勉強しよう数学: 三角形の面積をベクトルで表す公式

　ベクトルは、高校数学のかなめ石となっていますので、早めに学ぶ事をお勧めします。
　ベクトルにより、とても覚えにくかった三角形の余弦定理が覚え易くなります。
　また、ベクトルにより三角形の面積が計算し易くなります。そのため、三角形の面積を計算するために、ベクトルを学びましょう。

（ベクトルの定義）
　数ベクトルとは，ざっくりいうと数を並べたものです。数を並べたものを「ベクトル」という一つのかたまりとして扱うことで，いろいろ便利なことがあるわけです。
　２次元のＸＹ座標平面での点Ａから点Ｂまでの(x,y)座標値の増分(Δx,Δy)がベクトルであり、３次元のＸＹＺ座標空間での点Ａから点Ｂまでの座標値の増分がベクトルです。それら、座標値の増分を表すベクトルは、点Ａから点Ｂまでの矢印であらわし、矢印の大きさがあり、（大きさが０で無い場合に限り）方向がある、という特徴を持っています。

やさしい高校数学《数Ⅱ・Ｂ》
の９章「ベクトル」
が、やさしくベクトルを学べるので良いと思います。

「やさしい高校数学」でベクトルを学ぶことを助言するサイト：
「【期末対策】「ベクトル」を１週間でマスターしよう！玉名高校2年生必見！」
https://www.takeda.tv/tamana/blog/post-207400/
「まず使うのはこちらの参考書です。
《やさしい高校数学〈数Ⅱ・Ｂ〉 - はじめての人も学び直しの人もイチからわかる》

　ベクトルという分野は、全くゼロの状態から教科書を読み進めて問題を解いても、多分ちんぷんかんぷんだと思います。

　でも安心してください。それが普通です。そういう分野です。

　そんな方はまずこの参考書から始めましょう。こちらは解説・説明が非常に丁寧で、ベクトルの概念が分かりやすく解説されています。

　イメージとしては、分かりやすい先生の授業がそのまま参考書になったようなもので、ところどころ数学が苦手な生徒からの質問やツッコミが入ります。

まずはこれを読み進めましょう。

　ベクトルはこの参考書の9章で全部で32個のテーマ（約130ページ）に分かれています。

　なので、1日8テーマずつ読み進めてみてください。そうすれば4日ですべて読み終わる計算になります。」

　以上のように助言されていますが、
三角形の面積の公式に使っている「ベクトルの内積の計算」までを理解するためには、
そのうちの３５ページを読むだけで足りる。
７３７ページから７７２ページまで読めば良い。その中で三角形の面積の公式も説明されている（１日で読めると思います）。

（ベクトルの合成と分解）
　ベクトルの合成と分解のコツは、「ベクトルを分解する道を視線でたどって式を書く」（この行をクリックした先のページ）に書きました。

「ベクトルAE＝点Aから点Eまで行く道」です。点Aをベクトルの始点と言い、点Eをベクトルの終点と言います。

ベクトルＡＥを、以下の式のように、実数の未知数ｔを使ってベクトルａとベクトルｃであらわす。

ベクトルAEの紐の真ん中を点Oまで引っ張って紐AOEにして、真ん中の点Oで紐を切って紐AOと紐OEに分ける。
そして、紐AOの方向を逆にしたベクトルOAにして、マイナスを付けて①にする。
①は、視線がベクトルａを逆向きにたどったのでマイナスを付けると考えても良い。
②は、順向きなので”＋”のまま。

　ベクトルＡＥのＡからの道ＡＯの向きがベクトルａと逆方向に進むことを確認してベクトルａにはマイナスを付けてベクトルＡＥの展開式を書くようにします。
　こうすることで、思い込みによりベクトルａの符号をプラスにして式を書いてしまうミスを防げます。

（ベクトルの内積の定義）
　「ベクトルＰと単位ベクトルＡの内積はベクトルＰの単位ベクトルへの正射影」（この行をクリックした先のページ）に書きました。

単位ベクトルＡ＝ベクトルＯＡ＝（ａ_１，ａ_２）の長さの２乗は、

（ａ_１・ａ_１）＋（ａ_２・ａ_２）＝１　（式１）
であらわすことができる。
その値は、単位ベクトルＡがどの方向を向いていても１になる。

この式１を拡張して、
ベクトルＰ＝ベクトルＯＰ＝（ｐ_１，ｐ_２）
があり、
単位ベクトルＡ＝ベクトルＯＡ＝（ａ_１，ａ_２）
がある場合に、
ベクトルＰと単位ベクトルＡの内積演算を、以下の式２で定義する。