ベクトル方程式で三角形の垂心の位置ベクトルを求める

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。 

大学への数学「ベクトル」編の勉強

【問１】
　三角形ＯＡＢＣの垂心Ｄの位置ベクトルを、ベクトルＯＡと、それに垂直なベクトルｈとであらわせ。
なお、点Ｏは原点、頂点Ａ，Ｂの座標は、
点Ａ（ａ，０）、点Ｂ（ａ_１，ｈ）とする。

【一番簡単な解き方の秘訣】
　（あるベクトルｂとｑとが互いに垂直であるという条件のある図形の問題を解くときは、
（１）それらのベクトルｂとｑを、互いに垂直な単位ベクトルｘとｙの合成であらわして、
（２）そして、ベクトルｂとｑが垂直である条件として内積が０であるというベクトル方程式を作って計算すると、
計算が一番簡単になります。）

しかし、以下では（１）の秘訣は使わずに問題を解いてみます。

【解答】
ベクトルＯＢを、ベクトルＯＡ＝ａと、それに垂直なベクトルｈとであらわす。

ここで、

である。
そして、

でもある。
求める位置ベクトルＯＤは、以下の式（２）であらわせ、更に、式（３）でベクトルａとｈであらわせます。この式で係数ｋが未知数です。 

三角形の点ＡからＤまでいたるベクトルｑは、以下の式で計算できる。

三角形の一辺ＯＢのベクトルｂとそれに垂直なベクトルｑの間には、以下の式（５）の関係がある。この式（５）に式（１）と（４）を代入して計算する。

式（６）を更に変形する。

式（７）で求めた未知数ｋを式（２）に代入して求める位置ベクトルｄが式８で得られた。

ここで、

である。
（第１の解答）

（補足１） この第１の解答の式(8)を変形して整理すると、以下の式になる。


　一方、式８であらわした解を、更に、互いに垂直なベクトルａとベクトルｈを使ってあらわすように変形する。

上の式（８）の形の式は見た目はわかりやすい形に見えたが、式（９）の形にまで変形すると、垂心のベクトルａ上の高さの公式が見えてくる、より多くの情報が得られるより優れた式９が得られた。
　この式（９）の方が良い表わし方の式であることを理解するには、この問題を解く前に答えを予測する計算をする事が望ましい。
（解答おわり）

（補足２）図形を平行移動させる
　以上の解答は、三角形OABの頂点Oが原点にある場合の解答でした。
三角形が平行移動して頂点O（頂点C)が原点から外れた位置に平行移動した場合の解に変換してみます。

ベクトルＡは点Ａの位置ベクトル、
ベクトルＢは点Ｂの位置ベクトルとして、
ベクトルＤは点Ｄの位置ベクトルとして、
その解の変換は、式８は以下の式８ａに変換できます。

 この式８ａの左辺と右辺の各点の位置ベクトルは、点Ｃの位置ベクトルとの差であると解釈できます。

こうして、点Ｃの位置を原点以外の点に平行移動した場合の点Ｄの位置ベクトルを与える式８ｃが導かれた。

【位置ベクトルA,B,Cのみで垂心Dの位置ベクトルを表す】
式８ａは、更に、以下の式に変形できる。

とおいて、
以下の計算ができる。

（補足３）この式(11)から、式(11)の第２項によって垂心Dの頂点Bからの距離|p|が以下の式で表されることがわかる。


ここで、ベクトルｈは以下の式であらわせる。
ベクトルａvはベクトルａを左回りに９０度回転させたベクトルである。

この式１２と式１３を式１１に代入して計算する。

（計算おわり）
こうして、垂心Ｄの位置ベクトルを三角形の頂点Ａ，Ｂ，Ｃの位置ベクトルであらわすことができた。

（補足４）
この式は、ベクトルの名前を付け替えてあらわすと以下の図の式になる。


この式41は、以下の意味を持つ式に変形できる。


また、式41は、正弦定理を使って変形することもできる。

次に、「タンジェントの美しい関係式」 を使って変形を進めることができる。


【問２】
　下図で、点Ａから垂心ＨまでのベクトルＡＨをベクトルＡＢとベクトルＡＣとであらわせ。


この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。

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ベクトルで三角形の外心を表す種々の式

ベクトル方程式で三角形の外接円の中心の位置ベクトルを求める

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

以下の解答を見るよりも先に、
ここをクリックして「三角形の外接円の中心の位置ベクトルの公式を初めて学ぶ方法」を見た方が良いのではないかとも思います

《重要な注意》
　三角形の外心の位置を求める問題は、数IIで習った図形と方程式を使ったほうが、ベクトルで計算するよりも楽に解けます。

《解答の式の一覧》
以下の解答の式で覚えるべき最も重要な式は第２３の解の式です。
（最も重要な式を最初に書かなかった事をお詫びします）
▽第１の解（ベクトルａとｂであらわす）
▽第２の解（ベクトルaとbと面積Sであらわす）
▽第３の解（解を三角関数であらわす）
▽第４の解（第２の解と同じaとbと面積S）
▽第５の解（aとcと高さhで）
▽第２０の解（ベクトルａとそれに垂直なベクトルgで）
▽第２１の解（第２０の解と等価aとgで）
▽第６の解（第５の解と同じaとcと高さhで）
▽第２２の解（第２０の解と同等cとcvで）
▽第２３の解（第２０の解と同等aとavで）
▽第３０の解（ベクトルavとbvであらわす）
▽第３１の解（同じavとcvで）
▽第３２の解（同じavとcv）
▽第３３の解（第３０の解と等価）


【問１】三角形ＯＡＢの外心（外接円の中心）Ｄの位置ベクトルをもとめよ。
なお、点Ｏは原点、頂点Ａ，Ｂの座標は、点Ａ（ａ，０）、点Ｂ（ｂ_１，ｂ_２）とする。

【解答方針】
ベクトル方程式の問題は、
「２次元空間の全てのベクトルは、２つの独立なベクトルの係数倍の和であらわすことができる」
という基本原理を用いて、２つのベクトルを決めて、そのベクトルの係数を計算することで求める。

【一番簡単な解き方の秘訣】
　（あるベクトルｂとｑとが互いに垂直であるという条件のある図形の問題を解くときは、
（１）それらのベクトルｂとｑを、互いに垂直な単位ベクトルｘとｙの合成であらわして、
（２）そして、ベクトルｂとｑが垂直である条件として内積が０であるというベクトル方程式を作って計算すると、
計算が一番簡単になります。）

しかし、以下では（１）の秘訣は使わずに問題を解いてみます。

【解答】
２つの独立なベクトルとして、ベクトルＯＡとベクトルＯＢを用いることにする。
そして、求めるベクトルＯＤを以下の式（１）であらわす。

外接円の中心Ｄの位置ベクトルＯＤは、線分ＡＢの垂直二等分線と線分ＢＣの垂直二等分線との交点であるので、以下の式（２）（３）（４）の関係がある。

式（３）に順次に式（２）と（１）を代入して計算する。

式（４）に順次に式（２）と（１）を代入して計算する。

式（５）と（６）を連立して係数ｓとｔを計算する。

式（７）と（８）を式（１）に代入してベクトルＯＤをあらわす。


（解答おわり）
（▽以上が第１の解）

【第２の解】
　この式９は、ベクトルａとベクトルｂだけで解をあらわそうとしたので複雑になった。
しかし、以下の図のベクトルｃも使って良いならば、式がもっと単純になります。

 を、式９に代入する。

この様に式が単純化できる。
更に、ベクトルａを左回りに９０°回転させたベクトルａvも使って良いならば、
《２つのベクトルの大きさの積の三平方の定理》
を使って、以下の式にまで単純化できる。

（注意おわり）
（▽以上が第２の解）
この解は、ベクトルの分解の公式を使って、以下の様にして求める事もできる。

（第２の解おわり）

【第３の解】
第１の解の式９は、以下の図を考えて変形することができます。

 を、式９bに代入する。

この式９ｂ2を、正弦定理の以下の式を利用して変形する。


 この式９ｃの分母は、三角形ABCの面積をSとし、以下の式に変形します。

この式を式９ｃに代入する。


（変形おわり）
（△以上が第３の解）

　この変形で、ベクトルODをあらわす式９を、単純な形の式９ｄに変形できた。
この変形は、予め、三角関数を使って、この式９ｄの形に変形しようという解答者の意思があって初めて可能であり、この形にするのは解答者の裁量に依存しました。
すなわち、必ずこの形に解を変形しなければならないという事は無いのです。
式９のままでも解として十分な価値があります。

  　解の形の式９ｄの方が、式９よりも単純な式になりました。しかし、式９を変形して式９ｄのように単純な式を得るには、ベクトル方程式の計算パターンだけではわかりません。三角関数も使っていますし・・
 　式９ｄを見出すには、ベクトルＯＤの答えをどういう視点でとらえようとするかの、解答者の意思に依存します。

【第４の解】
　実際、第１の解の式９の変形でベクトルｃを使って良く三角形ABCの面積Sを使っても良い場合は、第２の解が得られた。第２の解は、面積Sを、以下のように導入して求めることもできる。

 （変形おわり）
（▽以上が第４の解）

まさに、解答者の裁量によって、解の式の形が決まります。

【第５の解】
以下の図を使って考える。原点は外心に置く。各頂点の、外心を中心にした位置ベクトルをA,B,Cとする。

この図を使って、ベクトルの分解の公式を使って、ベクトルBO＝－ベクトルBをベクトルａとｃであらわす。

ベクトルBOがベクトルａとｃで表せた。
（▽以上が第５の解）

【解をベクトルａとそれに垂直なベクトルｇで表す】
　第１の解の式９を、ベクトルａと、それに垂直なベクトルｇとであらわしてみます。
ベクトルｂは以下の式（１０）であらわされます。式（１０）を（９）に代入して計算します。

この式（１１）のベクトルａとベクトルｂの内積にベクトルの要素を代入して計算する。

（▽以上が第２０の解）

式（１２）で、ベクトルＯＤが、ベクトルａと、それに垂直なベクトルｇとであらわせました。

ベクトルｇの係数が０になる場合は、三角形ＯＡＢの∠Ｂが直角の場合です。
∠Ｂが９０°より小さいと、ベクトルｇの係数が０より大きくなり、
∠Ｂが９０°より大きいと、ベクトルｇの係数が０より小さくなります。

　式（１２）であらわした方が、式（９）の解答よりも単純な式になりました。しかし、式（９）を変形して式（１２）のように単純な式を得るには、ベクトル方程式の計算パターンだけではわかりません。
　式（１２）を見出すには、ベクトルＯＤをどのベクトルであらわそうとするかの、答えをどういう視点でとらえようとするかの、解答者の意思に依存します。

　以下の問題２では、解答者の「意思」を定めた後の解き方を示します。

【問２】
　三角形ＯＡＢの外心（外接円の中心）Ｄの位置ベクトルを、ベクトルＯＡと、それに垂直なベクトルｇとであらわせ。
なお、点Ｏは原点、頂点Ａ，Ｂの座標は、点Ａ（ａ，０）、点Ｂ（ｂ_１，ｂ_２）とする。

求める位置ベクトルＯＤは、以下の式（１３）で、ベクトルａとｇとであらわせます。この式で係数ｋが未知数です。 

三角形の一辺のベクトルＯＢは、以下の式（１４）で、ベクトルａとｇとであらわせる。

三角形の一辺ＯＢの垂直二等分線でＤまでいたるベクトルｑは、以下の式で計算できる。

三角形の一辺ＯＢのベクトルｂとそれに垂直なベクトルｑの間には、以下の式（１６）の関係がある。この式（１６）に式（１５）と（１４）を代入して計算する。

式（１７）で求めた未知数ｋを更に変形する。

式（１８）で求めた未知数ｋを式（１３）に代入して求める位置ベクトルｄが得られた。

（解答おわり）
（▽以上が第２１の解）

【第６の解】
この式１９の形の解を以下の図を参照して変形してみます。

 ベクトルBOを以下の様に変形します。

 ここで、ベクトルａの係数を以下の様に変形します。

 この式を、「三角形の高さｈの公式」を適用して変形します。

この結果を使って、ベクトルＢＯを表す。

（▽以上が第６の解）
「三角形の高さｈの公式」を使うことで、
 ベクトルＢＯがベクトルｃとベクトルａとのきれいな式であらわせた。


【問２ｂ】
　頂点Bが原点Oにある三角形ＡBCの外心Pの位置ベクトルPを、位置ベクトルAとCと、その位置ベクトルに垂直なベクトルであらわせ。

【解答】
求める位置ベクトルPは、以下の式１と式２との２つの式であらわせます。この式で係数ｋとmが未知数です。 

この式で求めた未知数ｍを位置ベクトルPの式２に代入する。

位置ベクトルPが式5で得られた。
（ベクトルｃｖは、図で上向きのベクトルであるものとする）
（解答おわり）
（▽以上が第２２の解）

　上の解答の式５は、互いに直交するベクトルで解をあらわした、有意義な情報に富む意味のある解だと考えます。
【研究１】
　この問題の解が分かっている場合は、
ベクトル方程式を使わないでも、
以下の図を考えて、
ベクトルｂとベクトルｃの内積の式を以下の様に変形することで証明できる。

ベクトルｂとベクトルｃの内積を以下の式で計算する。
ひし形の対角線の直交の公式により、以下の式が成り立つ事を利用する。

以下の様にベクトルｂとベクトルｃの内積を、三角形の高さベクトルｈを導入して、計算する。

この計算の結果は、以下の関係をあらわす。

この式によって、 
（外心の高さｍ）が、
（ベクトルｂとベクトルｃの内積）／（２ｈ）
で求められる。
この計算の詳しい説明は、
「三角形の高さベクトルｈの公式 」を参照してください。

【第２３の解】
ベクトルBOは、以下の式でもあらわせる。

（▽以上が第２３の解）

【解を、９０°回転したベクトル系であらわす】
式９を、ベクトルａとｂを左に９０度回転したベクトル系であらわしてみます。

以下の式の様に、第１の解の結果の式にベクトルの分解の公式を使います。

式９の分母は上の式であらわせます。

（▽以上が第３０の解）

この変換の結果、簡単な形の式に変換できました。

　また、このように簡単な形の式で表せることは、解答者の意思によるベクトル系の選択に依存します。
ベクトルの計算の法則がこの簡単な形の式を導き出すわけでは無いと考えます。 

【第３１の解を始める】
　第２２の解の式(5)を、ベクトルCvとベクトルAvとであらわしてみます。

この式のベクトルCを、ベクトルの分解の公式を使って、ベクトルCvとベクトルAvとであらわします。

この式を式５に代入する。

（変形おわり）
（▽以上が第３１の解）
この形の式６の解は、以下の図のベクトルCvに平行なベクトルと、ベクトルAvに平行なベクトルを合成してベクトルBPがあらわされる事を示している。

【第３２の解：ベクトル方程式で式６の解を求める】
（解答開始）
　以下の図の様に、ベクトルＢＣをベクトルＣと定義し、
ベクトルＢＡをベクトルＡと定義する。
そして、それらのベクトルを左回りに９０°回転させたベクトルを、ベクトルＣv及びベクトルＡvと定義して使う。

未知数ｋとｍを使った、以下の式１のベクトル方程式を立てて解く。

以上の計算において、２次元ベクトルの分解の公式での【究極の方法】、すなわち、２つの直交ベクトルへの分解の公式を使った
（▽以上が第３２の解）

【第３３の解】
　外接円から三角形の頂点までの距離が等しいという条件を使って外接円の中心の位置ベクトルを求めてみます。

式７と式８をベクトルであらわすため、以下の垂直ベクトルを定義する。

（解答おわり）
（▽以上が第３３の解）

　複素数平面を使うと、問２の解（その４）として、この式１１の解を容易に求めることができる。

（まとめ）
　以上で、三角形の外心をベクトルで表す式を複数求めた。これらの複数の式は、最終的な解をどの式が表すかということは決められない、対等の価値を持つ式である。
　同じ答えを表す解が、解答者によるベクトル系の選択の違いによって、複数の解がある。そのどの解も対等な価値を持つ。解の形を定めることになるベクトル系の選択は、解答者の裁量に依存する。

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三角形の高さベクトルｈの公式