理不尽な定積分

【問１】以下の定積分を計算せよ。


【解１】
　先ず、この積分の被積分関数の不定積分を以下の計算により求める。

この不定積分は、θ＝０の場合では定義されていない関数ではありますが、
以上の不定積分の計算は正しい計算です。
　しかし、この不定積分の結果の関数を使って以下の計算をするのは厳密に言うと誤りです。
（以下の計算に使えないからと言って、この不定積分が不完全であると言うのは、高校生には酷である。高校生には、そこまでの不定積分の完全性は求められていない。）

なぜならば、定積分する区間内の点、θ＝０、で定義されていない不定積分の関数Ｆを、その区間での定積分の計算に使用することはできないからです。
〘補足〙被積分関数を（θ＝０を含む）定義域の範囲内で積分して得た不定積分は、（θ＝０を含む）定義域の範囲内で連続な関数Ｆになることが分かっている。得られた不定積分の式Ｆがたとえθ＝０で定義されなくても、それは見せかけであって、真の不定積分はθ＝０でも連続な関数と定義されている。そして、θ＝０の点での極限値が存在する。
具体的に言うと、θ＝０の点で定義されないこの不定積分の関数Ｆは、以下に計算するように、θ→０での極限値が存在する。

このθ→０で極限値を、θ＝０での不定積分の関数の値と定義して、θ＝０の点で関数Ｆを連続な関数の不定積分に拡張できる。
そのため、最初に得た不定積分の関数Ｆのθ＝０以外の点の関数値は、「θ＝０での関数値を定義して補ったθ＝０でも連続なある関数」の値を表している。それゆえ、この不定積分の関数Ｆを使った上記の計算で定積分の解を求めても正しい解を得ることができる。高校生には、「積分可能性」については教えていないので、高校生は大学入学試験で上記の計算をして、定積分の解を求めても良いと思う（その解き方は、入学試験を行う大学としては、満点を与えるには難があるので、少し減点されるとは思う）。

厳密な計算をするためには、以下の式変形を行うことで、「θ＝０での関数値を定義して補ったθ＝０でも連続なある関数」を求める。


この計算によって、定積分する区間内の点、θ＝０、でも定義された関数が求められたので、この関数を使って定積分します。

（解１おわり）

【解２】
　先ず、この積分の被積分関数の不定積分を以下の計算により求める。

この不定積分の結果の関数を使って以下の計算をする。

（解２おわり）

【問２】以下の定積分を計算せよ。


【解１】
　先ず、この積分の被積分関数の不定積分Ｆを以下の計算により求める。

ここで残った以下の不定積分Ｇを計算する。


この不定積分を合わせて、求める不定積分Ｆを得る。

この不定積分は、θ＝０の場合では定義されていない関数ではありますが、
以上の不定積分の計算は正しい計算です。
　しかし、この不定積分の結果の関数を使って以下の計算をするのは厳密に言うと誤りです。
（以下の計算に使えないからと言って、この不定積分が不完全であると言うのは、高校生には酷である。高校生には、そこまでの不定積分の完全性は求められていない。）

なぜならば、定積分する区間内の点、θ＝０、で定義されていない不定積分の関数Ｆを、その区間での定積分の計算に使用することはできないからです。
〘補足〙被積分関数を（θ＝０を含む）定義域の範囲内で積分して得た不定積分は、（θ＝０を含む）定義域の範囲内で連続な関数Ｆになることが分かっている。得られた不定積分の式Ｆがたとえθ＝０で定義されなくても、それは見せかけであって、真の不定積分はθ＝０でも連続な関数と定義されている。そして、θ＝０の点での極限値が存在する。
具体的に言うと、θ＝０の点で定義されないこの不定積分の関数Ｆは、以下に計算するように、θ→０での極限値が存在する。

このθ→０で極限値を、θ＝０での不定積分の関数の値と定義して、θ＝０の点で関数Ｆを連続な関数の不定積分に拡張できる。
そのため、最初に得た不定積分の関数Ｆのθ＝０以外の点の関数値は、「θ＝０での関数値を定義して補ったθ＝０でも連続なある関数」の値を表している。それゆえ、この不定積分の関数Ｆを使った上記の計算で定積分の解を求めても正しい解を得ることができる。高校生には、「積分可能性」については教えていないので、高校生は大学入学試験で上記の計算をして、定積分の解を求めても良いと思う（その解き方は、入学試験を行う大学としては、満点を与えるには難があるので、少し減点されるとは思う）。

厳密な計算をするためには、以下の式変形を行うことで、「θ＝０での関数値を定義して補ったθ＝０でも連続なある関数」を求める。

この計算によって、定積分する区間内の点、θ＝０、でも定義された不定積分の関数Ｆが求められたので、この関数Ｆを使って定積分します。

（解１おわり）

【解２】
　先ず、この積分の被積分関数の不定積分を以下の計算により求める。


この不定積分の結果の関数を使って以下の計算をする。

（解２おわり）

〘補足〙覚えておこう
分母が０にならない条件下で、以下の公式が成り立つ。


【問３】以下の定積分を計算せよ。


【解１】
　先ず、この積分の被積分関数の不定積分を以下の計算により求める。

この不定積分は、θ＝π/2 の場合では定義されていない関数ではありますが、
以上の不定積分の計算は正しい計算です。
　しかし、この不定積分の結果の関数を使って以下の計算をするのは厳密に言うと誤りです。
（以下の計算に使えないからと言って、この不定積分が不完全であると言うのは、高校生には酷である。高校生には、そこまでの不定積分の完全性は求められていない。）

なぜならば、定積分する区間内の点、θ＝π/2 、で定義されていない不定積分の関数Ｆを、その区間での定積分の計算に使用することはできないからです。
〘補足〙被積分関数を（θ＝π/2 を含む）定義域の範囲内で積分して得た不定積分は、（θ＝π/2 を含む）定義域の範囲内で連続な関数Ｆになることが分かっている。得られた不定積分の式Ｆがたとえθ＝π/2 で定義されなくても、それは見せかけであって、真の不定積分はθ＝π/2 でも連続な関数と定義されている。そして、θ＝π/2 の点での極限値が存在する。
具体的に言うと、θ＝π/2 の点で定義されないこの不定積分の関数Ｆは、以下に計算するように、θ→π/2 での極限値が存在する。

このθ→π/2 で極限値を、θ＝π/2 での不定積分の関数の値と定義して、θ＝π/2 の点で関数Ｆを連続な関数の不定積分に拡張できる。
そのため、最初に得た不定積分の関数Ｆのθ＝π/2 以外の点の関数値は、「θ＝π/2 での関数値を定義して補ったθ＝π/2 でも連続なある関数」の値を表している。それゆえ、この不定積分の関数Ｆを使った上記の計算で定積分の解を求めても正しい解を得ることができる。高校生には、「積分可能性」については教えていないので、高校生は大学入学試験で上記の計算をして、定積分の解を求めても良いと思う（その解き方は、入学試験を行う大学としては、満点を与えるには難があるので、少し減点されるとは思う）。

厳密な計算をするためには、以下の式変形を行うことで、「θ＝π/2 での関数値を定義して補ったθ＝π/2 でも連続なある関数」を求める。

この計算によって、定積分する区間内の点、θ＝π/2 、でも定義された関数が求められたので、この関数を使って定積分した。
（解１おわり）

【解２】
　先ず、この積分の被積分関数の不定積分を以下の計算により求める。

上記で最後に、その不定積分の結果の関数を使って定積分した。
（解２おわり）

〘補足〙覚えておこう
分母が０にならない条件下で、以下の公式が成り立つ。


場合の数と確率
リンク：高校数学の目次

円順列とじゅず順列（２ａ）黒玉２つ白玉２つ

円順列とじゅず順列の数を求めます。

【問２ａ】
（１）玉●２個と○２個を円形に並べる方法（円順列）は何通りあるか。
（２）更に、それらを連結したじゅずを作る方法（じゅず順列）は何通りあるか。


この問題の解答はここをクリックした先にある。

場合の数と確率
リンク：高校数学の目次

不等式の証明・相加・相乗平均

【問１】
　２つの正の実数ａとｂに対して、
相加平均≧相乗平均
が成り立つことを導き出せ。

【解答】
　２つの正の実数ｘとｙに係る以下の計算をすることで、それが導き出せた。


【問２】
　３つの正の実数ａとｂとｃに対して、
相加平均≧相乗平均
が成り立つことを導き出せ。

【解答】
　３つの正の実数ｘとｙとｚに係る以下の計算をすることで、それが導き出せた。


【問３】
　４つの正の実数ａとｂとｃとｄに対して、
相加平均≧相乗平均
が成り立つことを導き出せ。

【解答】
　４つの正の実数ｘとｙとｚとｗに係る以下の計算をすることで、それが導き出せた。

　
【問４】
　実数ａとｂとｃに対して以下の式が成り立つことを示せ。


【解答】
　３つの実数ｘとｙとｚに係る以下の計算をすることで、それが示せた。

（導出おわり）

リンク：
ｎ変数の相加平均≧相乗平均の証明
高校数学の目次

区別できない４個の玉を、区別できない２組に分ける組み分けの数

【問１】
　区別できない４個の玉を、(各組に１個以上は入れて）Ａ組とＢ組に分ける組み分けは何通りあるか。

【問２】
　区別できない４個の玉を、(各組に１個以上は入れて、組の区別なく)２つの組に分ける組み分けは何通りあるか。

【問３】
　区別できない６個の玉を、(各組に１個以上は入れて）Ａ組とＢ組とＣ組に分ける組み分けは何通りあるか。

【問４】
　区別できない６個の玉を、(各組に１個以上は入れて、組の区別なく)３つの組に分ける組み分けは何通りあるか。

【問４ｂ】
　区別できない６個の玉を、(０個の組があっても良く、組の区別なく)３つの組に分ける組み分けは何通りあるか。

この問題を自力で解いたあとで、ここをクリックした先の解答も見てください。参考になる解説があります。

【問５ａ】
（各人が区別された）６人を（各組に１人以上入れて）組Ａと組Ｂと組Ｃに分ける組分けは何通りあるか。

【問５ｂ】
（各人が区別された）６人を（各組に１人以上入れて）組の区別がない３組に分ける組分けは何通りあるか。

この問５ａと５ｂの解答は、ここをクリックした先のページの問３ａと問３ｂの解答にある。

〘見ておこう〙ここをクリックした先のサイト「6個のボールを3つの箱に入れる問題」は見ておきましょう。

〘覚えておこう〙なお、ここをクリックした先のサイトの「組分け問題全パターン」は覚えておきましょう。

リンク：
高校数学の目次

場合の数の問題を「１対１対応」させて変換する方法

【問題１】
「数学Ⅰ・A入門問題精講」の２０２ページ
応用問題４(1)
問題①、9人を3人ずつ ３つの部屋A,B,Cに分ける方法は何通りあるか。

【解答】
　入門問題精講の説明する「１対１対応」の概念は、不完全であり、この問題を解く指針としては不適切である。
問題が含む事象に「１対１対応させた」事象の連鎖が明確に把握できなければ、問題を他の問題に置き換えられない。この問題①の事象の連鎖を、以下のように、事象の根元までさかのぼって把握することで、初めて、この問題①のその根元事象と１対１に対応する根元事象を持つ問題②に問題①を置き換えることができる。そうして、問題①の事象の連鎖を問題②の事象の連鎖に１対１に対応させて問題を①から②に置き換えて、置き換えた問題②を解くことができるのである。

「問題①、9人を3人ずつ ３つの部屋A,B,Cに分ける方法は何通りあるか。」
この問題①の根元事象を、
（A部屋1人目,A部屋2人目,A部屋3人目,B部屋1人目,B部屋2人目,B部屋3人目,C部屋1人目,C部屋2人目,C部屋3人目)
という事象の連鎖に「１対１に対応させて」把握する。

（注意）
　「複数の玉を同時に取り出す確率の問題とコンビネーションを用いて良い定理」のサイトの結論により、「同時に」人を選ぶ問題であっても、時間差をもうけて「順番に」人を選ぶ問題と考えて、事象の連鎖を、人を順番に選んだ事象の連鎖というわかり易い根元の事象の連鎖であらわして解くのが良い。その方針に従って、上記の事象の連鎖を考えるのである。
（注意おわり）

　この事象の連鎖の集合に対しては、
以下の操作が必要であることがはっきりと把握できる。
A部屋1人目,A部屋2人目,A部屋3人目
の３人が変わらない、「何人目」であるかだけが変わったあらゆるバラエティの事象の連鎖は、同じ１つの分け方であるとみなして１つのグループと数える。
「このように区別した、異なる分け方のグループの数はいくつあるか」という問題なのである。

この様に問題を解析して、事象の連鎖を定義する。

そのように定義された事象の連鎖は、
「問題②、9人を順番に並べる。その順列の先頭から3人ずつ を仕切りで区切って（仕切りは２つある）３つのグループに分ける。
その仕切りで区切られた３人のメンバーが同じであれば、その３人の並び方は同じ１つの並び方であると数えることにする。」

という問題②の、
「９人を順番に並べる。その順列の先頭から3人ずつ を仕切りで区切って３つのグループに分ける。」
という９人を並べる事象の連鎖と、
「１対１に対応する」。

そして、問題①における、
「以下の操作が必要である。
A部屋1人目,A部屋2人目,A部屋3人目
の３人が変わらない、「何人目」であるかだけが変わったあらゆるバラエティの事象の連鎖は、同じ１つの分け方であるとみなして１つのグループと数える。」
という操作が、
問題②における、
「その仕切りで区切られた３人のメンバーが同じであれば、その３人の並び方は同じ１つの並び方であると数えることにする。」
に対応するのである。

そのため、問題①の、異なる分け方の数は、問題②の数え方での異なる並び方の数を以下の式で数える、ことで求めることができる。

（解答おわり）

【問題２】
　赤玉３個、白玉３個、黒玉３個の合わせて９個の玉が入っている袋から、順番に９個の玉を全部取り出して一列に並べる。この操作で並べる玉の配置で、玉の色が作る色模様が異なる玉の配置は何種類あるか。

【解１】
　問題２の事象の連鎖を、 (玉名,配置順)の組み合わせにおいて、玉の配置順の１つ目から９つ目までの玉名を列記した事象の連鎖の：
（1つ目の玉名,２つ目の玉名,３つ目の玉名,４つ目の玉名,５つ目の玉名,６つ目の玉名,７つ目の玉名,８つ目の玉名,９つ目の玉名)
であらわす。
その事象の連鎖の数は９！個ある。
　ここで、玉の順列の１つの色模様を構成する、玉の順列のバラエティは、
(1) 色模様の３か所の赤玉を３つの玉で構成するバラエティの数３！と、
(2) 色模様の３か所の白玉を３つの玉で構成するバラエティの数３！と、
(3) 色模様の３か所の黒玉を３つの玉で構成するバラエティの数３！と、
の積の(３！)(３！)(３！)
がある。
そのため、
玉の配置の、異なる色模様の数は、
(９！)／{(３！)(３！)(３！)}
ある。
（解１おわり）

【解２】
　以下に玉名を定義する
赤玉１＝玉１とする。
赤玉２＝玉２とする。
赤玉３＝玉３、
白玉１＝玉４、
白玉２＝玉５、
白玉３＝玉６、
黒玉１＝玉７、
黒玉２＝玉８、
黒玉３＝玉９とする。

　解２の事象の連鎖を、 (玉名,配置順)の組み合わせにおいて、玉１から玉９までの玉の配置順を列記した、
（玉１の配置順，玉２の配置順，玉３の配置順，玉４の配置順，玉５の配置順，玉６の配置順，玉７の配置順，玉８の配置順，玉９の配置順)
という事象の連鎖であらわす。
その事象の連鎖の数は９！個あり、それらが、解１の事象の連鎖と１対１で対応している。

　３つの赤玉に係る、配置順の集合が同じで、その集合の要素の順番だけが変わったあらゆるバラエティ(３！)の事象の連鎖は、同じ１つの色模様をあらわす。
　３つの白玉に係る、配置順の集合が同じで、その集合の要素の順番だけが変わったあらゆるバラエティ(３！)の事象の連鎖は、同じ１つの色模様をあらわす。
　３つの黒玉に係る、配置順の集合が同じで、その集合の要素の順番だけが変わったあらゆるバラエティ(３！)の事象の連鎖は、同じ１つの色模様をあらわす。
　そのため、
玉の配置の、異なる色模様の数は、
(９！)／{(３！)(３！)(３！)}
ある。
（解２おわり）

【問題３】
　９人を順次に、ｘ部屋，ｙ部屋，ｚ部屋のどれかの部屋に入れる。
その場合に、ｘ部屋に３人，ｙ部屋に３人，ｚ部屋に３人が入る場合は、何通りあるか。

【解答】
　９人を順次に、ｘ部屋，ｙ部屋，ｚ部屋のどれかの部屋に入れる事象の連鎖は、
(１人目,２人目,３人目,４人目,５人目,６人目,７人目,８人目,９人目)
であらわせる。具体的には、
（ｘ，ｙ，ｚ，ｘ，ｙ，ｚ，ｘ，ｙ，ｚ)
等の事象の連鎖であらわすことができる。
　この事象の連鎖は、問題１の問題②における９人を並べる事象の連鎖を含む。
　この事象の連鎖のうち、ｘが３個あり、ｙが３個あり、ｚが３個ある事象の連鎖が、問題②における９人を並べる事象の連鎖と、「１対１に対応する」。

〘問題を俯瞰する〙
　１人目がｘ，ｙ，ｚのどれかに入るバラエティを、ｘ＋ｙ＋ｚであらわし、９人が、ｘ部屋，ｙ部屋，ｚ部屋のどれかに入るあらゆるバラエティを、その項の９乗であらわした以下の式で計算する。

この式の項のうち、ｘ部屋に３人，ｙ部屋に３人，ｚ部屋に３人が入るバラエティの数は、

の項の係数になることがわかる。なぜならば、その項の係数は、そうなる事象の連鎖の数をあらわす。その事象の連鎖の数がその項が生み出されるあらゆるバラエティの数をあらわすからである。その項の係数は、ｘが３乗でｙが３乗でｚが３乗になるあらゆるバラエティの数である。
〘問題の俯瞰おわり〙

そのバラエティの数は、ｘが３個あり、ｙが３個あり、ｚが３個ある事象の連鎖の数であり、その数は、
(１人目,２人目,３人目,４人目,５人目,６人目,７人目,８人目,９人目)
の事象の連鎖において、
（９人のうちｘとなる３人を選ぶ組み合わせの数）×（残り６人のうちｙとなる３人を選ぶ組み合わせの数）
で計算でき、 以下の式で求められる。

（解答おわり）

《柔軟に発想して問題の事象を種々のものに対応させるべし》
　【問題３】では、
（ｘ部屋に入る or ｙ部屋に入る or ｚ部屋に入る）
という事象を、
（ｘ＋ｙ＋ｚ）
に対応させた。
「～ or ～」という関係を「ｘ＋ｙ＋ｚ」という式の「＋」に対応させた。
　ｘ部屋に３人入りｙ部屋に３人入りｚ部屋に３人入る事象を、(ｘの３乗)掛ける(ｙの３乗)掛ける(ｚの３乗)、に対応させた。それ以外に可能な事象を「＋」で結んだ項に対応させた。
　問題があらわす「事象」を異なる表現の「事象」に対応させて問題を置き換えて考えることが、「場合の数」の問題を解くために大切な心がけです。

〘覚えておこう〙なお、ここをクリックした先のサイトの「組分け問題全パターン」は覚えておきましょう。

《公式メモ（以下の行をクリック）》
▷組分けの数の公式
▷同じものを含む順列の数の公式

リンク：場合の数と確率
リンク：高校数学の目次

整数係数の因数に因数分解できる多項式の因数分解

【問１】
　以下の４次式を因数分解せよ。


【問２】
　以下の４次式を２つの２次式の積に因数分解せよ。


【問３】
　以下の４次式を２つの２次式の積に因数分解せよ。


【問４】
　以下の４次式を２つの２次式の積に因数分解せよ。


【問５】
　以下の４次式を因数分解せよ。


この問題の解答は、ここをクリックした先にある。

リンク：
高校数学の目次

命題、条件とは何か

【命題と条件の定義】
《命題とは》
　真偽(真であるか偽であるか)が判定されうる文を 命題という.

論理的にスッキリと真か偽かが判定できる文だけを命題と呼ぶのです.

命題の例１：
ｘは実数とする。
２つの条件を、

とする。
命題「ｘ＞４ならばｘ＞３である」
が真であるから、
命題「ｐ  ⇒ ｑ」
は真である。
　また、条件ｐ，ｑを満たす実数全体の集合をそれぞれＰ，Ｑとすると、

であり、数直線上では、それぞれ下の図のようになる。

よって、

が成り立っている。
　命題「ｐ(x)  ⇒ ｑ(x)」が真であるならば、
「条件ｑ(x)が、条件ｐ(x)の必要条件である」と言う。
また、「条件ｐ(x)が、条件ｑ(x)の十分条件である」と言う。

〘注意〙条件ｐ(x)と条件ｑ(x)の関係が、必要条件であるとか十分条件であると言えるためには、全てのｘに関して、「ｐ(x)  ⇒ ｑ(x)」が真であることが確かめられていなければならない。

　ここで、ｘが属する実数全体を考え、集合ＰとＱを考えるのは、命題を解釈するためには、以下の注意が必要だったからである。
命題「ｘ＞４ ⇒ ｘ＞３」の論理式は、
正しくは、
「全ての実数ｘに関して、ｘ＞４  ⇒ ｘ＞３」
という論理式です。
（注意）ここで、「ならば」という言葉を使った論理式
「ｘ＞４ ⇒ ｘ＞３」
には以下の意味の広がりがある。
この論理式のｘに値を入れて考える。
「５＞４ならば５＞３であり」という命題は、真な命題である。
あるｘにおいて、「ｐ(x)ならばｑ(x)」という論理式は、
条件ｐ(x)が真の場合には、条件ｑ(x)が真である場合に、この論理式が真な命題になると定めている。
　ここで、条件ｐ(x) がｘに何を入れても真偽がはっきりした命題にできなければならないのと同様に、「ｐ(x)ならばｑ(x)」という論理式も、ｘに何を入れても、真偽がはっきりした命題にできなければならない。
そのため、あるｘにおいて、条件ｐ(x)が偽なる命題になる場合にも論理式の真偽が定められている。
あるｘにおいて、条件ｐ(x)が偽なる命題（１＞４）になる場合には、「ならば」という言葉の前提条件が外れているゆえに、
条件ｐ(x)が偽なる命題（１＞４）になる場合には、条件ｑ(x)が何の命題（１＞３）になっても、この論理式が真な命題になると定めている。
そのため、ｘが１の場合の：
「１＞４ならば１＞３である」という論理式も、真な命題である。
（注意おわり）

命題「全ての実数ｘに関して、ｘ＞４  ⇒ ｘ＞３」
は必ず真なので、
この論理式は真なる命題です。

つまり、
p(x)⇒q(x)
という命題は、
正しくは、
「全てのｘに関して、p(x)⇒q(x)」
という命題です。

　全ての実数ｘに関して、ｘの値毎での個別の命題の真偽を確認する必要があるので、ｘの集合ＰとＱの関係を考えるのです。

　一般に、条件ｐ，ｑを満たすｘの集合全体をそれぞれＰ，Ｑであらわすとき、
命題「全てのｘに関して、ｐ⇒ｑ」が真であることは、

が成り立つことと同じである。
それは、

が成り立つこと、すなわち、「ならば」を使った元の命題の論理式は：
「全ての実数ｘが、(Ｐの補集合)∪(集合Ｑ)に含まれる」
という論理式に同値です。
つまり、
命題「ｘ＞４ ⇒ ｘ＞３」という、「ならば」を使った論理式は、
「全ての実数ｘに関して、x≦４ or ｘ＞３」
という論理式に同値です。

命題「全ての実数ｘに関して、ｐ(x) ⇒ ｑ(x)」が真であるならば、
「条件ｑ(x)が、条件ｐ(x)の必要条件である」と言う。
また、「条件ｐ(x)が、条件ｑ(x)の十分条件である」と言う。

命題の例２：
p(x)を、（ｘはカラスである）という論理式とし、
q(x)を、（ｘは鳥である）という論理式にし、
（ｘはカラスである）⇒（ｘは鳥である）
という命題は、正しくは、
「全てのｘに関して、（ｘはカラスである）⇒（ｘは鳥である）」
という命題です。

命題には、「全てのｘに関して、」という隠された条件が、暗黙に加えられている。

その隠された条件が付いているので、命題は、
「全てのｘに関して、(p(x)で無い)∨(q(x)である)」
という論理式であらわされる命題と同値です。

「全てのｘに関して、」という条件を付けずに、
単に、「(p(x)で無い)∨(q(x)である)」
というだけの論理式は、単にｐとｑが作る関係を表すだけであり、
それは、次に説明する「条件」であって、命題にはならない。

《集合で考えると、以下のように考える》
　与えられた条件に、「全てのｘに関して、」という条件を付けて初めて、ｐとｑに係るｘの集合の(Ｐの補集合)∪(集合Ｑ)が実数全体の集合になるか、ならないかの、条件が真であるか偽であるかが判定できるようになった命題をあらわすのである。
「全てのｘに関して、」という条件を付けない条件「(p(x)で無い)∨(q(x)である)」は、
「ｘの集合が(Ｐの補集合)∪(集合Ｑ)である」
という条件をあらわす。すなわち：
「全てのｘに関して、」という条件を付けない以下の条件
「p(x)⇒q(x)」は、
「ｘの集合が(Ｐの補集合)∪(集合Ｑ)である」
ということをあらわすだけの条件である。

「全てのｘに関して、」という隠された条件を付けずに、
単に、（ｘはカラスである）⇒（ｘは鳥である）
というだけの論理式も、同じく、
「条件」であって、命題にはならない。
ｘに具体的な物をあてはめて確認しなければ、この論理式の真偽が定まらない。
ｘに具体的な物をあてはめた論理式は命題になる。すなわち：
（猫はカラスである）⇒（猫は鳥である）
という論理式は、
（猫はカラスで無い）∨（猫は鳥である）
という論理式と同値です。
そして、
（猫は鳥である）が偽であっても、（猫はカラスで無い）が真であるゆえに、
その論理式は真なる命題です。

《条件とは》
　真であるか偽であるかが判定できる“命題”に対し,特に数学によく現れる方程式
x²－x－6=0
や
x+y=－12
のように,その中にxやyなどの文字が含まれているため,それ自身としては真とも偽とも判定できないが,その中に現れる文字に特定の値を代入すると,真か偽かが決まるものがある.

例１
x²ーxー6=0は,
x=2のときは偽,
x=3のときは真.

このように,中に含まれている文字に値を代入すると,真か偽が確定する(つまり命題になる)文を条件という.
より詳しく,　“xについての条件”　とか　“xとyについての条件”　などということもある.
　大学数学での、述語論理の命題関数を使った論理式が、高校数学で言う「条件」です。

ｘ²≧０
という式も、一見、命題のように見えるが、この式は条件です。
ｘに値を代入する都度、真か偽が確定する式であって、たまたま、全ての実数を代入して、常に真であるという特徴があるだけの式なので、条件です。
この条件に、「全ての実数ｘに関して、」という前提条件を付けると、
「全ての実数ｘに関して、ｘ²≧０」
という真なる命題になる。

同様に、
ｘ＞５
という条件についても、「全ての実数ｘに関して」という条件を付けて、
「全ての実数ｘに関して、ｘ＞５」
という論理式にすれば、その論理式は偽なる命題になる。

　「ならば」を使った命題における論理式「p(x)⇒q(x)」自体は、この命題に隠された条件である「全ての実数ｘに関して、」という条件とは独立していることをはっきりさせるために、以下の命題の例を示す。
〘命題の例３〙
命題「１００以上の全ての実数ｘに関して、ｘ＞１ ⇒ ｘ＞１０」という論理式は、真なる命題です。
一方で、
命題「全ての実数ｘに関して、ｘ＞１ ⇒ ｘ＞１０」という論理式は、偽なる命題です。

〘命題の例４〙
命題「全ての自然数ｘに関して、ｘ＞１ ⇒ ｘ≧２」という論理式は、真なる命題です。
一方で、
命題「全ての実数ｘに関して、ｘ＞１ ⇒ ｘ≧２」という論理式は、偽なる命題です。

〘命題の例５〙
命題「２以下の全ての実数ｘに関して、x≠1⇒(x-1)(x-3)≠0」という論理式は、真なる命題です。
一方で、
命題「全ての実数ｘに関して、x≠1⇒(x-1)(x-3)≠0」という論理式は、偽なる命題です。

《大学数学で厳密に説明すると》
「命題論理とは何か」のサイトによると：
命題と命題変数
　記号論理学には命題論理（propositional logic）と述語論理（predicate logic）の2つの分野があります。述語論理は命題論理の拡張であるため、まずは命題論理について解説します。

命題論理における議論の最小単位は命題（proposition）です。

命題とは、物事の判断について述べた文や式で、正しいか正しくないかを客観的に判断できるもののことです。

　ある主張の内容が難解で、それが真と偽のどちらであるか判断を下せない場合があります。そのような場合でも、その真偽の判定を客観的に行えることが保証されているのであれば、その主張はやはり命題とみなされます。いくつか例を挙げます。

「整数ｘは偶数である」という主張は、
ｘがどの整数であるかが特定されない限りその正しさを判定できないため、これは命題ではありません。
一方、「整数１４は偶数である」は真な命題です。

　命題論理では個々の命題が具体的に何について言及しているかを問題とせず、それらを単に真か偽のどちらかの値をとる変数とみなします。そして、そのような変数を命題変数（proposition variable）と呼びます。

　命題論理において議論の対象となる論理的な主張や推論はいずれも、命題変数どうしを組み合わせることにより得られる式として表現されますが、そのような式を論理式（formula）や命題論理式（propositional formula）などと呼びます。

　論理式については後ほど正確に定義しますが、最も重要な点は、命題変数の組み合わせである論理式自身もまた真１または偽０を値としてとり得る命題変数であるということです。論理式の値は、その論理式を構成する個々の命題変数の値の組み合わせに応じて決定されます。

「述語論理」のサイトによると：
述語論理
　命題論理の基本単位が命題変数であったのに対し、述語論理では命題関数と呼ばれる概念が基本単位となります。それにより扱うことのできる言明の範囲が広がるとともに、量化と呼ばれる操作が可能になります。

論理式
　述語論理の基本単位である「論理式」と呼ばれる概念を形式的に定義します。

述語論理とは何か
　変数を含む文や式は変数に具体的な値を代入することによりはじめて命題となり、その正しさを判定できるようになります。

一般に、変数を含む文や式を命題関数と呼びます。
命題関数は述語論理の対象となる最小単位の概念です。

述語論理における議論領域
　変数とは様々な値を取り得る記号です。変数が取り得る値の範囲を定義域と呼びます。議論の対象となるすべての変数と、それらの変数の定義域をあわせて議論領域と呼びます。

述語論理における論理式の定義
　述語論理において議論の対象となる最小概念は原子論理式です。
原子論理式は命題関数を内包する概念です。
原子論理式は単独で論理式とみなされます。また、原子論理式に論理演算子や量化記号を作用させて得られる式も論理式とみなされます。
また、論理式に論理演算子や量化記号を作用させて得られる式も論理式です。

リンク：
条件付き命題の対偶の表現のバラエティ
同値変形の考え方
高校数学の目次