三角関数の逆関数の不定積分

【問１】以下の不定積分を求めよ。

（注意）tan^-1という記号は逆関数を表し、−１乗という意味の記号では無いことに注意すること。

この問題の解答はここをクリックした先にあります。

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かろうじて初等関数で表される積分（その２）

以下の問題の問３の方が問２より易しい（問１よりも易しいと言えるかもしれない）ので、それを先に解いてください。

【問１】ｘ＞０の区間での以下の不定積分を求めよ。

【問２】ｘ＞０の区間での以下の不定積分を求めよ。

【問３】ｘ＞０の区間での以下の不定積分を求めよ。


この問題の解答はここをクリックした先にあります。この問題を自力で解いた後で、解答のページも見てください。問題を解く上での大切な注意事項を書きましたので、、

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不定積分の不思議な解き方

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▷問１と問２
▷問１（ｂ）の解のバラエティ

【問１】
ａとｂが実数のとき、変数ｘの、ｘ＞ａ、かつ、ｘ＞ｂの区間で、以下の不定積分を求めよ。

【解答】
以下の解答は、あまりに単純なので覚えておいて使った方が良いと思う。 

（解答おわり）

　この問題の場合は、根号の中のｘの二次関数のｘの二乗の項の係数が正であるので、積分結果が対数関数になった。
次に、根号の中のｘの二次関数のｘの二乗の項の係数が負の場合を求める。

【問２】
ｂ＞ａのとき、変数ｘのａ＜ｘ＜ｂの区間で以下の関数の不定積分を求めよ。

【解答１】

（解答１おわり）

【解答２】
この問題は、複素数の対数関数を使った以下の解き方で解く事もできます。

ここで、以下のオイラーの公式を使う。

（解答２おわり）

なお、この計算では、三角関数の逆関数の不思議な公式：

を使いました。
詳しくは、以下の公式が成り立つ。

（大学数学について）
　高校数学を十分に学んで高校数学を早く卒業して、大学数学を、基礎（これが大事）からしっかり学んで欲しいと思います。
　大学数学の概念を正しく使って、問題を誤りなく融通を利かせて解けるようになって欲しいと思います。
複素数の関数の概念を（しっかり理解して誤りなく）融通性を持たせて扱えるようになって欲しいと思います。
大学数学では、解答２の様に、オイラーの公式を使って、三角関数の逆関数も、複素数を扱った対数関数で表す事ができます。
解答２の様な解き方は、大学数学で、複素数を扱う関数の基礎をしっかり學んだ上で使うべきであって、基礎をおろそかにして使って良い手法では無いと考えます。早く、正規な大学数学を学べるレベルに到達するように、しっかり学んで行って欲しいと思います。

【問１（ｂ）】
ｘ＞０の区間で以下の積分を求めよ。

【解答】

（解答おわり）

この解答の対数関数の中の式は、以下のバラエティがある。その証明は、後でまとめて行う。





以下で、これらの式の関係をつなぐ計算をする。



式（１）から、以下の式（４）も導き出せる。


【問１（ｃ）】
ｘ＜－２の区間で以下の積分を求めよ。


【解答】



（解答おわり）

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かろうじて初等関数で表される積分

【問０】ｘ＞2のとき、以下の不定積分を求めよ。

【問１】

ｘ＞０のとき、以下の不定積分を求めよ。

【問２】
ｘ＞０のとき、以下の不定積分を求めよ。

【問３】
ｘ＞０のとき、以下の不定積分を求めよ。

この問題の解答はここをクリックした先にあります。
この問題を自力で解いた後で、解答も見てください。役に立ちそうな補足を記載しましたので。

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