接線と接点の定義

（接線の定義）
　連続なグラフ上に２点Ａ，Ｂを取って、その２点をその間の１点のＣに無限に近づけた時に、その２点Ａ，Ｂを通る直線が１つの直線に収束する場合に、その直線を、そのグラフの、点Ｃにおける接線と呼び、点Cを接点と呼びます。

例えば、上図のようなＹ軸に平行な直線
ｘ＝ｋ
と円とが接する条件は、
直線と円との２つの交点が１つの点になる極限で、直線が円に接する。
その条件は、
ｋ＝－１、または、ｋ＝１
である。
その場合にｙの値が重解０になる。

また、下図のような直線
ｙ＝ｘ＋ｋ
と円が接する条件を求める。

直線と円との２つの交点が１つの点になる極限で、直線が円に接する。
その条件は、
ｋの二乗＝２
である。
その場合にｘの値が重解（＝－ｋ／２）になる。

交点（ｘ，ｙ）の解が重解になる場合に、 直線と円が接する。
それは、上図の様にｘの解が重解になる場合や、ｙの解が重解になる場合がある。

（注意１）
　グラフの不連続点や、グラフが滑らかでは無く折れ曲がっている点においては、その点における接線は考え無いことにする。その不連続点や折れ曲がり点に接する直線があるかもしれないが、その点における「接線」については考え無いことにする。
（接線の定義の言い換え）
（１）　ＸＹ平面上のＹ＝ｆ（ｘ）であらわすグラフの、Ｘ＝Ｘ0となる１点Ｃにおいて、
微分係数ｆ’（Ｘ0）が存在するとき、その点Ｃを通り、傾きｆ’（Ｘ0）を持つ直線が点Ｃにおける接線である。
（２）　その微分係数ｆ’（Ｘ0）が存在しない（無限大になる）場合には：

そのグラフを、ＹＸ平面上のＸ＝ｇ（Ｙ）というグラフとみなして考える。そう考えた場合に、
そのグラフ上の１点Ｃ（Ｘ0，Ｙ0）において、微分係数ｄｘ／ｄＹ＝ｇ’（Ｙ0）が存在するとき（この場合は、ｇ’（Ｙ0）＝０になると思うが）、その点Ｃを通り、ＹＸ平面での傾きｄＸ／ｄＹ＝ｇ’（Ｙ0）を持つ直線が点Ｃにおける接線である。
（３）　微分係数ｆ’（Ｘ0）が存在せず、微分係数ｇ’（Ｙ0）も存在しない場合、その点Ｃにおける「接線」については考え無いことにする。その点Ｃでグラフに接する直線はあるかもしれないが、その点における「接線」は考え無いことにする。

（補足１）
「関数が x0 で微分可能（有限の値の確定した値の微分係数が存在する）」
という意味は、
「関数が、その変数 x のその値 x0 に限って、その変数 x で微分可能であれば良く、その変数 x のその他の値での関数の微分可能性は関係しない」
という意味です。
 
 （補足２）
ｄｆ／ｄｘ＝∞
の場合は、傾きが有限で無いので、
変数ｘで微分可能ではありません。 
ｄｆ／ｄｘ＝無限大
という関係が存在しても、
「微分係数（ｄｆ／ｄｘ）が存在しない」
とも言われ、微分不可能です。
それは、
ｘ＝０において、
関数ｆ（ｘ）＝１／ｘ
の値が無限大という関係が存在しても、
「ｘ＝０において関数値１／ｘが存在しない」
と言うのと同じ意味です。
　下図のグラフの関数は、ｘ＝０となるＯ点では傾きが無限大なのでｘ＝０では変数ｘによる微分係数が存在せず、変数ｘで微分不可能です。

なお、このグラフは、Ｏ点でＸ＝０という直線と接します。
それは、このグラフの座標（変数）を変換して、Ｙ座標値を変数であるとみなし、グラフのＸ座標値を、関数値とみなせば、グラフの微分係数（ｄＸ／ｄＹ）＝０は存在するので、変数Ｙによるその微分係数で接線Ｘ＝０が定められるからです。
すなわち、このグラフのＹを与えるｘの関数はｘ＝０でYがｘで微分不可能ですが、この関数の逆関数の、ｘを与えるＹの関数は、変数としてのYの全ての定義域でｘがＹで微分可能です。

　このように、座標系を回転させる座標変換（変数変換の一種とも言える）によって角度を変えて見ると、ある変数Ｘでは微分不能であった点が、他の変数Ｙでは微分可能に変わることがあります。

（注意２）
このグラフの関数は、ｘ＝０で微分不可能ですが、以下の性質は持っています。

すなわち、
Δｘ→０の場合にΔｙ→０となる性質は持っています。
そして、このグラフは、
x1<x2の場合にf(x1)<f(x2)となる、単調増加の性質は持っています。
（注意２おわり） 

　「微分可能」を定めた意味は、ある制限条件を定めて、その「制限条件」を外れた関数については”考えないこと”にするのが、「微分可能」という制限条件を定めたた本当の理由だと思います。
 以下のグラフの関数については：

このグラフには、Ｘ＝０の点に接する「接線」が存在しませんが、
その「存在しない」の本当の意味は、
Ｘ＝０においては微分係数が存在しないので、Ｘ＝０では「接線のことを考えないことにした」のです。
その影響を受けて、このグラフにおける、Ｘ＝０で接する線については「接線では無い」と言われるようになったのだと思います。
　「接線が無い」のでは無く、「微分不可能な点では接線を考えないことにした」だけなのですが、、、
　実際、以下のグラフでは、X=0での微分係数が∞になり微分不可能な曲線の点にY軸に平行な接線が接する。

その場合に、その変数Xで微分不可能な点において、「接線が無い」のではなく「接線を考え無いことにした」ことが明らかです。

（注意３）
　関数の変数を変換すると、接する２つグラフが接さない２つのグラフに変換される例を考える。
　下の２つの関数のグラフはＯ点で接しています。

しかし、この２つの関数の変数ｘを、以下のグラフで表される関数X（ｔ）を使って変数ｔに変換してみます。

この関数Ｘ（ｔ）のグラフは、
ｔ＝０の点での傾き（関数のｔによる微分係数）が無限大になってしまい、ｔ＝０では微分可能で無いという特徴があるグラフです。

この関数で元の２つの関数の変数ｘを変数ｔに変換してあらわすと以下の２つのグラフになります。

元の２つのグラフの変数ｘを変数ｔに変換した２つのグラフはＯ点で接さず交差しています。

　変数を変換すると、このように、互いに接する２つのグラフが、交差はするが接さない２つのグラフに変わってしまうことがあることに気をつけましょう。

　なぜ、その様なことが起こるのでしょうか？
　それを自力で考えていく事が数学を勉強する良い態度だと思います。
　原因が分からなければ、数学の信用できる参考書で勉強しましょう。しかし、結局は、その答えは自力で考えることになりますが、、、


　その様なおかしな事が起こる場合は、変数ｔのその値で微分可能では無い関数を使って変数を変換すると生じ得ます。おかしな事が起こらないようにする１つの十分条件として、変数変換に使う関数を、変数のその値で「微分可能」な関数を使えば、変数がその値の部分でのグラフにはおかしな事が起こりません。
　「微分可能」は、このようにおかしな事が起こらないようにする十分条件なのです。これが、「微分可能」と「微分不可能」を区別する意味だと考えます。

　この「微分可能」によって、自然な直感で想像できる事がどのようにして生じ得るかの答えは、「合成関数の微分の公式」によって明らかにされますので、それまで地道に勉強を進めて欲しいと思います。

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