佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強
以下の内容は、高校の検定教科書では教えないことになっています。多分、これを教えると、その説明が分からない人が続出して、先生までも分からなくなる恐れもあり、学校にとってとても危険な教えだから、教える事が禁じられているのかもしれません。
そのため、以下の内容は禁止された教えであるので、この教えを知っている事を隠して生活するのが望ましいのではないかと考えます。
また、以下の内容が理解できなくても、それは、”正常”な人のあかしですので、理解できなかったからといって、決して、理解できなかった事を恥じたりしないで欲しい。また、理解できないからと言って、決して、理解できた人を迫害したりしないで欲しいと思います。
（なお、３Ｄゲームのソフトウェアを作るには、以下で説明する外積が必須知識だそうです。そのために外積を使うには、公式だけ覚えれば十分みたいですが。）
【課題】下図のように頂点の１つが原点Ｏにあり、他の２頂点が、Ａ（ａ１，ａ２）とＢ（ｂ１，ｂ２）である三角形ＢＯＡの面積を計算する。
三角形の辺を成すベクトルを分解して、その分解したベクトルで作った複数の三角形の面積を足し算することで、三角形の面積を計算する。
上図のように、２つのベクトルの成す平行四辺形ＤＢＯＡの面積をベクトルの掛け算（×）であらわす。
このベクトルの掛け算のことをベクトルの外積と呼ぶ。
（注意）
ベクトルの外積の定義を厳密に言うと、
「２つのベクトルどちらにも垂直な方向（この図の場合は紙面に垂直な方向）のベクトルを計算すること。そのベクトルの長さは、平行四辺形ＤＢＯＡの面積にする。」
です。
平面（紙面）上のベクトルの外積を計算した結果は、いつでも紙面に垂直なベクトルで、その方向が変わることがありません。
そのため、以下の説明（計算）では、そのベクトルの長さをベクトルの外積であるものとして、ベクトルの外積を利用して計算する。
三角形ＢＯＡの面積Ｓはこの平行四辺形ＤＢＯＡの面積の２分の１です。
三角形ＢＯＡはベクトルＯＢとベクトルＯＡで作られる三角形です。
①三角形ＯＶＢの頂点Ｖを対向辺ＯＢに平行に点Ｍまで移動し、三角形の面積を同じ値に保つ。
②三角形ＡＭＥの頂点Ｅを対向辺ＭＡに平行に点Ｆまで移動し、三角形の面積を同じ値に保つ。
この操作を、以下のように、三角形ＯＡＢを張るベクトルを２つのベクトルに分解して２つの三角形に分けて全体の面積を計算する操作を行っているものとみなす。
すなわち、この三角形を作る２つのベクトルのうちの１つのベクトルＯＡを、下図のように、２つのベクトルに分解する。
すなわち、ベクトルＯＡを、ベクトルＯＭ（単位ベクトルｘのａ１倍）とベクトルＭＡ（単位ベクトルｙのａ２倍）に分解する。
上図のように、分解されたそれぞれのベクトルを使って２つの三角形を作る。
１つ目の三角形は、ベクトルＯＭ（単位ベクトルｘのａ１倍）とベクトルＯＢで作られる三角形ＢＯＭです。
２つ目の三角形は、ベクトルＭＡ（単位ベクトルｙのａ２倍）とベクトルＭＥ（＝ベクトルＯＢ）で作られる三角形ＥＭＡです。
上図を見ると、その２つの三角形の面積の和が三角形ＢＯＡの面積になっていることがわかる。
ただし、ベクトルＯＭとベクトルＯＢで作られる三角形ＢＯＭは正の面積だが、
ベクトルＭＡとベクトルＭＥ（＝ベクトルＯＢ）で作られる三角形ＥＭＡは負の面積を持つものとする。
この２つのベクトルで作られる三角形の面積が正であるか負であるかの区別は、三角形を作る２番目のベクトルが１番目のベクトルよりも左回りに回転した方向を向いていれば面積が正であり、右回りに回転した方向を向いていれば面積が負であるとして、区別する。
下図のように、それぞれの三角形を面積が同じ直角三角形に変形する。
三角形ＢＯＭは直角三角形ＮＯＭに変形し、
三角形ＡＭＥは直角三角形ＡＭＦ変形する。
こうして、それぞれの三角形の面積を計算する。
以上のように、元の三角形を構成するベクトルを分解することで三角形を２つに分解して、その２つの三角形の面積の和で元の三角形の面積を計算することができることが確認できた。
なお、上図では、ベクトルＯＡをベクトルＯＭとベクトルＭＡに分解したが、ベクトルＯＡをその他のどんなベクトルの和に分解した場合でも、それらのベクトルが作る２つの三角形の面積の和は必ず三角形ＢＯＡの面積になる。
以上の計算は、以下の式のように単純なルールに基づいて計算できる。
（１）ベクトルｘと、（同じ）ベクトルｘが作る平行四辺形は１本の線分につぶれているので、その面積は０です。
（平行な２つのベクトルが作る平行四辺形の面積は０です。）
（２）ベクトルの順番を入れ替えて外積を計算すると、そのべクトル同士の回転方向が逆回りになるので、面積の正と負が逆になる。
上のベクトルの外積の計算は、三角形ＢＯＡがどんな形の場合であっても計算結果が変わらず、
三角形の面積Ｓ＝（ａ１ｂ２－ａ２ｂ１）／２ （式１）
となる。
すなわち、どんな三角形の場合でも成り立つ式（ただし、面積が負になる場合もありますが）です。
そのため、どんな三角形の場合でも上の式が成り立つことが証明できた。
上の式１でクロス積の形をした部分は、行列式とも呼ばれている。
（ベクトルの内積で面積をあらわす）
この三角形の面積Ｓは、ベクトルＡを９０度回転させたベクトルＡｖを使って、以下の様にあらわすことができる。
（式１’が三角形の面積Ｓの公式）
こうして得た式１’は、先に得た式１と同じ式になった。
【追加：以上の式から三角関数の加法定理を導き出せる】
以上の証明は数学的な厳密性があるので、この結果を利用して、以下のようにして、三角関数のｓｉｎの加法定理を導き出すことができる。
この三角形を下図のように、偏角αとβ（頂点の角度θ＝β－α）と辺の長さｓとｔであらわす。
ａ１＝ｓ・ｃｏｓα
ａ２＝ｓ・ｓｉｎα
ｂ１＝ｔ・ｃｏｓβ
ｂ２＝ｔ・ｓｉｎβ
先に得られた式１は、以下の式に書き直せる。
△ＢＯＡの面積Ｓ
＝ｓ・ｔ（ｃｏｓα・ｓｉｎβ－ｃｏｓβ・ｓｉｎα）／２ （式２）
一方、２辺と侠角θ＝β－αで三角形の面積が計算でき、その面積は、以下の式であらわせる。
△ＢＯＡ
＝ｓ・ｔ・ｓｉｎθ／２＝ｓ・ｔ・ｓｉｎ（β－α）／２ （式３）
式２と式３から、以下の関係が成り立つ。
ｓｉｎ（β－α）＝ｃｏｓα・ｓｉｎβ－ｃｏｓβ・ｓｉｎα （式４）
この式は、後に学ぶ、三角関数の加法定理です。
この、三角関数の加法定理を覚え易い形の式に直すと、以下の式になる。
ｓｉｎ（β＋γ）＝ｃｏｓγ・ｓｉｎβ＋ｃｏｓβ・ｓｉｎγ
（平行四辺形の面積の計算）
以下で、大学レベル以上での、２つのベクトルの張る平行四辺形の面積をベクトルで分解して計算する方法を書きます。以下の内容は大学生でも理解が難しい事も含まれていると思いますので、理解出来なくても気にしないで下さい。また、どの説明が理解し難い（あるいは間違っている）ことを教えて頂けると有り難いと考えています。
平行四辺形を張るベクトルを要素に分解して要素のベクトルの張る平行四辺形の面積計算し、その要素の平行四辺形の面積を合計して元のベクトルの張る平行四辺形の面積を計算します。
以下のように、座標系が回転しても結果が変わらないように面積の計算規則を定める点がポイントです。
Ｘ座標軸を反時計まわりに９０°回転させてＹ座標軸に重ねると、Ｙ座標軸は反時計まわりに９０°回転してＸ座標軸の負の方向を向いて重なる。そのため、ＸベクトルとＹベクトルの張る（ベクトルの順と成す角の向きを考えた）平行四辺形の面積を正にした場合、このように座標を回転させても面積が変わらないようにするには、必然的に、ベクトルの順と成す角の向きを考えた、Ｙベクトルと、Ｘ方向の負の方向を向いたベクトルの張る平行四辺形の面積を正にする必要がある。それは、ＹベクトルとＸ方向の正の方向を向いたベクトルの張る平行四辺形の面積を負にしなければならない事を意味する。
下図の様に、ベクトルＡとＢが平行な場合にベクトルＡとＢが張るつぶれた平行四辺形の面積は０である。
その平行四辺形の面積を、ベクトルＡとＢをそれぞれ、Ｘ方向のベクトルとＹ方向のベクトルの和で表し、その和のベクトルＡとＢの積を、Ｘ方向のベクトルとＹ方向のベクトルの積の和に展開して、以上で定めた計算規則に従って計算すると、その計算結果も０になる。
また、同じ方向を向くベクトルＡとＢが張るつぶれた平行四辺形は、その平行四辺形を回転させてどの方向を向かせても、同じ０の値の面積が計算できる。
平行四辺形を張るベクトルＡ及びＢをＸ方向のベクトルとＹ方向のベクトルに分解すると、ベクトルＡの分解されたベクトルとベクトルＢの分解されたベクトルの積の組み合わせが作る平行四辺形が４個できる。その４個のうち２つの平行四辺形は、同じ方向のベクトルの張るつぶれた平行四辺形であり、その面積が０なので無視できる。
そして、その４個の平行四辺形の面積の和で、ベクトルＡとＢの張る平行四辺形の面積を計算したい。
上の例では、少なくとも面積が０のつぶれた平行四辺形の面積の計算では、その０の面積が、ベクトルＡの分解されたベクトルとベクトルＢの分解されたベクトルの積の組み合わせが作る４個の平行四辺形の和と同じになる演算ができる様になった。
次に、下図のように、ベクトルＡとベクトルＢの張る平行四辺形の面積を、同じ面積を維持するように高さを保たせて変形した平行四辺形にして面積を求める手法を、ベクトルＡを分解したベクトルとベクトルＢとの積の和を計算する手法に対応させて面積を計算する。
上図の、平行四辺形の変形と分解操作に対応するベクトルの積の式の分解操作の計算が以下の式であらわせる。
式０の様に、ベクトルＡとベクトルＢの（順番を考えた）積はそのベクトルＡを分解した各ベクトルとベクトルＢの張る各平行四辺形の面積の和に対応付けられる。
すなわち：
（ベクトルＡのベクトルＢに対する垂直成分の長さ）×（ベクトルＢの長さ）
が平行四辺形の面積を表す。
一方、ベクトルＡを分解して、
ベクトルＡ＝ベクトルＡ１＋ベクトルＡ２
とすると：
ベクトルＡ１のベクトルＢに対する垂直成分の長さと、
ベクトルＡ２のベクトルＢに対する垂直成分の長さの和は、
ベクトルＡのベクトルＢに対する垂直成分の長さに等しい。
そのため、
ベクトルＡとベクトルＢが張る平行四辺形の面積
＝（ベクトルＡ１とベクトルＢが張る平行四辺形の面積）
＋（ベクトルＡ２とベクトルＢが張る平行四辺形の面積）
の関係が成り立つ。
その関係は、
ベクトルＡ×ベクトルＢ
＝（ベクトルＡ１×ベクトル Ｂ）
＋（ベクトルＡ２×ベクトルＢ）
に分解した式で表すことができる。
すなわち、ベクトルが張る平行四辺形の面積についての分配法則に対応して、ベクトルの加法と（ベクトルの順番を考えた）乗法についての分配法則が共に成り立っている。
また、上図の様に、ベクトルＡとベクトルＢの張る平行四辺形を、
その平行四辺形を構成する２番目のベクトルＢを、ベクトルＡのｋ倍のベクトルを加えて、ベクトルＡに対する高さを保たせて歪めたベクトルＢ２に変える。
そうして、ベクトルＡとベクトルＢ２の張る平行四辺形を考える。
その場合、以下の式が成り立つ。
ベクトルの加法と乗法についての分配法則により、
ベクトルＡ×ベクトルＢ２
＝（ベクトルＡ×ベクトルＢ）
＋（ベクトルＡ×ｋ（ベクトルＡ））
と表すことができる。
ここで、
（ベクトルＡ×ｋ（ベクトルＡ））
は面積が０のつぶれた平行四辺形をあらわしているので、その面積は０である。
それゆえ、
ベクトルＡ×ベクトルＢ２＝ベクトルＡ×ベクトルＢ
が成り立つ。
この式は、底辺の長さが同じで高さが等しい平行四辺形の面積が等しい事実と一致している。
この様に、平行四辺形の面積を表すベクトルの加法と乗法の分配法則が、変形した平行四辺形の面積の法則と一致して、成り立っている。
以上の演算規則で定めた、Ｘ座標方向の単位ベクトルとＹ座標方向の単位ベクトルが作る平行四辺形の面積の符号に合わせて、エディントンの計算記号εｍｐを定める。
それにより、ベクトルＡの分解されたベクトルとベクトルＢの分解されたベクトルの積の組み合わせが作る４個の平行四辺形の面積の和は、
∑(ｍ=1,2; ｐ=1,2) ｛εｍｐａｍｂｐ｝＝ａ１ｂ２－ａ２ｂ１
で表せる。
この面積の和が、ベクトルＡとベクトルＢの張る平行四辺形の面積である。
リンク：
以下の内容は、高校の検定教科書では教えないことになっています。多分、これを教えると、その説明が分からない人が続出して、先生までも分からなくなる恐れもあり、学校にとってとても危険な教えだから、教える事が禁じられているのかもしれません。
そのため、以下の内容は禁止された教えであるので、この教えを知っている事を隠して生活するのが望ましいのではないかと考えます。
また、以下の内容が理解できなくても、それは、”正常”な人のあかしですので、理解できなかったからといって、決して、理解できなかった事を恥じたりしないで欲しい。また、理解できないからと言って、決して、理解できた人を迫害したりしないで欲しいと思います。
（なお、３Ｄゲームのソフトウェアを作るには、以下で説明する外積が必須知識だそうです。そのために外積を使うには、公式だけ覚えれば十分みたいですが。）
【課題】下図のように頂点の１つが原点Ｏにあり、他の２頂点が、Ａ（ａ１，ａ２）とＢ（ｂ１，ｂ２）である三角形ＢＯＡの面積を計算する。
三角形の辺を成すベクトルを分解して、その分解したベクトルで作った複数の三角形の面積を足し算することで、三角形の面積を計算する。
このベクトルの掛け算のことをベクトルの外積と呼ぶ。
（注意）
ベクトルの外積の定義を厳密に言うと、
「２つのベクトルどちらにも垂直な方向（この図の場合は紙面に垂直な方向）のベクトルを計算すること。そのベクトルの長さは、平行四辺形ＤＢＯＡの面積にする。」
です。
平面（紙面）上のベクトルの外積を計算した結果は、いつでも紙面に垂直なベクトルで、その方向が変わることがありません。
そのため、以下の説明（計算）では、そのベクトルの長さをベクトルの外積であるものとして、ベクトルの外積を利用して計算する。
三角形ＢＯＡの面積Ｓはこの平行四辺形ＤＢＯＡの面積の２分の１です。
三角形ＢＯＡはベクトルＯＢとベクトルＯＡで作られる三角形です。
①三角形ＯＶＢの頂点Ｖを対向辺ＯＢに平行に点Ｍまで移動し、三角形の面積を同じ値に保つ。
②三角形ＡＭＥの頂点Ｅを対向辺ＭＡに平行に点Ｆまで移動し、三角形の面積を同じ値に保つ。
この操作を、以下のように、三角形ＯＡＢを張るベクトルを２つのベクトルに分解して２つの三角形に分けて全体の面積を計算する操作を行っているものとみなす。
すなわち、この三角形を作る２つのベクトルのうちの１つのベクトルＯＡを、下図のように、２つのベクトルに分解する。
すなわち、ベクトルＯＡを、ベクトルＯＭ（単位ベクトルｘのａ１倍）とベクトルＭＡ（単位ベクトルｙのａ２倍）に分解する。
上図のように、分解されたそれぞれのベクトルを使って２つの三角形を作る。
１つ目の三角形は、ベクトルＯＭ（単位ベクトルｘのａ１倍）とベクトルＯＢで作られる三角形ＢＯＭです。
２つ目の三角形は、ベクトルＭＡ（単位ベクトルｙのａ２倍）とベクトルＭＥ（＝ベクトルＯＢ）で作られる三角形ＥＭＡです。
上図を見ると、その２つの三角形の面積の和が三角形ＢＯＡの面積になっていることがわかる。
ただし、ベクトルＯＭとベクトルＯＢで作られる三角形ＢＯＭは正の面積だが、
ベクトルＭＡとベクトルＭＥ（＝ベクトルＯＢ）で作られる三角形ＥＭＡは負の面積を持つものとする。
この２つのベクトルで作られる三角形の面積が正であるか負であるかの区別は、三角形を作る２番目のベクトルが１番目のベクトルよりも左回りに回転した方向を向いていれば面積が正であり、右回りに回転した方向を向いていれば面積が負であるとして、区別する。
下図のように、それぞれの三角形を面積が同じ直角三角形に変形する。
三角形ＢＯＭは直角三角形ＮＯＭに変形し、
三角形ＡＭＥは直角三角形ＡＭＦ変形する。
こうして、それぞれの三角形の面積を計算する。
なお、上図では、ベクトルＯＡをベクトルＯＭとベクトルＭＡに分解したが、ベクトルＯＡをその他のどんなベクトルの和に分解した場合でも、それらのベクトルが作る２つの三角形の面積の和は必ず三角形ＢＯＡの面積になる。
以上の計算は、以下の式のように単純なルールに基づいて計算できる。
（平行な２つのベクトルが作る平行四辺形の面積は０です。）
（２）ベクトルの順番を入れ替えて外積を計算すると、そのべクトル同士の回転方向が逆回りになるので、面積の正と負が逆になる。
上のベクトルの外積の計算は、三角形ＢＯＡがどんな形の場合であっても計算結果が変わらず、
三角形の面積Ｓ＝（ａ１ｂ２－ａ２ｂ１）／２ （式１）
となる。
すなわち、どんな三角形の場合でも成り立つ式（ただし、面積が負になる場合もありますが）です。
そのため、どんな三角形の場合でも上の式が成り立つことが証明できた。
上の式１でクロス積の形をした部分は、行列式とも呼ばれている。
（ベクトルの内積で面積をあらわす）
この三角形の面積Ｓは、ベクトルＡを９０度回転させたベクトルＡｖを使って、以下の様にあらわすことができる。
こうして得た式１’は、先に得た式１と同じ式になった。
【追加：以上の式から三角関数の加法定理を導き出せる】
以上の証明は数学的な厳密性があるので、この結果を利用して、以下のようにして、三角関数のｓｉｎの加法定理を導き出すことができる。
この三角形を下図のように、偏角αとβ（頂点の角度θ＝β－α）と辺の長さｓとｔであらわす。
ａ２＝ｓ・ｓｉｎα
ｂ１＝ｔ・ｃｏｓβ
ｂ２＝ｔ・ｓｉｎβ
先に得られた式１は、以下の式に書き直せる。
△ＢＯＡの面積Ｓ
＝ｓ・ｔ（ｃｏｓα・ｓｉｎβ－ｃｏｓβ・ｓｉｎα）／２ （式２）
一方、２辺と侠角θ＝β－αで三角形の面積が計算でき、その面積は、以下の式であらわせる。
△ＢＯＡ
＝ｓ・ｔ・ｓｉｎθ／２＝ｓ・ｔ・ｓｉｎ（β－α）／２ （式３）
式２と式３から、以下の関係が成り立つ。
ｓｉｎ（β－α）＝ｃｏｓα・ｓｉｎβ－ｃｏｓβ・ｓｉｎα （式４）
この式は、後に学ぶ、三角関数の加法定理です。
この、三角関数の加法定理を覚え易い形の式に直すと、以下の式になる。
ｓｉｎ（β＋γ）＝ｃｏｓγ・ｓｉｎβ＋ｃｏｓβ・ｓｉｎγ
（平行四辺形の面積の計算）
以下で、大学レベル以上での、２つのベクトルの張る平行四辺形の面積をベクトルで分解して計算する方法を書きます。以下の内容は大学生でも理解が難しい事も含まれていると思いますので、理解出来なくても気にしないで下さい。また、どの説明が理解し難い（あるいは間違っている）ことを教えて頂けると有り難いと考えています。
平行四辺形を張るベクトルを要素に分解して要素のベクトルの張る平行四辺形の面積計算し、その要素の平行四辺形の面積を合計して元のベクトルの張る平行四辺形の面積を計算します。
以下のように、座標系が回転しても結果が変わらないように面積の計算規則を定める点がポイントです。
下図の様に、ベクトルＡとＢが平行な場合にベクトルＡとＢが張るつぶれた平行四辺形の面積は０である。
その平行四辺形の面積を、ベクトルＡとＢをそれぞれ、Ｘ方向のベクトルとＹ方向のベクトルの和で表し、その和のベクトルＡとＢの積を、Ｘ方向のベクトルとＹ方向のベクトルの積の和に展開して、以上で定めた計算規則に従って計算すると、その計算結果も０になる。
平行四辺形を張るベクトルＡ及びＢをＸ方向のベクトルとＹ方向のベクトルに分解すると、ベクトルＡの分解されたベクトルとベクトルＢの分解されたベクトルの積の組み合わせが作る平行四辺形が４個できる。その４個のうち２つの平行四辺形は、同じ方向のベクトルの張るつぶれた平行四辺形であり、その面積が０なので無視できる。
そして、その４個の平行四辺形の面積の和で、ベクトルＡとＢの張る平行四辺形の面積を計算したい。
上の例では、少なくとも面積が０のつぶれた平行四辺形の面積の計算では、その０の面積が、ベクトルＡの分解されたベクトルとベクトルＢの分解されたベクトルの積の組み合わせが作る４個の平行四辺形の和と同じになる演算ができる様になった。
次に、下図のように、ベクトルＡとベクトルＢの張る平行四辺形の面積を、同じ面積を維持するように高さを保たせて変形した平行四辺形にして面積を求める手法を、ベクトルＡを分解したベクトルとベクトルＢとの積の和を計算する手法に対応させて面積を計算する。
すなわち：
（ベクトルＡのベクトルＢに対する垂直成分の長さ）×（ベクトルＢの長さ）
が平行四辺形の面積を表す。
一方、ベクトルＡを分解して、
ベクトルＡ＝ベクトルＡ１＋ベクトルＡ２
とすると：
ベクトルＡ１のベクトルＢに対する垂直成分の長さと、
ベクトルＡ２のベクトルＢに対する垂直成分の長さの和は、
ベクトルＡのベクトルＢに対する垂直成分の長さに等しい。
そのため、
ベクトルＡとベクトルＢが張る平行四辺形の面積
＝（ベクトルＡ１とベクトルＢが張る平行四辺形の面積）
＋（ベクトルＡ２とベクトルＢが張る平行四辺形の面積）
の関係が成り立つ。
その関係は、
ベクトルＡ×ベクトルＢ
＝（ベクトルＡ１×ベクトル Ｂ）
＋（ベクトルＡ２×ベクトルＢ）
に分解した式で表すことができる。
すなわち、ベクトルが張る平行四辺形の面積についての分配法則に対応して、ベクトルの加法と（ベクトルの順番を考えた）乗法についての分配法則が共に成り立っている。
その平行四辺形を構成する２番目のベクトルＢを、ベクトルＡのｋ倍のベクトルを加えて、ベクトルＡに対する高さを保たせて歪めたベクトルＢ２に変える。
そうして、ベクトルＡとベクトルＢ２の張る平行四辺形を考える。
その場合、以下の式が成り立つ。
ベクトルの加法と乗法についての分配法則により、
ベクトルＡ×ベクトルＢ２
＝（ベクトルＡ×ベクトルＢ）
＋（ベクトルＡ×ｋ（ベクトルＡ））
と表すことができる。
ここで、
（ベクトルＡ×ｋ（ベクトルＡ））
は面積が０のつぶれた平行四辺形をあらわしているので、その面積は０である。
それゆえ、
ベクトルＡ×ベクトルＢ２＝ベクトルＡ×ベクトルＢ
が成り立つ。
この式は、底辺の長さが同じで高さが等しい平行四辺形の面積が等しい事実と一致している。
この様に、平行四辺形の面積を表すベクトルの加法と乗法の分配法則が、変形した平行四辺形の面積の法則と一致して、成り立っている。
以上の演算規則で定めた、Ｘ座標方向の単位ベクトルとＹ座標方向の単位ベクトルが作る平行四辺形の面積の符号に合わせて、エディントンの計算記号εｍｐを定める。
∑(ｍ=1,2; ｐ=1,2) ｛εｍｐａｍｂｐ｝＝ａ１ｂ２－ａ２ｂ１
で表せる。
この面積の和が、ベクトルＡとベクトルＢの張る平行四辺形の面積である。
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