分点の位置ベクトル（メネラウスの定理）

佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強

【問】
　上の図のように三角形ＡＢＣとそれに交差する直線の位置を位置ベクトルであらわして、メネラウスの定理を、ベクトル方程式を用いて証明せよ。

【解の方針】
　２次元平面上の図形の問題をべクトルで解くときの重要な解答方針は、
「２次元平面上の全ての方向のベクトルが、２つの独立なベクトルに係数を掛けて足し合わせることであらわすことができる」
という重要な原理を利用します。
　つまり、全てのベクトルを２つの独立なベクトルの合成によってあらわし、その２つの独立なベクトルを使ったベクトル方程式を作って計算します。

　そのため、上図のようにして、点Ａが原点Ｏにあるとして、直線ＢＣとＥＦの交点Ｄを、２つのベクトルＯＥとＯＦと２つの変数　ｔ，ｕを用いたベクトル方程式を用いて、求めます。そして、メネラウスの定理における線分の長さの比を計算します。

【証明開始】

（式３）と（式４）から、以下の式が得られる。

 

メネラウスの定理を、以下のように、ｕとｂとｃであらわして整理する。

メネラウスの定理は、ｕについては、（ｕ＋１）／ｕを計算する必要があるため、以下でｕ＋１を計算して、それをｕで割り算する。

（証明おわり）

このように、ベクトル方程式を解けば、自然にメネラウスの定理が証明できます。
ベクトル方程式によりメネラウスの定理が導けるので、メネラウスの定理の応用問題もベクトル方程式で解くことができます。

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