微分の基本公式を導き出す

やさしい微分積分
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【問１】区間で微分可能な関数ｆ(x) とｇ(x) に関する以下の公式を導け。
《関数の積の微分の公式》
（ｆ・ｇ）’＝ｆ’・ｇ＋ｆ・ｇ’

【解答】
（証明開始）

（証明おわり）

《関数の積の微分の公式の適用例》
（ｆ・ｇ）’＝ｆ’・ｇ＋ｆ・ｇ’
この関数の積の微分の公式を使って、以下の公式を導き出す。

ｘ’＝ｄx/dx＝１となることを利用して以下の計算をする。

同様にして

以上で、微分の公式がいくつか求まった。
（解答おわり）

【問２】
　以下の式ｐ(x) を微分せよ。


【解１】

（解１おわり）

【解２】
　この問題は、単に微分する問題と考えると、以下のように解く方が楽です。
　先ず、ｐ(x) を変形する。

そして、微分する。

（解２おわり）

《補足》
　問２の解き方では、微分の基本公式（関数の積の微分）を使う解１よりも解２の解き方の方が楽に解けた。解１の解き方が有効に生きる関数の商の微分の問題は、問３の、分数式の分母がもっと複雑な関数の商の場合である。

《関数の商の微分の公式》
　関数の積の微分の公式の同類の、関数の商の微分の公式を導出する。


（関数の商の微分の公式）

　以上の計算で得られた関数の商の微分の公式を使って、以下の問３の、分数式の分母が問２よりも複雑な関数の商の微分を求める。
【問３】
　以下の式ｐ(x) を微分せよ。


【解答】

（解答おわり）

【問４】
以下の関数を微分せよ。


【解答】

（解答おわり）

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