【公式１】
角度Ｂと角度Ｃに関して、以下の式１：
が成り立つ事を証明せよ。
【公式２】
角度Ｂと角度Ｃに関して、以下の式２：
が成り立つ事を証明せよ。
【公式３】
角度Ｂと角度Ｃに関して、以下の式３：
が成り立つ事を証明せよ。
【公式４】
角度Ｂと角度Ｃに関して、以下の式４：
が成り立つ事を証明せよ。
これらの問題の解答は、ここをクリックした先にあります。
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【中線の長さの公式（中線定理）】
上図のように、三角形ＡＢＣの辺ＢＣの中点Ｍと頂点Ａを結んだ中線ＡＭの長さｍに関して、上の式１又は式２が成り立ちます。
この中線定理は、以下の様に、ベクトルｂとｃの計算だけから、容易に導き出せます。
（中線定理）
中線定理は、上図の平行四辺形の対角線の２乗の和の定理だと考えると覚え易いと思います。
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三角形の部分の長さの定理の式を覚えようとしても覚えられません（何度覚えても式を忘れます）。
一方、そういう定理の全ては、以下の３つの図の相似な三角形の組み合わせのイメージを覚えるだけで、それらのイメージから得られる情報を使って、全てを求めることができます。
そのため、それらの定理の式を実践の場で使える応用力をつけるために、以下の３つの図のイメージを覚え、その図のイメージの相似な図形の辺の比例の式（定理の式と同等）を図から導き出してください。それらの相似な図形の辺の比例の式は、定理の式が変形された定理の式と同等な式なので、それらの式を使えば、定理の式を使うのと同じく問題を解くことができます。
【定理の速やかな導出】
定理が覚えられないという真実を知りました。その対策として、覚えられない定理を速やかに導き出す方法を知ることで、定理を覚えたのと同じ効果を得ましょう。
以下で、その導出方法を記載します。
上の図の式を以下の式に変形します。
ここで、以下の関係が成り立ちます。
この関係を式１に代入する。
（定理の導出おわり）
この式２によって、角の二等分線の長さｍを、三角形の辺ａ，ｂ，ｃで求める定理が得られました。
（この式２は覚える事はとても困難な式ですが、以上の手順でいつでも導き出すことができます。それは、定理の式を覚えているのと同じ事だと思います。）
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中学生の時は、無数に解がある連立方程式は、
「解が無数にある」と言えば答えになっていました。
しかし、高校生になると、そのような答えでは不十分な答えになります。
例えば、以下の様な問題を解いてみます。
【問題１】
以下の連立方程式を解け。
【解答】
以上の計算により、式１と式２と式３の連立方程式に等価な連立方程式である、式４と式５と式６との連立方程式が得られました。
（式４と式５と式６を使って式１と式２と式３を再現することが可能です→補足１。）
ここで、式６は、式１の全ての変数をｙに置き換えて、変数ｙだけの式にして、変数ｙの値を求めようとした式です。
この式６でｙの値が定まらないので、ｙの値は不定です。よって、ｙの値は、任意の値を取ることができます。
ゆえに、問題の解は、
任意の定数ｔに関して：
になります。
（解答おわり）
（補足１）
式４から式６を使って、以下のようにして式１から３を導き出すことができます。
先ず、式１～3を使って式4～式６を導き出す計算を再現します。
(1)×2－(2):
3x－6y=0， (4')
(1)－(3)×2:
ー3y+z=0， (5')
(1)ー(4')×(2/3)+(5'):
4y－yー3y=0，
0y=0， (6')
次に、この計算を逆にたどって、式４’～６’を使って式１～３を導き出す式を求めます。
(1)=(6')+(4')×(2/3)－(5')， (1)
(2)=－(4')+(1)×2
=－(4')+((6')+(4')×(2/3)－(5'))×2
=(4')×(1/3)+(6')×2－(5')×2， (2)
(3)=( (5')－(1))×(－1/2)
＝(5')×(－1/2)＋(1)×(1/2)
＝(5')×(－1/2)＋((6')+(4')×(2/3)－(5'))×(1/2)
＝－(5')+(6')×(1/2)+(4')×(1/3)， (3)
この様に、式１～式３が、式４～式６を使って再現できる。
そのため、式４～式６の連立方程式は、式１～式３の連立方程式に等価です。
（補足２）
式１～式３に対して、それらの式の和で作った式４～式６が等価な連立方程式と言えるのは、上の式の様に、式４～式６の式の和で式１～式３が作れるからです。その式を作る前に、式１～式３に対して、それらの式の和で作った式４～式６が等価な連立方程式と言えるか否かを判定できる条件は、大学に進学して線形代数学を学ぶことで学ぶことができます。
詳しい内容は、その線形代数学で学んで欲しいと思いますが、式４～式６が、式１～式３の持つ式の特徴を余さず受け継いでいるように作られているか否かによって、式４～式６が式１～式３に等価な連立方程式と言えるか否かが定まります。
（式６が上の説明の様に作られずに、単に(1)-(1)で式６を作って0=0が得られるのが当たり前の計算する場合は、そうして作る式には、式１～式３の持つ特徴が受け継がれません）
上の式の変形の様に、１つの変数で他の変数１つ１つを表わす式を作って、最後に、その式を元の式の１つ（どの式でも良い）に代入して１つの変数だけで表わした式６を作れば、それらの式４～式６の連立方程式は、その式６が0=0という式になったとしても、元の式１～式３の連立方程式に等価な連立方程式になります。
（補足３）定数と未知数の定義。
未知数→方程式の中で気にする数。
定数→方程式の中で気にしない数。
という違いがありますが、定数と未知数の区別はあいまいです。
問題の３つの式から成る連立方程式は、３つの変数ｘ，ｙ，ｚに関して、無数の解がある連立方程式です。
このように解が無数にある連立方程式というものは、その変数のうちの１つの変数ｙを定数ｔであると考えて、残った未知数ｘとｙを定数ｔを使った式で表す解：
を解とする連立方程式であると解釈する事ができます。
よって、この式が解になります。
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（連立方程式のうさん臭さ）
中学生の数学で初めて連立方程式を学んだとき、何となくうさん臭く感じて違和感を感じた人もいるのではないかと思います。
連立方程式をうさん臭いと感じたなら、それには以下の理由があるからです。
連立方程式には、必ず解が計算できる（解がある）とは限らないという特徴があります。方程式で表現したら必ず解けるとは限らないのです。
例えば、以下の様な式も連立方程式です。
【解の無い連立方程式の例１】
ｘ＋ｙ＝３ （式１）
２ｘ＋２ｙ＝１ （式２）
一見もっともらしく見えても、この式は互いに矛盾する関係が同時に成り立っているものと表現した、あり得ない、嘘の関係をあらわしています。
なぜ、この式が嘘だと言えるかと言うと、
以下の様に式を置き変えてみればわかります。
ｚ≡ｘ＋ｙ （式３）
と定義します。
すると、式１と式２は以下の式になります。
ｚ＝３ （式４）
２ｚ＝１ （式５）
この連立方程式は明らかに嘘の関係をあらわしています。
ｚ＝３ かつ、 ｚ＝１／２
であるという連立方程式なので嘘の関係です。
数学的に表現したら必ず真実を表現していると信じていた人は、この表現で裏切られるという気持ち悪さがあります。
こういう嘘を表現した方程式の解を求めると、
解がありません。
解が無い、すなわち、方程式が嘘をあらわしているというのはなるべく早めに見抜くように注意して下さい。
また、嘘の関係を表わした方程式を無理やり展開すると、以下の場合の様に嘘の答えが出るという特徴がある事も知っておいてください。
式４を式５に代入してｚを消去すると：
２×３＝１
６＝１ （式６）
（矛盾：嘘です）
このような答えが出てくると、導き出される数式がことごとく嘘になるので大問題です。
解の無い方程式は、成り立っていない嘘の関係を表わしている式なので、その方程式を組み合わせると嘘の式が現れるのです。
解の無い連立方程式は、計算式に注入された毒薬のような物で、計算結果の信用を台無しにし、計算式をメチャクチャにします。
そのため、解の無い連立方程式が注入されたその場で直ぐに見抜いて、その、解の無い連立方程式を取り除いて、計算の命を救う救急処置を取ってください。
あるいは、その（解の無い）連立方程式が必須であって削除することができない性格の方程式であるならば、以下の様に対処してください。
①その連立方程式に使われている変数（ｘとｙ）の値が存在しない事が証明されたと解釈する。
②その変数（ｘとｙ）を１つでも使っている全ての方程式を凍結する。
そうして凍結した方程式が、その使っている変数の解が存在しない場合は式の存在意義が無くなり削除できる方程式は削除する。
③その凍結した方程式が、使っている変数の解が存在しないという事も大切な情報であって削除できない性格の方程式である場合は、その解の無い変数からその方程式を使って計算できる全ての変数（例えば変数ｚ）を、同じく解が無い変数である、と解釈する。
④それにより、新たな変数ｚの解が無い事が分かった場合、その新たな変数ｚを使う他の方程式にも、②と③の処理を繰り返す。
（解の無い連立方程式は、たしかに毒薬だと思うでしょう）
また、解があるのか無いのかが分からない連立方程式を扱っている場合は、その連立方程式に解があるのか無いのかを早急に求めてください。そして、解があることが確かめられた後で、それ以外の必要な計算を行なうようにしてください。
【解の無い連立方程式の形】
解の無い連立方程式は以下の形をしています。
ａＸ＋ｂＹ＝ｃ
ｎａＸ＋ｎｂＹ＝ｄ
ｄ≠ｎｃ
（例２）
ｘ＋２ｙ＝１
３ｘ＋６ｙ＝１
すなわち、
① 2番目の式の変数で表した左辺の式が、１番目の式の左辺の式を数倍した形をしているのに、
② 2番目の式の定数で表した右辺の定数の値が、その倍率になっていない形をしています。
問題を解くために新たに作った連立方程式がこの形をしていたら、「解が無い」と即座に見抜いて、その連立方程式を即座に除去してください。
【解がある連立方程式】
ｘ＋２ｙ＝１, （式１１）
３ｘ＋ａｙ＝１， （式１２）
（ａはある定数）
この連立方程式は、定数ａの値が確定していないので、解がある連立方程式です。定数ａの値は、計算の過程で、解があるように自動的に調整されます。
そのことを確認するために、以下で、この連立方程式を解いてみます。
（解答始め）
３×（式１１）－（式１２）：
６ｙ－ａｙ＝３－１＝２，
（６－ａ）ｙ＝２，
ａ≠６， （式１３）
・・・ここで、連立方程式に解があるようにａの値が調整された。
方程式を解く計算は、この式１３を導いた様に、方程式に解がある条件を求めていく作業です。
解の無い連立方程式を除去する作業も、方程式を解く計算の一種と言えます。
ｙ＝２／（６－ａ）， （式１４）
式１４を式１２に代入する：
ｘ＋４／（６－ａ）＝１，
ｘ＝（２－ａ）／（６－ａ）， （式１５）
式１４と式１５が方程式の解である。
（解答おわり）
この連立方程式を解く過程で、式１３によって、連立方程式が解を持つように調整された。
この例の様に、連立方程式の定数の中に、値が定まっていない定数（この例ではａがそれ）を持つ連立方程式は、解がある連立方程式です。
（補足）定数と未知数の定義。
未知数→方程式の中で気にする数。
定数→方程式の中で気にしない数。
という違いがありますが、定数と未知数の区別はあいまいです。
（連立方程式に解が無いようにする条件）
この様に、式１１と式１２の連立方程式は、解がある連立方程式ですが、この連立方程式を解く過程で導き出した式１３を先回りして否定する以下の条件を加えて、
ａ＝６ （式１６）
として、定数ａの値を限定したら、この連立方程式は、解の無い連立方程式になります。
解がある連立方程式が、今度は、解が無い連立方程式になったという矛盾を感じる方もいるかもしれませんが、以下の理由により、そこには矛盾がありません。
すなわち、式１１と式１２の２つの式の連立方程式には解がありますが、式１１と式１２と式１６との３つの式の連立方程式には解が無いのです。
よって、式１１と式１２の連立方程式は、解があるか無いかが分かる連立方程式であって、定数ａが式１３で限定されるという解も持つ、解がある連立方程式です。
一方で、式１２と式１３に式１６を加えた３つの式の連立方程式は、解が無い連立方程式です。
一般的に言って、解がある連立方程式にもう１つの式を加えた連立方程式は、その式を加える前の連立方程式とは異なる連立方程式であるので、解が有るか無いかの性質も異なります。
例えば、
ｘ＝１，
ｙ＝２，
という２つの式の連立方程式は解がありますが、
この連立方程式に，
ｘ＝３，
という式を加えた３つの式の連立方程式には解がありません。
【解があるのか無いのかが直ぐには分からない連立方程式】
以上で説明した様に、２つの変数ｘとｙの連立方程式の場合は、その変数の解があるか無いかが直ぐに分かります。
解があるか無いかが直ぐには分からない連立方程式の例を、以下で具体的に示します。
ｘ＋ｙ＋ｚ＝１， （式２１）
ｘ－ｙ＋ｚ＝２， （式２２）
ｘ＋ｚ＝１， （式２３）
この連立方程式は、解があるのか無いのか直ぐには分かりません。
そのため、解があるのか無いのかを、以下の様に計算して、早急に求めておく必要があります。
（式２１）＋（式２２）：
２ｘ＋２ｚ＝３，
ｘ＋ｚ＝３／２， （式２４）
この式２４は、式２３と矛盾します。
よって、この連立方程式には解がありません。
（解の有無の判定おわり）
【解が無い連立方程式の例３】
ｘ＝１，
ｘ＝２，
ｘ＋ｙ＋ｚ＝１，
という連立方程式は、
未知数の数が３つで方程式の数も３つで、その数が一致してはいますが、解が無い連立方程式です。
【解が無い連立方程式の例４】
ｘ＝１，
ｘ＝２，
ｘ＝３，
というふうに未知数が１つしか無い式の群も連立方程式です。この連立方程式には解がありませんが、、、。
以下の式も連立方程式です。
ｘ＝１，
2ｘ＝２，
3ｘ＝３，
この連立方程式には解があります。
【解がある連立方程式の標準的な形】
なお、以下の例の様に、変数の数よりも方程式の数が多い連立方程式は、解が無い連立方程式の形をしています。
ある定数ａに関する、未知数ｘとｙに関する連立方程式：
ｘ＋ｙ＋ａ＝０， （式２５）
ｘ－ｙ＋ａ＝２， （式２６）
ｘー２ａ＝１， （式２７）
この３つの連立方程式は、２つの変数ｘ，ｙに関して、式の数が、変数の数より多い３つあるので、解が無い連立方程式の形をしています。
ただし、
定数aの値が確定していないので、定数ａの値を限定する解も持つ、解のある連立方程式です。
すなわち、定数ａの値も未知数と解釈してその値を求める式でもあると解釈すると、この連立方程式は３つの未知数ｘ，ｙ，ａに関する３つの式の連立方程式なので、解がある連立方程式の形をしています。
（方程式の数が多すぎる連立方程式に解があるようにする条件）
すなわち、a＝０である場合に限り、
この３つの連立方程式は独立では無くなり、独立な方程式は２つだけになるので、その場合に限り、この連立方程式には解があります。
この式２５、２６、２７から成る連立方程式を解くと、自動的にａ＝０に調整されて、解が計算できます。
この式２５から式２７の様に、未知数の数より方程式の数が多い連立方程式であっても、解がある連立方程式は、その解が自動的に計算できます。
【解がある連立方程式のその他の例】
以下の式２８と式２９の連立方程式の様に、変数の数よりも方程式の数が多い連立方程式であっても、複数の方程式が独立で無い事が明らかな方程式は解がある連立方程式です。
ある定数ａ（例えばａ＝１）に関する、未知数ｘに関する連立方程式：
ｘ＋２ａ＝１， （式２８）
３ｘ＋６ａ＝３， （式２９）
この２つの連立方程式は、１つの変数ｘに関して、式の数が、変数の数より多い２つありますが、式２９は式２８を３倍しただけの、式２８と同じ式であるので式２９を削除できます。式２９が削除できるので、これは、解がある連立方程式です。
この方程式を解くと、
ｘ＝１－２ａ
という解が得られます。
（解が無限にある連立方程式の未知数の一部を定数扱いする）
ここで、式２８と式２９の定数ａを未知数ｙに置き換えて、未知数ｘとｙに関する連立方程式を作ると：
ｘ＋２ｙ＝１， （式２８’）
３ｘ＋６ｙ＝３， （式２９’）
この連立方程式は、式２９’が削除できて式２８’だけになるので、未知数の数より方程式の数の方が少なくなるので、解が無数にある連立方程式になります。
解が無数にある連立方程式というものは、未知数の数よりも（実質的な）方程式の数が少ない方程式です。
それを考えると、式２８’と式２９’の様に解が無数にある連立方程式というものは、その変数のうちの１つの変数ｙを定数ａであると考えて、残った未知数ｘを定数ａを混ぜた式で表す解：
ｘ＝１－２ａ
がある連立方程式であると解釈する事ができます。
（解が無い連立方程式が作られる場合）
高校に入学すると、実際、式１と式２の様な解が無い連立方程式を、ふざけて作るのでは無く、真面目に作る事があります。それは、２つの直線のグラフの交点の座標を求める問題で、有り得るのです。２つの直線には普通は交点がありますが、２つの平行する直線には交点という解がありません。そのとき、上に示した式の形をした、解の無い連立方程式が作られるのです。
（解の無い方程式を取り除く例）
以下の図形で、点Ａの座標が分かっていて、直線ＥＦの式と直線ＢＣの式が与えられている場合に、線分の長さを与える定数ａとｂから線分ＡＥの長さｘを求める問題を考えます。
直線ＥＦと直線ＢＣの交点Ｄを求めてから、式３１のメネラウスの定理を使ってこの問題を求めようとすると、直線ＥＦと直線ＢＣが平行な場合は、以下の問題が発生します。
直線ＥＦの式と直線ＢＣの式との連立方程式を立てて、交点Ｄの座標を計算すると、平行な直線は交わらないので、点Ｄの解が有りません。
その点Ｄを求めるために作った、解が無かった連立方程式は、２直線が交差しない、すなわち、その２直線が平行であるという事実を導き出すという役割はあります。
点Ｄの解が無いので、点Ｄを使っている、式３１のメネラウスの定理は、意味を成さないので、式３１を除去します。式３１は、点Ｄが存在しないならば意味を成さない式であるので、除去する事に何も問題ありません。
（こうして、解の無い方程式３１を除去しました。）
点Ｄは存在しないので、この問題は、点Ｄを使わずに解きます。先に得た、直線ＥＦと直線ＢＣが平行であるという結論は、この問題を解く役に立ちます。
（解の無い方程式を取り除く例おわり）
（解の無い方程式の解を有るようにする例）
高校生になってから以下の事を学びます。
（ｙ）の二乗＝－１
という方程式に、一見解が無い様に見えても、
ｙ＝虚数ｉ
という解があることにし、虚数という新しい種類の数を定義して問題を解決します。
しかし、式１と式２の連立方程式に解が無い問題は、簡単には解決しません。
式６が決して導き出されないようなしくみを導入するか、又は、式６が嘘で無いとする新たな数の体系の数に置き換えて計算しない限り、解はありません。
（解の無い連立方程式も、射影幾何学を使って、その解を有るようにする事はできる）
なお、式６を嘘で無いとして式１と式２の連立方程式の解を存在できるようにする新たな数の体系があります。それは、大学の数学科に進学して、「射影幾何学」の「射影座標系」の射影座標を解の数とすることで可能になる事を学ぶことができます。射影幾何学では、２つの平行する直線は無限遠で交差する事にし、その交点を無現遠点の射影座標であらわすのです。
（ただし、「射影幾何学」の場合は、扱う数自体を別の物に置き換えて、一見、式６の形を許容する式を成り立たせているだけですので、そのように数自体を別物に変換しない限りは、式６はあいかわらず嘘の式です。）
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【問題１】 
