（１）１の三乗根を複素数平面で求める

佐藤の数学教科書「式と証明・複素数」編の勉強
第５講　高次方程式

【問】次の式を因数分解してｘ^３＝１の解を求めよ。
ｘ^３－１＝０

この式は以下のように変形して解きます。
ｘ^３－１
＝（ｘ－１）（ｘ^２＋ｘ＋１）
＝（ｘ－１）｛（ｘ＋（１／２））^２－（１／２）^２＋１｝
《公式Ｐ^２－Ｑ^２＝（Ｐ－Ｑ）（Ｐ＋Ｑ）を使う。その準備》

よって、ｘ^３＝１の解は

上のようにして因数分解することで、ｘ^３＝１の複素数の解が得られました。この３つの解を複素数平面上で表示すると、以下の図のようになります。

上の図で、ｘ＝１，Ａ=ω，Ｂ＝ω² が、ｘ^３＝１の３つの解です。
Ａは、複素数平面上で、０と１を結ぶ実軸上の線分から０を中心にして左回りに１２０度（２π／３ラジアン）回転した直線上にあり、Ｂは右回りに１２０度(左回りに２４０度）回転した直線上にあります。

Ａと０を結ぶ直線が０と１を結ぶ実軸上の線分と成す角１２０度を３倍すれば３６０度になり、実軸に戻ります。Ｂと０を結ぶ直線が０と１を結ぶ実軸上の線分と成す角の、右回りに１２０度(左回りに２４０度）を３倍すれば右回りに３６０度(左回りに７２０度）になり、実軸に戻ります。

複素数を３乗するということは同じ複素数を３回掛け算することであり、複素数の掛け算では偏角が足し算されるので、複素数を３乗すれば、その複素数の偏角が３回足し算されて３倍になりました。
すなわち、
ｘ^３＝１の複素数の解は、１の偏角を３６０度及び－３６０度と考えて、その偏角を３分の１の１２０度（点Ａ）や－１２０度（点Ｂ）にし、その偏角を持つ絶対値１の複素数の値を図から求めれば、それがｘ^３＝１の複素数の解になります。

　こうして答えを求める方法は、昔は、「禁じられた複素数平面の教え」だったので、そうやってその答えを出したと解答に書く事が出来ませんでした。最初に書いた、教わった範囲の解き方で解答するのが昔の高校生のやり方でした。

 　この教えは、２０１１年度からは禁止が解けました。
２０１１年度から、高校３年の数Ⅲで複素数平面を教えるようになりました。
そのため、高校３年からは、複素数平面の考えで問題を解いたと解答に書いても、合格点をもらえるようになりました。

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