2019年1月5日土曜日

点Aを通る直線の円への接点は図形で求めること

【問1】
 座標原点を中心にする半径1の円(x+y=1)に対して、点A( a,0)から引いた接線の円との接点Bの座標をもとめよ。
上の図で線分OAの長さをaとする。

(予備知識)
受験問題のときは、円と直線の方程式の問題は、図形で考えます。図形で解く方が速く解が得られるし、計算の見通しを良くするからです。

この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。

この問題を自力で解いた後で、解答も読んでください。
参考になる解説を書きましたので。

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2019年1月4日金曜日

二角挟辺が分かっている三角形の残りの辺の長さ

【問1】 下図の三角形ABCで角Bと各Cの三角比と、その二角の間の辺BCの長さが分かっているとき、
残りの辺の長さcを求めよ。

この問題の解答はここをクリックした先にあります。

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二辺挟角から残りの角の三角比を求める

【問題1】
下図の三角形ABCの辺の長さcとaと、その間の頂角B=θが分かっているとき、
残りの頂角AとCの三角比を求めよ。
(解説)
ベクトルの内積を余弦定理より先に学んでベクトルの内積で余弦定理を導き出した学生は、余弦定理をベクトルの内積により計算できます。

【解答】
頂角AとCの三角比は、
このxの式を使って、以下の図を使って計算できる。
頂角AとCのcosについては、以下の図を使って計算できる。

(解答おわり)

(注意)
 三角形の頂角Aのcosの値は正だけで無く負の値もあるので、
sinを求めた値から、
1=(sinA)+(cosA)
を利用してcosを求める場合、その値が正か負かがわからない。
そのため、cosを求める際には、sinの値から計算せずに、sinとは独立に計算する事が望ましい。

 一方、三角形のsinAは常に正であるので、cosを求めた値から以下のように計算してsinAを求めても良い。


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2019年1月3日木曜日

三角形の3辺から頂角の三角比を求める

「三角形の外接円の半径Rを三角形の3辺からもとめる」ページの結論:

(ただし、辺の長さaとbとcを入れ替えた式も同じ値になる。また、この式は更に因数分解できる。)

この式と正弦定理から、角Aのsinが以下の式で計算できます。

なお、余弦定理から、角Aのcosが以下の式で計算できます。
このcosAから、再度sinAを、以下の様に計算してみます。

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三角形の2角の三角比から残りの角の三角比を求める

「三角形の垂心の図の全ての線分を三角関数の積で表す」のページから分かる事:


線分BCを見ると:
 sinA=(sinC・cosB)+(sinB・cosC) (1)
線分ADを見ると:
 cosA=(sinB・sinC)-(cosB・cosC) (2)

このように、三角形ABCの角Bと角Cの三角比が分かっているとき、
残りの角Aの三角比が、式1と式2で求められる。

 この式1と2は、高校2年になると、三角関数の加法定理で学びます。

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2018年12月28日金曜日

2018年12月27日木曜日

接線と接点の定義

(接線の定義)
 連続なグラフ上に2点A,Bを取って、その2点をその間の1点のCに無限に近づけた時に、その2点A,Bを通る直線が1つの直線に収束する場合に、その直線を、そのグラフの、点Cにおける接線と呼び、点Cを接点と呼びます。
例えば、上図のようなY軸に平行な直線
x=k
と円とが接する条件は、
直線と円との2つの交点が1つの点になる極限で、直線が円に接する。
その条件は、
k=-1、または、k=1
である。
その場合にyの値が重解0になる。

また、下図のような直線
y=x+k
と円が接する条件を求める。
直線と円との2つの交点が1つの点になる極限で、直線が円に接する。
その条件は、
kの二乗=2
である。
その場合にxの値が重解(=-k/2)になる。

交点(x,y)の解が重解になる場合に、 直線と円が接する。
それは、上図の様にxの解が重解になる場合や、yの解が重解になる場合がある。

(注意1)
 グラフの不連続点や、グラフが滑らかでは無く折れ曲がっている点においては、その点における接線は考え無いことにする。その不連続点や折れ曲がり点に接する直線があるかもしれないが、その点における「接線」については考え無いことにする。

(注意2)
 関数の変数を変換すると、接する2つグラフが接さない2つのグラフに変換される例を考える。
 下の2つの関数のグラフはO点で接しています。
しかし、この2つの関数の変数xを、以下のグラフで表される関数X(t)を使って変数tに変換してみます。
この関数X(t)のグラフは、
t=0の点での傾き(関数のtによる微分係数)が無限大になってしまい、t=0では微分可能で無いという特徴があるグラフです。

この関数で元の2つの関数の変数xを変数tに変換してあらわすと以下の2つのグラフになります。
元の2つのグラフの変数xを変数tに変換した2つのグラフはO点で接さず交差しています。

 変数を変換すると、このように、互いに接する2つのグラフが、交差はするが接さない2つのグラフに変わってしまうことがあることに気をつけましょう。

 なぜ、その様なことが起こるのでしょうか?
 それを自力で考えていく事が数学を勉強する良い態度だと思います。
 原因が分からなければ、数学の信用できる参考書で勉強しましょう。しかし、結局は、その答えは自力で考えることになりますが、、、


 その様なおかしな事が起こる場合は、変数tのその値で微分可能では無い関数を使って変数を変換すると生じ得ます。おかしな事が起こらないようにする1つの十分条件として、変数変換に使う関数を、変数のその値で「微分可能」な関数を使えば、変数がその値の部分でのグラフにはおかしな事が起こりません
 「微分可能」は、このようにおかしな事が起こらないようにする十分条件なのです。これが、「微分可能」と「微分不可能」を区別する意味だと考えます。

 この「微分可能」によって、自然な直感で想像できる事がどのようにして生じ得るかの答えは、「合成関数の微分の公式」によって明らかにされますので、それまで地道に勉強を進めて欲しいと思います。

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2018年12月24日月曜日

2018年11月25日日曜日

三角比の分数式の変換

 三角比は、角度θをあらわすのに、cosθとsinθとの2つの表し方があり、複雑です。
 また、三角比は、以下の公式の様に、同じ値が、2つ以上の三角比の式で表されるという複雑な性質を持っています。そのため、その同じ値の2つの三角比の式同士を相互に変換できるように頭を整理しておきましょう。

【公式1】
分数式の分母が0になる場合を除き、
以下の式1及び1’:
が成り立つ事を証明せよ。

【公式2】 
分数式の分母が0になる場合を除き、
以下の式2及び2’:
が成り立つ事を証明せよ。

【公式3】
分数式の分母が0になる場合を除き、
以下の式4:
及び、
が成り立つ事を証明せよ。

【公式4】
分数式の分母が0になる場合を除き、
以下の式5:
及び、
が成り立つ事を証明せよ。

この問題の解答はここをクリックした先にあります。
これらの問題を解いたら解答も見てください。補足したコメントも書きましたので。 

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