【問１】任意のN個の命題P1,P2,・・・PNに対して、 任意のN個の命題P1,P2,・・・PNに対して、 任意のN個の命題P1,P2,・・・PNに対して、 任意のN個の命題P1,P2,・・・PNに対して、
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１９世紀の解析学における「厳密化革命」とは何か ε-δ論法の誕生 【ε論法】関数の連続性とδのテクニック 連続関数の定義 高校数学の目次
（当ブログの結論）
高校２年生が微分積分を学習するのに適切な本は、高校生用の教科書や参考書なのでは無く、大学１年生向けの参考書：例えば：「やさしく学べる微分積分」（石村園子）
（微分積分学の歴史）
ライプニッツが、1684年に「極大と極小にかんする新しい方法」を出版して、その中で微分法を発表し、
その後に、ニュートンが微分積分学を発表しました。
それに対して、旧い数学者のバークレー司教(Bishop George Berkeley) が微分積分学を攻撃した論争が微分積分学を正しく育てました。
以下で、バークレー司教の微分積分学に対する感想を見てみます。
『バークレー司教：解析者より』
精神がこの捉え難いアイデア（微分積分学）を解析し追及すればするほど、それはまごつき狼狽えることになり.....」
『バークレー司教：解析者より』
彼ら（微分積分学）はさらにその差の差を考え、最初の差の差の差を考えます。 そしてさらに無限にまで。
その無限に小さい量よりもさらに無限に小さな量を、そしてその上これまでの無限小量よりもさらに無限に小さい量を考え、終わりも限界もないのです。
......もう告白するしかありませんが、無限に小さい量を心に描くことは ......私の能力を超えています。
しかし、そのような無限に小さい量の、それよりさらに無限に小さい一部、だから結局それを無限倍したとしても最も微細な有限の量にまでなることもできない、そんなものを想像するということは、どんな人にとってもそれこそ無限に困難なことだろうと、私は思うのです。.....」
『バークレー司教：解析者より』
無限小の増分の速度。 そして、これら同じ無限小の増分の速度とは何なんだろうか？
これらは有限の量でもなく、無限に小さい量でもなく、無でもない。 こんなものなら、過ぎ去った量の幽霊と呼んではいけないというのだろうか？ 」ニュートンとライプニッツの微分は、「無限小」の概念が十分に論理付けされていなかったため、今日のような厳密さが欠けていた だが、微分は、力学や天文学などで応用可能、しかも実用的であったため、ベルヌーイやロピタル、オイラー、ラグランジュ、ラプラスなどの研究によって普及していった。「連続関数」 の概念を定義し、解析学の基礎を刷新し、その後デデキントやカントールによる実数論などを経て、今日の微分の基礎が完成した。
連続関数の定義は、1817年にBolzanoが中間値の定理を証明する前提条件に定義した連続関数の定義により、歴史上初めて連続関数が正しく定義された（その定義は関数の連続性を区間で定義するものである）。 大学数学では、連続関数という言葉を使わずに「区間連続」という言葉で本来の意味の連続関数をあらわすことにしています。 微分積分学を厳密化するしくみ コーシー（1789-1857）は不等式を使ったε-δ論法を導入した。 （イプシロンデルタ論法の説明は、ここをクリックした先のサイトが参考になる。） 関数f(x) は少なくとも、微小な区間
ということを初めから前提にして、古典的（基礎的）微分積分学による関数の極限の定義と関数の連続の定義をイプシロンデルタ論法で表現すると、以下のようにとても簡単にあらわせる。（ただし、極限の定義の場合にはｆ(a) が定義されていないでも良いものとする） 《基礎的微分積分学による関数の極限の定義》 《連続の定義》
この定義をハッキリ把握するために、想像力を膨らませて、この定義を、以下の様に噛み砕いて自分の言葉で言い換えて定義を覚えると良い。
（０）
この、関数の点ａでの連続の定義は、関数の点ａの近傍の幅を持った微小区間で連続を判定している。
すなわち、関数の連続を確認する点ｘ＝ａ については、その点の座標の周りに広がりを持つ区間の、少なくとも、 （ここで、δはある小さな値の正の実数）
という微小区間の全ての実数値ｘで関数ｆ(x)が定義されている ことが大前提である。
「区間」と言う場合は、それは１つの連結区間であって、その区間内の全ての実数が関数の定義域である事を意味する。
（１）
次に、 ａに近い（値ａも含む
（２） ａから、正の値δの範囲内でずれる、ａも含む定義域の全てのｘの値について
この定義における「全てのｘの値」の意味は、ａから、正の値δの範囲内でずれる値の区間に属する全て実数のｘを考慮することを意味する。
（３）
その全てのｘの値の関数ｆ(x)の値
その誤差＜εとする小さな正の値εでバラツキの範囲を定める。
すなわち、点ａの近傍の区間の全ての実数ｘ（ただし、ｘ＝ａの場合も含む）の値の関数値ｆ(x)について、
－ε＜ （ｆ(x)－ｆ(ａ)）＜ε
となる正の値εを定める。
（４）値ａも含む
ｆ(x)はｘ＝ａで極限値ｂを持ち、かつ、その極限値ｂがｆ(ａ)に等しい。
その場合に、
関数ｆ(x)は、
ｘ＝ａで連続である。 （第１の定義の連続）。
言い換えると、微小区間を、 （ｘ＝ａとなる場合も含む）微小区間内のどのｘの値でも 、
（注意１）このε－δ論法による連続の第１の定義は、
ｘの微小区間の ａ − δ＜ｘ＜ａ+δ の全ての実数についてｆ(x)の値が存在する（定義されている）事を条件にしている。そのため、関数値ｆ(x)が点ａを含む微小区間で定義されていない場合は、連続であるとは定義しない。（注意２）ここで、ε－δ論法というものは、εとδを使った極限の表現の手段であって、そのε－δ論法を使った「連続」の定義は、上の形の第１の連続の定義に限られない。 片側連続についても、第１の連続の定義とは形を変えた別のε－δ論法によって片側連続が定義される。 〔位相空間論に係わり再構築した微分積分学〕 孤立点の極限は、この（値域の）連続性の定義を経由して定義する。 この関数の（値域の）連続性の定義は、正確には、位相空間論の連続写像の定義の基礎となる定義であって、位相空間論の連続写像の定義そのものではない。
実数R全体での点ａでのこの連続性の定義が満足される関数ならば、実数全体での位相空間の連続写像と同値になる。
連続でない点 」である。
【積分とは何か】
積分については，ここをクリックした先のｐｄｆファイルにある原教授の以下のコメントが大切です。 ---（原教授のコメント開始）---------高校までの知識は いったん忘れて 不定積分 も定義できるので，高校までの知識とのつながりがつくことになる．
（補足２）
（「リーマン積分可能」の定義）
（この本は書店で購入できます。 ）
その他に、高校２年生が勉強するのに適切な、書店で購入できる微分積分の参考書は：
「やさしく学べる微分積分」（石村園子） ￥2000円 が内容がわかり易くて良いと思います。
ここではドイツの数学者G.F.B. Riemann (1826-1917) によって示されたRiemann 積分について学んでいきます．リーマン積分による「積分可能」の定義は、全ての種類の「積分可能」の定義の基礎になっています。
（a = x0 < x1 < x2 < · · · < xi < · · · < xn = b）
高校数学で教える区分求積法では、区間を細分した部分区間のグラフの高さf(x)を求めますが、そのｘの位置が部分区間の中の特定の位置に固定されています。
このとき、
となる実数S が存在するならば，このS をf(x) の定積分(definite integral) といい， f(x) は閉区間[a, b] で積分可能(integrable) である
つまり関数f(x) が閉区間[a, b] で積分可能
この定義に従い、関数の積分可能性を以下の様にして調べることができます。
先ず小さな閉区間[a, b] を定めて、
その区間の小区間への分割の仕方および点ξi(i = 1, 2, . . . , n) のとり方に関係なく、各点の関数値の和が一通りに定まる（積分可能）か否か
（積分が不可能な関数）
下のグラフの関数ｆ（ｘ）のように、どの位置においても関数の極限が存在しない関数があり得ます。
例えば、
ｘが有理数の場合にｆ（ｘ）＝０であって、
ｘが無理数の場合のｆ（ｘ）＝１
という、極限が存在しない関数ｆ（ｘ）などです。
そういう、極限が存在しない関数ｆ（ｘ）を積分して関数Ｆ（ｘ)を得た場合（もし積分できた場合）、その積分により得られた関数Ｆ（ｘ）は微分可能だろうか。
そもそも、微分の計算は極限を求める計算なので、その関数ｆ（ｘ）が積分できても、その積分した関数Ｆ（ｘ）を微分した場合に、元の関数ｆ（ｘ）は（極限値が存在しないので）、微分によっては得られないと考えます。
上図の関数ｆ（ｘ）の変数ｘ＝ｘ１からｘ＝ｘ２までの変数ｘの閉区間をｎ等分して、その区分した部分毎にｆ（ｘ）の値ｆ（ξ）を求めて、その値の和で積分します。
（１）その際に、 変数ｘ＝ξが全て有理数なら、ｆ（ξ）＝０になり、積分結果は０になります。
（２）一方、変数ｘ＝ξが全て無理数√２の有理数倍なら、ｆ（ξ）＝１になり、積分結果は（ｘ２－ｘ１）になります。
（３）ｆ（ｘ）の値ｆ（ξ）の選び方によって結果が変わるような計算の値は定かでは無いので、その様な関数ｆ（ｘ）は積分することができません。
このように、微分積分学では、あらゆる関数に微分積分を行う理論を作ろうとすると、いろいろな難しい問題があることがわかりました。
微分積分学で、難しい問題が生じない関数の範囲を把握して、その範囲内で微分積分の計算をすることで、応用上で微分積分を使い易くできます。
そのため、使い易い関数として、極限が存在し、かつ、連続な「連続関数」（関数ｆ（ｘ）が連続な範囲にｘの定義域を限定した１つながりに連続な関数が連続関数です） を主に扱う対象にし、また、「微分可能性」で関数の種類と、また、関数の変数ｘの定義域内の所定の範囲を定めて、その所定の範囲内だけで微分積分を行うようにします。その範囲内で成り立つ法則を把握して、種々の公式を導き出して使うことで微分積分学を最大限に応用できるようになります。
微分積分学は、微分可能な関数と積分可能な関数を定義して、その種の関数の間で微分したり積分をします。
「関数を積分して、それを微分したら元の関数に戻る」
という、微分積分学の基本定理 がありますが、
その定理は、その関数ｆ（ｘ）の積分可能な部分に限り、かつ積分後の関数Ｆ（ｘ)の微分可能な部分に限って成り立つ定理です。
その定理の大前提に、何が微分可能で何が積分可能であるかの定義があります。
（微分積分学の基本定理を厳密に定義すると、「微分積分学の基本定理」という命題は、積分可能条件を記述した命題です） 微分可能の定義 が微分積分学の基本定理 を左右する） 微分積分学の基本定理 の根底を支えているのが微分可能 の定義です。高校数学の微分可能の定義は、変数ｘが開区間(a＜x＜b)で定義された関数f(x)にしか微分可能 が定義されていません。そのため、高校数学の範囲内の知識では、開区間(a＜x＜b)で定義された関数 f(x)にしか、微分積分学の基本定理 が成り立ちません。微分可能 が定義されています。そのため、大学数学では、閉区間（a≦x≦b）で定義された関数f(x)にも
微分積分学の基本定理 が成り立つと教えられています。
微分積分を学ぶ者は、「微分可能」と「積分可能」という制限条件を定め、その制限条件を満足する関数を扱うのが微分積分学だと認識することがとても大切です。
しかし、この一番大切な概念を高校２年には教えない。高校３年に至っても「積分可能」の概念を教えていないようです。
積分の概念は、数学の研究対象を微小な部分に分割して研究し、その微小部分を集積した全体にまとめ上げて全体を考えるという、適用範囲が広い概念です。
「歴史的に見ても、微分より積分の方がずっと前に出現している。」 積分の被積分関数の計算においては、ｘのある値で０になる関数を分母にする、すなわち、そのｘの値で０になる関数で式を割り算する計算が許されています。しかし、（大学で初めて学ぶ）広義積分を知らないと、その計算が何故許されるかが理解できません。
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