2017年12月13日水曜日

点を微小に移動し接弦定理と拡張円周角の定理を思い出す

【接弦定理】
 以下のように、点Tを微小に移動した点Uを考えて、接弦定理を一瞬で思い出しましょう。


【拡張円周角の定理】
 以下のように、点Tを微小に移動した点Uを考えて、拡張円周角の定理を一瞬で思い出しましょう。


【拡張接弦定理】
 上図を見ると、以下の拡張接弦定理が成り立っていることもわかります。

結局、下図を考えて、点U及び点U’の位置が大きく移動すると考えれば良いことがわかりました。
また、下図のように点U及び点U’の角度が移動すると想像するのも良いと考えます。
また、接弦定理を下図の角度の関係で覚えると覚え易いかもしれません。

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2017年12月12日火曜日

2017年12月11日月曜日

2017年12月7日木曜日

自分の想像力を助けることを覚えること

おぼえるべきことは、あたりまえに見えて簡単に思い出せ自分の想像力の助けになる簡単な事実(公式)です。
平面αと平面βの交線OPに対して垂直な平面γを考える。その平面γは平面α及び平面βに垂直である。
平面γと平面α及び平面βとの交線の間の角度が、平面αと平面βの成す角度である。

おぼえるべきことは、あたりまえに見えて簡単に思い出せ自分の想像力の助けになる簡単な事実(公式)です。

簡単な事実(公式):
平面α及び平面βに垂直な平面γは、平面αと平面βの交線OPに対して垂直である。
逆に、平面αと平面βの交線OPに対して垂直な平面γは平面α及び平面βに垂直である。

これを覚えれば、想像力が良く働くようになるので、これを覚えます。
おぼえるべき公式は、簡単に思い出せること(公式)であると思います。

この公式(事実)を覚えると、以下のように想像力が働きます。
三角形PABに垂直な平面であって、直線OPを含む平面OPNMを考える。
その平面OPNMは、平面γへの垂直線OPを含むので平面γに垂直である。
平面OPNMは、平面PABに垂直であって、かつ、平面γに垂直なので、両平面の交線ABに垂直である。
よって、直線ABと平面OPNM上の全ての直線とは垂直である。
そのため、直線OMも直線PMも、直線ABに垂直である。

こうして、三角形PABに垂直な平面であって、直線OPを含む平面OPNM上の直線OMも直線PMも、直線ABに垂直であることが想像できた。

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2017年12月6日水曜日

直方体の角の断片の四面体の展開図

【問1】(これも難問だと思う)
 上図の三角形ABCがある場合に、その三角形ABCを底面とする四面体で、下図のように、直方体の角Hの断片の四面体HABCを作る展開図の直角三角形の頂点H,H’,H’’を作図せよ。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページにあります。

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2017年12月4日月曜日

平面の水平面に対する傾き

【問1】
 上図のように、直方体ABCD-EFGHがある。
AB=1
BC=2
AE=1
とする。
第1の平面αと第2の平面βの成す角度を、両平面の交線上の点Oから、交線に対して垂直に両平面に引いた直線の間の角度であると定義する。そして、平面α側の直線が平面β側の直線に対する傾きを、平面αの平面βに対する傾きであると定義する。

図の平面EBDの、水平面ABCDに対する傾きを求めよ。

(解答の方針) 
(1)立体図形は、平面図形の問題に変換して解く。 
(2)平面αと平面βの交線OPに対して垂直な平面γを考える。その平面γは平面α及び平面βに垂直である。平面γと平面α及び平面βとの交線を考える。その2つの交線の間の角度が、平面αと平面βの成す角度であり、その角度が交線同士の傾き=平面αの平面βに対する傾きを与える。

この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。

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2017年12月3日日曜日

立体図形の想像力

【立体図形の平面PBRQ】
上図で、平面PBRQを想像するとき、
その平面に交差する、2つの平行する平面ABCDと平面EFGHを広げた下の図を想像してください。
このように上下の平行平面を広げて想像すると、平面PBRQが平面PBR’Qに拡大されて、見易くなります。
そして、その平面PBR’Qに垂直な平面AETSが想像し易くなります。

 2つの平行する平面PBR’Qと平面AB’C’D’が、他の平面EF’G’H’と交差する交線PBと交線QR’については、
両交線は同じ平面PBR'Q上の2つの直線なので、ねじれの関係はあり得ず、交差するか平行線になるかのどちらかです。両交線は、交差することがありえない平行する2つの平面上の直線なので、交線PBとQR’は平行です。

 平面PBR’Qと平面AETSが垂直であるならば、以下の関係が全部成り立ちます。逆に以下の関係のどれかが成り立つなら、両平面は垂直です。
(1)平面AETS上の2本の直線ASと直線AEが、平面PBR’Q上の1本の直線PBに対して垂直である。
(2)また、両平面の交線KLに垂直な、平面AETS上の1本の直線EMが、平面PBR’Q上の全ての直線に垂直な垂線である。
(3)また、両平面の交線KLに垂直な、平面PBR’Q上の1本の直線PBが、平面AETS上の全ての直線に垂直な垂線である。

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