_４・ａ_４ ）

で定義することができます。
　この例の様に、ベクトルの成す角度θというものは、ベクトルの成分を使って測られ、ベクトルの内積などで定義されるものであって、角度θはベクトルの成分に従属するものです。
　そのため、何かを定義するとき、それをベクトルの成す角度θを使って定義するよりは、そのθも定義する要素である、ベクトルの成分のｐ_１，ｐ_２，ｐ_３，ｐ_４等を使って定義する方が、より根源的なしっかりした定義であると言えます。

《複素数成分のベクトルの内積》
複素数成分を持つベクトルｚとベクトルｗの内積は、各成分毎の、ベクトルｚの成分と、ベクトルｗの成分の共役複素数の積、の和になります。

《角度とcosとsinの対応》角度βに１：１対応する量ａ


《ベクトルの概念の歴史》
　ベクトルの概念は，ある一人の数学者によって完成されたものではなく，様々な数学者や物理学者の考えが合わさり，生み出されたものである．
　18 世紀までに，ベクトルにつながるような概念はいくつかあったようである．中でも，複 素数平面に関する考えは，のちにベクトルの概念に繋がっていくことになる．

1840年　グラスマンが内積（式(2)）や外積を定義
　彼は『線型拡張の理論』という本を出し、内積と外積という言葉を初めて使います。
しかし折角のこの論文は日の目を見ませんでした。
提出先の教授が理解できなかったからです。

1843年　ハミルトンがベクトルとベクトル解析の発展を刺激した四元数を発見

1867年　テイトが『四元数の初等的理論』という本を出版し、ベクトルの内積（式(2)）が、式(4)で表せることを示した。

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２階微分の記号の定義

【２階微分】

左辺の式は、右辺の様に微分を２回続けて行なう操作をあらわしています。
例えば、関数ｆ（ｘ）が以下の式１で定義されている場合：

式２の解を得る計算をすることが２階微分の定義です。

この定義を学生に周知せずに、この記号を使った問題が出題されることがありました。
その場合に、学生が、この２階微分の記号の意味を、以下の式３の意味であると解釈して解答する場合がありました。

式３は、以下の様に求めます。
先ず、以下の式４で変数ｔを定義します。

この準備をした上で、式３を以下の様に計算します。

 （解答おわり）

この解答は、正しい解答の式２と異なり、誤った解答です。
しかし、学生がこの解答をした場合は、
２階微分の記号の定義を周知させずに、この記号を使った問題を出題する教育の方が間違っていると考えます。

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ａ・ｓｉｎθ＋ｂ・ｃｏｓθの変形の練習問題

【問１】
以下の式１を満たすθの値を求めよ。

この問題の解答はここをクリックした先にあります。

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微分の傾き０を一瞬で把握するコツ

【課題】
以下の関数のグラフの概形を素早く求める方法を考える。

【図形の概形】
（１）
x→±∞のとき、このグラフが、
ｙ＝１/(x²+1)→０
０に収束することを想像する。
（２）
ｘ座標の正負反転で対象なグラフであることも想像する。
（３）
ｘ＝０のとき、
ｙ＝１
になるグラフであることも想像する。

（４）
詳しく微分の計算をしてｘ＝０での微分係数を求める手間をかけずに、
ｘ→Δｘのとき、
ｙ＝１/(Δx²+1)の値が１からほとんど変わらないと考える。
それにより、
ｘ＝０でのグラフの傾きΔｙ/Δｘは０であると想像する。

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