2024年11月6日水曜日

合成関数の微分の公式を証明する

やさしい微分積分
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【問1】

 区間で連続な関数g(x) が変数の点xで微分可能であり、区間で連続な関数f(g) が変数の点g=g(x)で微分可能であるとき、独立変数の点xと従属変数の点g=g(x) で、以下の式であらわす合成関数の微分の公式が成り立つことを証明せよ。


【解答】
(証明開始)

 合成関数f(g(x))をh(x)とあらわす。
独立変数の点xで、区間で連続な関数g(x) のxによる微分が存在する(確定した有限値になる)ものとする。
また、従属変数の点g=g(x) で、区間で連続な関数f(g) のgによる微分が存在する(確定した有限値になる)ものとする。
その場合に、以下の式が成り立つ。

(証明おわり)

【問2】
以下の関数を微分せよ。


【解答】

(解答おわり)

【問3】
 以下の関数を微分せよ。


【解1】

(解1おわり)

【解2】
 関数の商の微分の公式を使う。

(解2おわり)

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合成関数の微分の公式の分かり易い証明
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