連続関数の積分の場合に、微分と積分とが逆操作になる

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やさしい微分積分
《微分積分学の基本定理》
微分型で表現した微分積分学の基本定理は：
連結区間内で１つながりに連続な関数ｆ(x)がある場合：

 が成り立つというものです。


 　この式が成り立たない場合などあり得ないのではないか？と考える人もいるかもしれません。
　この式が成り立たない場合というのは、ｆ(x)が積分出来ない場合です。そもそも積分できなければ、微分する以前に、この式が成り立たないことになります。
　また、被積分関数ｆ(x)を積分して不定積分の関数F(x)が得られても、関数F(x)が折れ曲がった関数になれば、その折れ曲がり点でF(x)は微分できません。F(x)が微分できなければ、この式が成り立たないことになります。

以下の図の関数ｆ(x) のグラフを考えます。

この関数ｆ(x) は、ｘ＝０の点とｘ＝２の点では連続では無い関数です。
ｘ＝０の点とｘ＝２の点で関数は不連続であり、また、極限も存在しませんが、閉区間：
－１≦ｘ≦３
などの、その連続で無い点ｘ＝０，とｘ＝２の点を範囲内に持つ閉区間で積分可能です。
この関数ｆ(x) を積分して、以下の図の不定積分の関数Ｆ(x) を求めることができます。

この不定積分Ｆ(x) を微分して下図のグラフの関数を求めます。
ｘ＝０とｘ＝２の点ではグラフが折れ曲がっているので微分できません。

上図のグラフに示すように、この不定積分F(x)を微分した結果の導関数（ｄＦ(x)／ｄｘ）は、ｘ＝０とｘ＝２で関数値が存在しないという点で、被積分関数ｆ(x) と異なる関数になります。


この式が成り立たないのです。

　「関数 f(x) が連結区間内で１つながりに連続している被積分関数ｆ(x)を不定積分して得た関数Ｆ(x)が、その連結区間で微分可能である。不定積分の関数Ｆ(x) を微分した結果は被積分関数ｆ(x)に戻る。」というのが（微分型の）微分積分学の基本定理です。
　そこには、「被積分関数ｆ(x) が、ある連結区間内で１つながりに連続している」という条件が付いているのです。

　つまり、変数ｘの連結区間内で１つながりに連続している関数ｆ(x)の真の不定積分F(x)は、その連結区間内のどのｘの値の点でも微分可能であって、微分結果が関数ｆ(x) になる。そのため、もし、不定積分の計算の結果で得た関数が、被積分関数ｆ(x)の変数ｘの連結区間内のある値で不連続になる場合は、その値の点は「除去可能な不連続点（取除きうる不連続点）」である。そして、その不連続点を除去した関数が真の不定積分F(x)である。

《微分積分の参考書の、微分積分学の基本定理の証明》
「大道を行く数学（解析編）」
https://www.gensu.jp/new_book/9742/
（２１９ページの途中から）




（証明おわり）

《補足》（この証明での重要ポイント）
　以上の証明の中で、被積分関数ｆ(x)が変数ｘの点の近傍のｘの区間において連続である（連続関数である）という前提条件を使っている。つまり、被積分関数ｆ(x)が連続関数なので、Δx を十分小さくすれば、ｆ(x+Δx)がｆ(x)に近づく、という前提条件を使った。

　この証明の発想の根底に、関数（グラフ）が連続であるという概念が、証明の重要なポイントになっているということに気づくことが大事だ。

「数学の受験教科書　９　微分・積分」
https://math.co.jp/contpgm2/w_main.php?oya_id=2&back_id=85#85
（２４２ページ途中から）



（この参考書の旧版での以下の証明も参考になる）
「駿台受験シリーズ　分野別　受験数学の理論7　微分法・積分法の基礎」
https://math.co.jp/contpgm2/w_main.php?oya_id=2&back_id=14#14
（９６ページ途中から）



（証明おわり）

リンク：
微分積分学の基本定理
なぜ微分と積分は逆の操作なのか
高校数学の目次

不定積分の除去可能な不連続点は除去すべし

【問１】以下の定積分を計算せよ。


【解１】
　先ず、この積分の被積分関数の不定積分を以下の計算により求める。

この不定積分の関数は、θ＝０の点では定義されず、その点で不連続である。
しかし、（θ＝０を含む）定義域の範囲内で連続な関数を積分して得た不定積分は、（θ＝０を含む）定義域の範囲内で連続な関数Ｆになることが分かっている。そのため、θ＝０での不定積分の関数の値を以下のようにして補って定義する。
　この不定積分の関数Ｆの、θ→０での極限値を計算する。

このθ→０で極限値が、θ＝０での不定積分の関数の値である。
正しい不定積分Ｆ(θ) は、以下の式で定義される。

と定義して、θ＝０の点でも定義された正しい不定積分を得る。
この関数Ｆ(θ) で表した不定積分を使って以下の定積分を計算をする。

（解１おわり）

〘補足〙最初に得た不定積分の関数のθ＝０の値を補う方法は、他に、以下の計算をして補うこともできる。


この計算によって、定積分する区間内の点、θ＝０、でも定義された関数が求められたので、この関数を使って定積分します。

（解１（その２）おわり）

【解２】
　先ず、この積分の被積分関数の不定積分を以下の計算により求める。

この不定積分の結果の関数を使って以下の計算をする。

（解２おわり）

【問２】以下の定積分を計算せよ。


【解１】
　先ず、この積分の被積分関数の不定積分Ｆを以下の計算により求める。

ここで残った以下の不定積分Ｇを計算する。


この不定積分を合わせて、求める不定積分Ｆを得る。

この不定積分の関数は、θ＝０の点では定義されず、その点で不連続である。
しかし、（θ＝０を含む）定義域の範囲内で連続な関数を積分して得た不定積分は、（θ＝０を含む）定義域の範囲内で連続な関数Ｆになることが分かっている。そのため、θ＝０での不定積分の関数の値を以下のようにして補って定義する。
　この不定積分の関数Ｆの、θ→０での極限値を計算する。

このθ→０で極限値が、θ＝０での不定積分の関数の値である。
正しい不定積分Ｆ(θ) は、以下の式で定義される。

と定義して、θ＝０の点でも定義された正しい不定積分を得る。
この関数Ｆ(θ) で表した不定積分を使って以下の定積分を計算をする。

（解１おわり）

〘補足〙最初に得た不定積分の関数のθ＝０の値を補う方法は、他に、以下の計算をして補うこともできる。

この計算によって、定積分する区間内の点、θ＝０、でも定義された不定積分の関数Ｆが求められたので、この関数Ｆを使って定積分します。

（解１（その２）おわり）

【解２】
　先ず、この積分の被積分関数の不定積分を以下の計算により求める。


この不定積分の結果の関数を使って以下の計算をする。

（解２おわり）

〘補足〙覚えておこう
分母が０にならない条件下で、以下の公式が成り立つ。


【問３】以下の定積分を計算せよ。


【解１】
　先ず、この積分の被積分関数の不定積分を以下の計算により求める。

この不定積分は、θ＝π/2 の点では定義されず、その点で不連続な関数ではありますが、
以上の不定積分の計算は正しい計算です。
　しかし、この不定積分の結果の関数を使って以下の計算をするのは厳密に言うと誤りです。

厳密に言うと誤りである理由は、定積分する区間内の点、θ＝π/2 、で定義されていない不定積分の関数Ｆを、その点を含む区間での定積分の計算に使用できないからです。
〘補足〙連続な被積分関数を（θ＝π/2 を含む）定義域の範囲内で積分して得た不定積分は、（θ＝π/2 を含む）定義域の範囲内で連続な関数Ｆになることが分かっている。得られた不定積分の式Ｆがたとえθ＝π/2 で定義されなくても、それは見せかけであって、真の不定積分はθ＝π/2 でも連続な関数と定義されている。そして、θ＝π/2 の点での極限値が存在する。
具体的に言うと、θ＝π/2 の点で定義されないこの不定積分の関数Ｆは、以下に計算するように、θ→π/2 での極限値が存在する。

このθ→π/2 で極限値を、θ＝π/2 での不定積分の関数の値と定義して、θ＝π/2 の点で関数Ｆを連続な関数の不定積分に拡張できる。
そのため、最初に得た不定積分の関数Ｆのθ＝π/2 以外の点の関数値は、「θ＝π/2 での関数値を定義して補ったθ＝π/2 でも連続なある関数」の値を表している。それゆえ、この不定積分の関数Ｆを使った上記の計算で定積分の解を求めても正しい解を得ることができる。高校生には、「積分可能性」については教えていないので、高校生は大学入学試験で上記の計算をして、定積分の解を求めても良いと思う（その解き方は、入学試験を行う大学としては、満点を与えるには難があるので、少し減点されるとは思う）。

厳密な計算をするためには、以下の式変形を行うことで、「θ＝π/2 での関数値を定義して補ったθ＝π/2 でも連続なある関数」を求める。

この計算によって、定積分する区間内の点、θ＝π/2 、でも定義された関数が求められたので、この関数を使って定積分した。
（解１おわり）

【解２】
　先ず、この積分の被積分関数の不定積分を以下の計算により求める。

上記で最後に、その不定積分の結果の関数を使って定積分した。
（解２おわり）

〘補足〙覚えておこう
分母が０にならない条件下で、以下の公式が成り立つ。


【問４】以下の関数ｆ(ｘ)を定積分せよ。

ここで、この被積分関数ｆ(ｘ)は、ｘ＝０においての関数値が、その関数のｘ→０の極限値と定義された、ｘ＝０で連続な関数である。

【解１】
　先ず、この積分の被積分関数の不定積分を以下の計算により求める。

この不定積分の関数は、ｘ＝０の点では定義されず、その点で不連続である。
しかし、（ｘ＝０を含む）定義域の範囲内で連続な関数を積分して得た不定積分は、（ｘ＝０を含む）定義域の範囲内で連続な関数Ｆになることが分かっている。そのため、ｘ＝０での不定積分の関数の値を以下のようにして補って定義する。
　この不定積分の関数Ｆの、ｘ→０での極限値を計算する。

このｘ→０で極限値を、ｘ＝０での不定積分の関数Ｆ(ｘ)の値Ｆ(0)と定義して、ｘ＝０点で連続な関数である不定積分Ｆ(ｘ)に拡張する。

この「ｘ＝０での関数値を定義して補ったｘ＝０でも連続な関数Ｆ(ｘ)」が真の不定積分である。
この不定積分の関数Ｆ(ｘ)を使った以下の計算で定積分の解を求めることができる。

（解１おわり）

〘補足〙同様にして以下の問題が解ける。


【解２】
　この定積分は、奇関数の積分であるので、その積分値が０である。

（解２おわり）

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