三角関数を勉強する意味

三角関数は、単位ベクトルのｘ成分とｙ成分を表わす関数です。
　三角関数を勉強する意味は、単位ベクトルの成分の間の関係を学ぶという意味を持ちます。

もし、三角関数という表現を使わない単位ベクトルの成分の関係をあらわす公式があれば、それは三角関数の公式でもあるという意味を持ちます。

また、三角関数の公式をベクトルの成分の記号を使って表わすと分かり易く表現できることもあります。

　高校生は、大人として完成する時期にいます。そのため、高校生は、もう大人として、自らで学ぶべき適切な知識を自ら発見して学んでいくのが良いと考えます。
　ベクトルの概念を教えない風潮がありますが、高校生になった学生は、そういう風潮に押し流されず自ら学び、単位ベクトルの成分を表わす三角関数を学んでいくのが良いと考えます。

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連立方程式の計算をやさしくする

連立方程式は、以下の様にすると計算が易しくなります

【問題１】
以下の連立方程式を解け。

【通常の解き方】

以上の式３と式４でｘとｙが求められた。
（解答おわり）

【工夫した解き方】
先ず、式１と式２の連立方程式から、以下の式５を作ります。

この式５と式１の連立方程式を解きます。

以上の式６と式７でｘとｙが求められた。
特に、この式７の計算は、楽に計算できた。
（解答おわり）

このように、連立方程式の係数を小さくする式の変換をしてから解くことで、連立方程式の計算が楽になりました。

【問題２】
以下の連立方程式を解け。

【工夫した解き方】
 先ず、式１と式２の連立方程式から、以下の式３を作ります。

 この式３と式１の連立方程式を解きます。

以上の式４と式５でｘとｙが求められた。
特に、この式５の計算は、大きな分母を持つ分数の計算でしたが、楽に計算できました。
（解答おわり）

（補足）
　以上の計算において、最後のｙの計算が楽にできたのは、先に得たｘの値を代入する式（問題２の式３等）のｙの係数が１にしてあったからです。

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裏正弦定理

正弦定理の裏の定理の、裏正弦定理があります

下図のように三角形の周りに、その外接円とその円の中心（外心）とを描きます。

上の図で、三角形の頂点の角度∠Ａ＝θが外接円の円周角であり、それは中心角∠ＢＯＣの２分の１であることに注目すると、
三角形の外接円の半径Ｒと、三角形の頂点の角度∠Ａ＝θとその頂点Ａへの対辺ＢＣに対する外接円の中心Ｏの高さｍ_Ａとの間に、以下の関係式が成り立つことがわかります。

すなわち、∠Ａ＝θであらわすと、

この式を変形すると、

です。

同様に、

が成り立ちます。
　 　　 　 

これらが裏正弦定理です。
裏正弦定理は、上の図の様に、円周角の定理と密接に結びついた定理です。

　円周角に関係が深い問題は正弦定理又は裏正弦定理を使って解きましょう。

（後に学ぶ余弦定理は円周角に関する問題を解くのが苦手で、高校２年で学ぶベクトル方程式も円周角に関する問題を解くのが苦手です。それらの問題に正弦定理を使って解いてください。）

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余弦定理
正弦定理の応用（三角形の面積）
sinθとcosθの連立方程式で式からθを除去する方法
三角形の重心
三角形の垂心
三角形の内心
高校数学（三角比・図形）一覧
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ベクトルの張る三角形の面積

　２つのベクトルａとｂの張る三角形の面積はベクトルの外積で計算できます。
　しかし、その三角形の面積をベクトルの内積であらわそうとする場合は、ベクトルａを反時計回りに９０度回転させたベクトルａ_ｖ又はベクトルｂを反時計回りに９０度回転させたベクトルｂ_ｖを考えて、内積
ａ_ｖ・ｂ＝－ｂ_ｖ ・ａ
の２分の１で三角形の面積をあらわす事が望ましいです。
各ベクトルの成分は以下の通りです。

　ベクトルの内積演算には、三角形の面積をあらわすことが不得意だという弱点があります。
　その弱点を補うために、与えられたベクトルａやｂに加えて、それらを９０度回転させたベクトルａ_ｖ又はベクトルｂ_ｖを追加して計算に用います。その新たに加えたベクトルを使った内積の計算によって三角形の面積があらわせるのです。
　 そうしないで、すなわち、ベクトルａ_ｖ又はベクトルｂ_ｖを追加しないで、無理やりにベクトルの内積で三角形の面積を表わそうとすると計算が難しくなります。

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ベクトルの直線と点との距離及びベクトルの張る三角形の面積
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三角形の３頂点のベクトルの張る三角形の面積比の公式

【問】

上図の三角形ＡＢＣ内の点Ｘから頂点Ａ，Ｂ，Ｃに引いたベクトルａ，ｂ，ｃの間に式１の関係が成り立つ場合に、
そのベクトルの張る三角形の面積の間に式２の関係が成り立つことを証明せよ。

この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。

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ベクトルの概念の範囲

　ベクトルの概念により、先ずは、
座標（ｘ，ｙ）を２次元ベクトルであらわすことができます。
座標（ｘ，ｙ，ｚ）も３次元ベクトルであらわすことができます。

しかし、ベクトルの概念の適用範囲は、この種の座標の表現手段に留まりません。

多項式：
１＋２ｘ＋３ｘ^２＋４ｘ^３
は、
（１，２，３，４，０，０，０，０，０，０，・・・・）
という無現次元のベクトルであらわすことができ、
多項式：
９＋８ｘ＋７ｘ^２＋６ｘ^３＋５ｘ^４＋４ｘ^５＋３ｘ^６＋２ｘ^７＋ｘ^８
は、
（９，８，７，６，５，４，３，２，１，０，０，・・・・）
という無現次元のベクトルであらわすことができます。

また、
三角関数群の多項式：
９＋８sinθ＋７sin(２θ)＋６sin(３θ)＋５sin(４θ)＋４sin(５θ)＋３sin(６θ)
も、
（９，８，７，６，５，４，３，０，０，０，・・・・）
という無現次元のベクトルであらわすことができます。

　このように、ベクトルを表わす場合、そのベクトルの要素が何を表わしているかという前提条件が必須な条件として存在します。

（補足）
　そもそも、三角関数も、以下の式であらわすことができます。

（マクローリン展開とオイラーの公式参照）

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円の面積を積分で求める

「微分・積分」の勉強

（１）積分：
　以下の問題を考えます。
【問題】 
　半径 １ の円の面積Ｓをπと定義する。
面積Ｓ＝π
この面積Sを求めよ。

（解答）
　この問題は、以下の様に解くことができます。

　円を、以下の図の様な短冊に分割し、その１つの短冊の面積Δｓを計算します。 
短冊の幅をΔｘとします。

円を分割する間隔のΔｘあたりの短冊で、その中心の位置のX座標がｘの短冊の面積Δｓが以下の式１で求められます。

この短冊の面積の総和が円の面積です。

 この円の面積を求めるための、円の短冊への分割数を１０から８０まで変えて短冊の面積の総和をエクセル計算表を使って計算した結果、以下の表１の値が得られました。

【表１　円の面積の近似】

円の短冊への分割数を８０まで増やしたら、円の面積が近似的に３．１４になりました。
（解答おわり）

　この様に、要素に分割して総和を計算することが「積分」をするということです。
　積分という概念は、人間の思考視野を広げる思考パターンとして受け止められて初めて、身に付いた数学思想となります。その積分の概念を、身に付き易いよう、わかりやすく書いてある本：
『「超」入門　微分積分』（神永　正博）
を読むことをお勧めします。読めば、積分が面白くなると思います。

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ベクトル計算での挫折を回避する方法

　ベクトル計算は本質的に、余弦定理に関連する計算に向いています。正弦定理や円周角の定理で解ける問題は、ベクトル計算を使わないで、正弦定理や円周角の定理を使った図形問題として解く方がスムーズに解けます。正弦定理や円周角の定理を使った図形問題として解くべき問題をベクトル計算だけで解こうとすると挫折します。

　しかし、以下の様な、円周角の定理の公式１を使うことで、挫折を回避して問題を解くことができます。

　上図で、三角形ＡＢＣの外接円の半径をＲとすると、円周角の定理が次の式１であらわされる。
ｃｏｓＡ＝ｍ／Ｒ　（１）

この式１は、円周角の定理から素直に導き出した式であり、ベクトル計算で導こうとするととても苦労する式です。
この式１を円周角の定理を表現した式として覚えて使うことで、通常は挫折するベクトル計算の挫折を回避することができます。

【問題１】
　以下の図の三角形において、
｜ＢＡ｜・｜ＣＡ｜＝２Ｒ・ｈ　（式３）
 が成り立つことを証明せよ。

【解答】
　上の式を使った以下の計算で、ベクトルＢＡとベクトルＣＡの内積を変形します。
・・（式２）
以上で、ベクトルの内積の式を変形した結果、外接円の中心の高さｍをベクトルの内積で計算する定理（式２）が得られました。

一方、ベクトルの内積から以下の式が得られます。

式２にこの式を代入し、更に、円周角の定理の式１を代入する。

これで式３が得られました。
（証明おわり）

　しかし、この式３は、正弦定理を使うことで速やかに導かれますが、式１を使わない通常のベクトル計算では、容易には解けずに挫折する問題です。

　この問題が式１を使うことで解けたのは、式１は正弦定理の同類の円周角の定理を表現した式であり、式１を使うことで円周角の定理を使って問題を解いたからです。

　このように、正弦定理や円周角の定理を使わないと挫折する問題は、式１のように円周角の定理をベクトル計算の中に組み込んで使うことで、挫折を回避して解くことができるようになります。

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