2011年8月13日土曜日

微分の基本公式

「微分・積分」の勉強

関数f(x)であらわされるグラフの傾きは、以下のようにあらわされます。
この傾きは以下に説明する微分によって求めます。

---(定義2.1 「微分積分学入門」(横田 壽)67ページ---
関数f(x) がx0 を含むある区間で定義されているとき,極限値
が存在するならば,
関数f(x) は, x = x0 微分可能(differentiable) であるといいます.
また,この極限値A を点x0 における微分係数といい,

で表わします.
-----(定義おわり)--------------------------- 

関数f(x) が,ある区間 I の各点で微分可能のとき
f(x) は区間 I で微分可能(differentiable on I) であるといいます.
この場合,区間 I の各点にそこでの微分係数を対応させることにより定まる関数を
f(x) の導関数(derivative) といい,

であらわします。
微分を(df/dx)で表すことをライプニッツの記法と呼んでいます。

また、fの微分を、f’とも書くことができます。その記法はラグランジュの記法と呼ばれています。

  この微分の定義に従って、関数の微分を考えると、
以下の公式が導かれます。

(基本公式)
(f・g)’=f’・g+f・g’
(証明開始)
(証明おわり)

 この「関数の積の微分の公式」は、ライプニッツ則と呼ばれる微分法の重要な公式です。
ライプニッツが、1684年に「極大と極小にかんする新しい方法」を出版して、その中で微分法を発表し、
ついで1686年に「深遠な幾何学」を出版して積分法を発表しましたが、
その研究の中心核を成す重要な公式です。 


何と!この基本公式の証明は高校2年では教わらないことになっているそうです。
(この教育方針は1989年ころから続いているようです)
 この基本公式は、微分の定義を学んだなら、その定義の意味を知るためにも、直ぐ学ぶべき公式と考えます。
 この公式を教えないと言うのは、微分を教えないということに等しいと考えます。

 微分の本質が教えられていないと、その微分の応用を教えることができません。逆に、微分の応用が教えられない場合は、「微分の本質が教えられていないからである」と、微分の本質が教育できたか否かをチェックできます。
 この基本公式を教えられないというチェック結果から、微分の本質が教えられていないことが確認できます。

 そういうふうに教育されると、微分は全く理解できないことになると考えます。実際、その通りに、微分は高校生に全く理解されない結果が出ているようです。 

 このブログを読んでいる、数学を学ぶ後輩に、先輩から一言助言します。
 高校の微分積分の参考書は良くわからない。それに比べて、大学生向けの微分積分の参考書は分かりやすい。大学生向けの参考書は数学の本流にそって、ていねいに、公式は必ず証明した上で学生に使わせるようにしている。新しい知識は、必ず定義したり説明してから紹介している。
 ハッキリ言って、大学生向けの微分積分の参考書は、高校の微分積分の知識を全く知らない学生に理解できるように書かれている。
 しかも、大学生向けの微分積分の参考書の方が、やさしく分かり易い。
 高校の微分積分を勉強するなら、先ず、大学生向けの微分積分の参考書を読むことを推薦します。高校の微分・積分の教科書は分かりにくいだけで無く、間違いも含まれています。読まない方が良いのではないかと考えます。
 とりあえず、大学生向けの参考書で無料でダウンロードできる、
「微分積分学入門」(横田 壽)
を読んでみることをお勧めします。 
(しかし、同じ著者の書いた高校生向けの参考書「確実に身につく微分積分(2012年)」の1版は、内容が劣化しているのでお勧めできません。大学生向けの本物の知識の参考書「微分積分学入門(2004年)」を読んでください。)

「微分積分学入門」(横田 壽)の読み方は、 66ページから始まる2章「微分法」の以前のページは斜め読みして、何が書いてあるらしいかを漠然と把握しておいて、2章「微分法」以降を精読することをお勧めします。読んでいるうちに知らない関数や概念が出てきたら、66ページ以前に書いてありますので、探して、その部分を読んで理解するように勉強してください。

(f・g)’=f’・g+f・g’
   この基本公式から、以下のことが言えます。

x’=1ですが、
(x)’=(x・x)’=x’・x+x・x’=2x
(x)’=(x・x・x)’=x’・(x・x)+x・x’・x+(x・x)・x’=3x
同様にして
(x)’=4x
(x)’=5x

リンク: 
高校数学の目次

0 件のコメント:

コメントを投稿