円と放物線の接点

やさしい微分積分
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　なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。

【問１】ｈの値を変えたとき、
放物線　ｙ＝ｘ^２／４＋ｈ　（式１）
と、円　ｘ^２＋（ｙ－１）^２＝１　（式２）
とが接する場合に、その接点（ｘ，ｙ）の値を求めよ。


（解答の方針）
　なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できるので、微分により接線の式を計算する方程式を書く。

（解答）
（１）
接点（ｘ，ｙ）において、 
式１から、
放物線　ｙ＝（ｘ^２／４）＋ｈ　　（式１’）
式２から、
円　ｘ^２＋（ｙ－１）^２＝１　（式２’） 

（２）
式１の放物線の接点（ｘ，ｙ）における接線の傾きｙ’は、式１の関数をｘで微分して計算し、
ｙ’＝２ｘ／４＝ｘ／２　（式３）
（３）
式２の円の接点（ｘ，ｙ）における接線の傾きは、
円のグラフの法線の傾き（ｙ－１）／ｘの逆数に（－１）を掛け算したものであって、
ｙ’＝－ｘ／（ｙ－１）　（式４）
ただし、法線の傾きが無限大の場合には接線の傾きは０であり、その場合でも、式（４）によって接線の傾きが計算できる。

（４）
式３と式４の接線の傾きｙ’の値が等しいので、

この式５を解くと、
ｘ＝０　（式６）
ｏｒ
ｙ－１＝－２　（式７）
 
式２から　－１≦ｙ－１≦１
であるので、式７は不適。
よって、式６のみが解である。
 
（５）
式６を式２に代入する。
（ｙ－１）^２＝１
（ｙ－１）＝±１
ｙ＝２
ｏｒ
ｙ＝０
 
接点は、
（ｘ，ｙ）＝（０，０）　（式８）
ｏｒ
（ｘ，ｙ）＝（０，２）　（式９）
 
式８の場合に、式８を式１に代入する。
ｈ＝０
式９の場合に、式９を式１に代入する。
ｈ＝２
よって
接点＝（０，０）でｈ＝０
ｏｒ
接点＝（０，２）でｈ＝２
（解答おわり）

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