曲線の接線を微分で求める基本公式

やさしい微分積分
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《曲線の接線》
　区間で連続な関数ｆ(x) のグラフｙ＝ｆ(x) を考え、その関数ｆ(x) が所定の区間で微分可能な場合を考える。
　微分可能な区間の変数ｘの点 ｘ＝ａ におけるｙ＝ｆ(x) のグラフの曲線の接線の方程式を導出する。
　グラフｙ＝ｆ(x) 上の点（a, f(a)) における接線の傾きは、関数ｆ(x) を微分した結果の導関数ｆ’(x) の変数ｘの点ｘ＝ａにおける微分係数ｆ’(a) に等しい。そのため、グラフ上の点における接線の方程式に関して以下のことが言える。
　グラフｙ＝ｆ(x) 上の点（a,f(a)) における接線の方程式は、
ｙ＝(ｆ’(a))（ｘ－ａ）＋ｆ(a) ，　(1)
とあらわされる。

【問１】ｙ＝ｘ^２の曲線の変数ｘの点ｘ＝１でのグラフの接線を求めよ。

【解答】
ｆ(x) ＝ｘ^２
微分の公式により
ｆ’(x) ＝２・ｘ

ｆ(1) ＝１^２＝１
ｆ’(1) ＝２・１＝２

接線の方程式は、
ｙ＝２（ｘ－１）＋１
　＝２ｘー１，

（解答おわり）

（接線の定義）
　連続なグラフ上に２点Ａ，Ｂを取って、その２点をその間のグラフの点Ｃに無限に近づけた時に、その２点Ａ，Ｂを通る直線が１つの直線に収束する場合に、その直線を、そのグラフの、点Ｃにおける接線と呼び、点Cを接点と呼びます。



（注意）
　グラフの不連続点や、グラフが滑らかでは無く折れ曲がっている点においては、その点における接線は考え無いことにする。その不連続点や折れ曲がり点で接する直線があるかもしれないが、その点Cの両側の点AとＢの一方の点が無かったり、直線の傾きが１つに収束し無かったりするので、その点における「接線」については考え無いことにする。

リンク： 
やさしい微分積分
接線と接点の定義
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