2018年4月23日月曜日
2018年2月25日日曜日
使い易い形の拡張円周角の定理と円周角の定理
【拡張円周角の定理と円周角の定理】
上図のように、三角形ＡＢＣの∠Ａ＝アルファαと同じ角が、
外接円の各部に、円周角や拡張円周角になってあらわれる。
しかも、各部の点のまわりに現れる角度が、左まわりに、
α，○，△の順に繰り返して現れる。
これらの角をすぐ想像できるように、よく覚えてください。
【接弦定理】
三角形ＡＢＣの外接円において点Ｂのまわりに現れる角度が、
左まわりに、α，○，△の順に繰り返して現れるので、
接弦定理：
∠Ａ＝∠ＣＢＤ
が成り立ちます。
この接弦定理の図も一緒に覚えてください。
リンク：
中学数学の目次
外接円の各部に、円周角や拡張円周角になってあらわれる。
しかも、各部の点のまわりに現れる角度が、左まわりに、
α，○，△の順に繰り返して現れる。
これらの角をすぐ想像できるように、よく覚えてください。
【接弦定理】
左まわりに、α，○，△の順に繰り返して現れるので、
接弦定理：
∠Ａ＝∠ＣＢＤ
が成り立ちます。
この接弦定理の図も一緒に覚えてください。
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中学数学の目次
2018年2月19日月曜日
神奈川、東京の中高一貫校生と公立高校受験組との差
高校の教育体制について考えてみます。
以下の問いかけがありました。
（引用開始）
神奈川、東京の中高一貫校生と公立高校受験組との差
投稿者: 巻き返し (ID:S6l6Es1iKHY) 投稿日時：17年 01月 03日 12:21
前者（私立）は最低でも小４から高度な受験勉強をして高校卒業時には難関大学受験に合わせ、しっかり結果が出るように仕上げてくる。
後者（公立）は前者（私立）に比べて高度な受験勉強時間そのものが平均して４年位少ないのではないかと推測します。
ですが、ここ最近、公立最難関校が十数年来の再注目を浴びてきております。注目を浴びるのは勝手なのですが本当にエリート街道と言われる私立、国立の、中高一貫校の方々と対等レベルまで張り合っていけるのでしょうか？
公立高校のカリキュラムや教育指導にその様なノウハウがあるとはとても思えないのですが。
皆さま、ここ最近の公立再注目報道、どの様にお感じになられますか？
投稿者: 根本的に全てが違う (ID:HCjeNKXThdo) 投稿日時：17年 01月 03日 16:13
最近の公立トップ校は学校が進学指導に力を入れ課題量も凄まじく、クラブ活動をせずに通塾という生徒も増えています。
学力も上がるでしょう。
ただ公立トップ高校へ入るために小5辺りから通塾し、中学でも通塾を軸にクラブは幽霊部員という生徒も増えています。
もちろん昔のように中学でもトップ校でも文武両道の生徒もまだまだいますが、公立トップ校へ入れば受験一辺倒になる生徒は多いです。
親も経済的余裕がないため現役で国公立大学合格を強くのぞんでいますので尚更です。
むしろ灘開成筑駒のような最難関私立中高一貫の生徒の方がのびのび遊び、その遊びもダイナミックで、しかも集中力が半端なく処理能力は高いですよ。
うちの子は某難関私立中高一貫の高校生で、
時折、公立高校の生徒さんたちと交流がありますが、
公立トップ校といえど、（私立中高一貫とは）経験数、活動の大きさ、発想力など全く違うと感じております。
余裕とかキャパの違い（公立高校の生徒の心には余裕が無い）といったようなものです。
私立中高一貫校の保護者もおおらかで余裕があります。
確かに学校が進学重視にシフトし進路指導をするようになり公立高校の学力も進学実績も上がりましたが、
高学力、かつ、学力だけではない次世代のエリート教育、
にはほど遠いと思います。
学力進学実績向上だけなら、拘束し馬車馬のように勉強させれば叶うでしょうが、
今の公立トップ校は、それにより、かえって（心に余裕が無くなり）次世代エリートというものから遠のくでしょう。
また余談ですが、
公立難関高校が、最難関中高一貫校に敵わない点は、
人脈です。
公立高校出身の私は、我が子の通う中高一貫OBの愛校心と繋がりの強さに驚きを隠せません。
既にエリート街道を行くOBと繋がることで、自然とエリート街道を行くことになるようです。
こういうことが公立高校では無く。
私自身は公立高校しか知らなかったので、我が子の今の環境を知ることによって、公立高校と難関中高一貫校との差をひしひしと感じております。
（引用おわり）
（当ブログのコメント）
私立進学高校の方が公立高校よりも大学受験に有利だと考えます。
その理由は、私立進学高校は、高校２年までに、高校３年の数学を教えてしまい、高校３年の１年間は、受験勉強のみに集中するからです。
また、私立進学高校の学生は大学に進学する勉強に熱心で、塾にも通って、学力を強化することに熱心です。
そういう体制なので私立進学高校の方が大学進学には有利です。
《デメリット》
しかし、デメリットとして、学習進度が速いと、落ちこぼれると授業の進行について行けなくなる生徒が出ます。
（そういうデメリットは学習進度が速い高校なら、私立も公立高校も共通に持つ問題だと思います。）
高校の価値は、そういう落ちこぼれ生徒も等しく引き上げる。ゆっくり勉強派の学生も、時間がかかっても追いつかせて満足させる体制があるか否かにあると思います。
学校への愛校心が高い先輩が多い高校は、そういう問題にたいするフォローアップ体制もしっかりしている良い学校ではないかと思います。
（参考）進学校の授業のスピード その１
・・・
まずは某私立高校での数学と英語の授業スピードです。
数学に関しては高校１年の終わりまでに数１Ａ、数２Ｂの教科書が終わるだけでなく総復習まで終わるようです。
（当ブログのコメント：そもそも、中学３年のときに、高校の数１Ａが終わっていると思いますから、それほど進度が速いわけでもない。高校から新たに入学した生徒が追いつくのは大変ですが、、、）
授業でも教科書の内容だけでなく、大学の数学の話しも交えておこなっているようです。
つまり、高校２年になる前にセンター試験で満点を取れる生徒もいるということです。
当然やる気のある生徒は高校１年生のうちに独学で数３Ｃも終わらせています。
高校２年から数３Ｃがスタートして２学期までに教科書と復習が全て終わり、３学期からは完全に受験対策がはじまるそうです。
・・・
（当ブログのコメント）
以上、私立進学高校を推薦するコメントを書いて来ましたが、私立進学高校で生徒が勉強の進度についていけるのは、高校の授業だけで無く、塾に通って、速い授業の進度に遅れないように、塾の先生からも助けてもらっている実態があるからです。
もう１つ、塾に通わないでも数学が好きな生徒は、自分だけで学習して、トップレベルの国公立大学に合格した実例もあります。
また、高校の間一切数学を勉強しない完全な落ちこぼれ生徒が、大学受験の浪人の１年間だけで、数学が特に優秀になる学力の飛躍を遂げた事例もあります。
そもそも、数学の勉強は自分次第なので、自分の意識が大切と思います。
私立進学校の本当の価値は、単に数学の授業を速く進めるから、ということにあるのでは無く、「数学の勉強が面白いから勉強する」という雰囲気を学生の間に作り上げているのではないか。
数学が分からなくなった生徒がいたら他の生徒が援助する助け合いも多く行われていて、本当に、勉強が面白いという体験を生徒にさせて、生徒らが自分たちで学力を飛躍的に向上させる事に成功しているからではないかと推測します。
結論：高校生活の気持が良い高校が良い高校だと思います。生徒が良く遊べる高校が良い高校だと考えます。
リンク：
中学数学の目次
以下の問いかけがありました。
（引用開始）
神奈川、東京の中高一貫校生と公立高校受験組との差
投稿者: 巻き返し (ID:S6l6Es1iKHY) 投稿日時：17年 01月 03日 12:21
前者（私立）は最低でも小４から高度な受験勉強をして高校卒業時には難関大学受験に合わせ、しっかり結果が出るように仕上げてくる。
後者（公立）は前者（私立）に比べて高度な受験勉強時間そのものが平均して４年位少ないのではないかと推測します。
ですが、ここ最近、公立最難関校が十数年来の再注目を浴びてきております。注目を浴びるのは勝手なのですが本当にエリート街道と言われる私立、国立の、中高一貫校の方々と対等レベルまで張り合っていけるのでしょうか？
公立高校のカリキュラムや教育指導にその様なノウハウがあるとはとても思えないのですが。
皆さま、ここ最近の公立再注目報道、どの様にお感じになられますか？
投稿者: 根本的に全てが違う (ID:HCjeNKXThdo) 投稿日時：17年 01月 03日 16:13
最近の公立トップ校は学校が進学指導に力を入れ課題量も凄まじく、クラブ活動をせずに通塾という生徒も増えています。
学力も上がるでしょう。
ただ公立トップ高校へ入るために小5辺りから通塾し、中学でも通塾を軸にクラブは幽霊部員という生徒も増えています。
もちろん昔のように中学でもトップ校でも文武両道の生徒もまだまだいますが、公立トップ校へ入れば受験一辺倒になる生徒は多いです。
親も経済的余裕がないため現役で国公立大学合格を強くのぞんでいますので尚更です。
むしろ灘開成筑駒のような最難関私立中高一貫の生徒の方がのびのび遊び、その遊びもダイナミックで、しかも集中力が半端なく処理能力は高いですよ。
うちの子は某難関私立中高一貫の高校生で、
時折、公立高校の生徒さんたちと交流がありますが、
公立トップ校といえど、（私立中高一貫とは）経験数、活動の大きさ、発想力など全く違うと感じております。
余裕とかキャパの違い（公立高校の生徒の心には余裕が無い）といったようなものです。
私立中高一貫校の保護者もおおらかで余裕があります。
確かに学校が進学重視にシフトし進路指導をするようになり公立高校の学力も進学実績も上がりましたが、
高学力、かつ、学力だけではない次世代のエリート教育、
にはほど遠いと思います。
学力進学実績向上だけなら、拘束し馬車馬のように勉強させれば叶うでしょうが、
今の公立トップ校は、それにより、かえって（心に余裕が無くなり）次世代エリートというものから遠のくでしょう。
また余談ですが、
公立難関高校が、最難関中高一貫校に敵わない点は、
人脈です。
公立高校出身の私は、我が子の通う中高一貫OBの愛校心と繋がりの強さに驚きを隠せません。
既にエリート街道を行くOBと繋がることで、自然とエリート街道を行くことになるようです。
こういうことが公立高校では無く。
私自身は公立高校しか知らなかったので、我が子の今の環境を知ることによって、公立高校と難関中高一貫校との差をひしひしと感じております。
（引用おわり）
（当ブログのコメント）
私立進学高校の方が公立高校よりも大学受験に有利だと考えます。
その理由は、私立進学高校は、高校２年までに、高校３年の数学を教えてしまい、高校３年の１年間は、受験勉強のみに集中するからです。
また、私立進学高校の学生は大学に進学する勉強に熱心で、塾にも通って、学力を強化することに熱心です。
そういう体制なので私立進学高校の方が大学進学には有利です。
《デメリット》
しかし、デメリットとして、学習進度が速いと、落ちこぼれると授業の進行について行けなくなる生徒が出ます。
（そういうデメリットは学習進度が速い高校なら、私立も公立高校も共通に持つ問題だと思います。）
高校の価値は、そういう落ちこぼれ生徒も等しく引き上げる。ゆっくり勉強派の学生も、時間がかかっても追いつかせて満足させる体制があるか否かにあると思います。
学校への愛校心が高い先輩が多い高校は、そういう問題にたいするフォローアップ体制もしっかりしている良い学校ではないかと思います。
（参考）進学校の授業のスピード その１
・・・
まずは某私立高校での数学と英語の授業スピードです。
数学に関しては高校１年の終わりまでに数１Ａ、数２Ｂの教科書が終わるだけでなく総復習まで終わるようです。
（当ブログのコメント：そもそも、中学３年のときに、高校の数１Ａが終わっていると思いますから、それほど進度が速いわけでもない。高校から新たに入学した生徒が追いつくのは大変ですが、、、）
授業でも教科書の内容だけでなく、大学の数学の話しも交えておこなっているようです。
つまり、高校２年になる前にセンター試験で満点を取れる生徒もいるということです。
当然やる気のある生徒は高校１年生のうちに独学で数３Ｃも終わらせています。
高校２年から数３Ｃがスタートして２学期までに教科書と復習が全て終わり、３学期からは完全に受験対策がはじまるそうです。
・・・
（当ブログのコメント）
以上、私立進学高校を推薦するコメントを書いて来ましたが、私立進学高校で生徒が勉強の進度についていけるのは、高校の授業だけで無く、塾に通って、速い授業の進度に遅れないように、塾の先生からも助けてもらっている実態があるからです。
もう１つ、塾に通わないでも数学が好きな生徒は、自分だけで学習して、トップレベルの国公立大学に合格した実例もあります。
また、高校の間一切数学を勉強しない完全な落ちこぼれ生徒が、大学受験の浪人の１年間だけで、数学が特に優秀になる学力の飛躍を遂げた事例もあります。
そもそも、数学の勉強は自分次第なので、自分の意識が大切と思います。
私立進学校の本当の価値は、単に数学の授業を速く進めるから、ということにあるのでは無く、「数学の勉強が面白いから勉強する」という雰囲気を学生の間に作り上げているのではないか。
数学が分からなくなった生徒がいたら他の生徒が援助する助け合いも多く行われていて、本当に、勉強が面白いという体験を生徒にさせて、生徒らが自分たちで学力を飛躍的に向上させる事に成功しているからではないかと推測します。
結論：高校生活の気持が良い高校が良い高校だと思います。生徒が良く遊べる高校が良い高校だと考えます。
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中学数学の目次
2018年2月4日日曜日
三角形の外角の二等分線と外接円の交点
【問１】
三角形ＡＢＣの外接円Oを考える。∠Aの外角の二等分線が外接円Oと交わる点をPとする。
三角形ＰＢＣがＰを頂点とする二等辺三角形になることを証明しなさい。
この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。
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中学数学の目次
三角形ＰＢＣがＰを頂点とする二等辺三角形になることを証明しなさい。
この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。
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中学数学の目次
2018年1月26日金曜日
等しい角度を傾きで比較する問題
【問１】（難問）
点Ｏを原点とするＸＹ座標平面において、Ｙ軸上のＹ＝５の位置とＹ＝１の位置に点Ａと点Ｐがあり、
Ｘ軸上のＸ＝－２の位置とＸ＝６の位置に点Ｂと点Ｃがあり、
直線ＢＰと直線ＡＣの交点をＱとし、
直線ＣＰと直線ＡＢの交点をＲとするとき、
∠ＰＯＱ＝∠ＰＯＲ
となることを示しなさい。
Ｘ軸上のＸ＝－２の位置とＸ＝６の位置に点Ｂと点Ｃがあり、
直線ＢＰと直線ＡＣの交点をＱとし、
直線ＣＰと直線ＡＢの交点をＲとするとき、
∠ＰＯＱ＝∠ＰＯＲ
となることを示しなさい。
2018年1月20日土曜日
線分の長さが一定の証明
【問１】（難問）
円Ｏと、円Ｏの２つの直径ＡＢとＣＤが与えられている。
円Ｏ上の任意の点ＰからＡＢ，ＣＤに下ろした垂線の足をそれぞれＱ，Ｒとする。
線分ＱＲの長さが一定になることを証明しなさい。
この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。
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中学数学の目次
円Ｏ上の任意の点ＰからＡＢ，ＣＤに下ろした垂線の足をそれぞれＱ，Ｒとする。
線分ＱＲの長さが一定になることを証明しなさい。
この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。
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中学数学の目次
2018年1月14日日曜日
拡張三平方の定理
【三平方の定理】
上図の直角三角形で、式０であらわされた三平方の定理が成り立ちます。
【拡張三平方の定理】
上図の三角形で、式１であらわされた拡張三平方の定理が成り立ちます。
ａ１が小さくなって０になれば、この式１は式０に一致します。
（重要な注意）
以下、このページでこの拡張三平方の定理を証明します。この証明を自力で行なって知能ホルモンを分泌させたい方は、以下を読まないで、この拡張三平方の定理を証明してください。
それ以外の方には、以下で、この拡張三平方の定理の証明を解説しますので、見てください。
【拡張三平方の定理の証明】
三角形ＡＢＣに関して、以下の式が成り立ちます。
（証明おわり）
（補足）
式の対称性から、以下の式２も成り立ちます。
リンク：
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【拡張三平方の定理】
ａ１が小さくなって０になれば、この式１は式０に一致します。
（重要な注意）
以下、このページでこの拡張三平方の定理を証明します。この証明を自力で行なって知能ホルモンを分泌させたい方は、以下を読まないで、この拡張三平方の定理を証明してください。
それ以外の方には、以下で、この拡張三平方の定理の証明を解説しますので、見てください。
【拡張三平方の定理の証明】
三角形ＡＢＣに関して、以下の式が成り立ちます。
（補足）
式の対称性から、以下の式２も成り立ちます。
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