置換積分法のコツ

【置換積分法とは何か】
　不定積分Ｆ(x)=∫ｆ(x)dx を求めるときに，積分変数ｘを変換して被積分関数ｆ(x) の形を変えて積分する方法を置換積分法という。

　置換積分では、変数の変換に伴い、被積分関数が変更される。その被積分関数の変形を、式が変形し易い分かりやすい単純化したルールに従って行うことが置換積分法のコツです。なお、変数の変換にともない、積分範囲が変更されることによく注意して置換積分すべし。
　以下では、式が変形し易いルールを説明する。

　例えば、以下のパターンの置換積分の第２の定理の適用に慣れると良い。


《１つの例》


《もう１つの例》


《更にもう１つの例》


　置換積分法には、以下の、第１の定理と、第２の定理がある。

(置換積分法の第１の定理)
　関数f(x)が、変数ｘのある連結した区間内の全ての実数で定義された、１つながりに連続な関数である場合、
変数ｘを、微分可能な関数g(t)で、x=g(t)という式で変数ｔに変換すると、

が成り立つ。
（置換積分の第１の定理おわり）

(置換積分法の第２の定理＝逆向きの定理)
　置換積分法には、以下の、逆向きの置換積分の定理がある。
　ｘで微分可能な関数s(x)でｓ=s(x)とした変数ｓを使った置換積分によって、以下のように変数ｘを変数ｓに変換して積分できる。

　この、置換積分の第２の定理では、dx部分をdsに置き換えるのと同時に、f(x)部分をp(x)に置き換える際にf(x)をs'(x)で割り算してp(x)にしている。

　置換積分して式を変形する課程で、被積分関数では、変数のある値で０になる式が分母に来ても良い、という独特のルールが積分にはあります。そうして良い理由は、大学数学で学ぶ広義積分がその根拠になっている。
（置換積分の第２の定理おわり）

　この置換積分の定理（置換積分の公式）は、以下の図の様に、
「積分する微小面積を、変数ｘでのグラフと変数ｔのグラフとで同じにすれば、積分した総面積も同じになる」
事を表した定理です。

（必要条件）ΔxもΔtも f(x)Δx=h(t)Δt も微小量であること。
ΔxもΔtもf(x)Δx=h(t)Δt も微小量であることという必要条件が必ず成り立たなければならない。

　公式に付けた条件の、x=g(t)が微分可能であるという条件は、ΔxもΔtも微小量であるために必要な条件を数学的に記述したものです。

　また、g(t)が微分可能であるという条件が満足できない場合には、変数ｘの区間を、公式の条件（ｇ’(t)が存在すること）が完全に満足される狭められた区間に分割し、その分割した区間毎に置換積分を行なう。それで得た複数の区間毎の不定積分を、分割した区間の境界点でつないで１つながりに連結した不定積分に拡張する。そうすれば、g(t)が微分可能で無い点を境界点にして区間を分割して不定積分し、後で各区間の不定積分をつなげば良いので、公式の条件が満足できない場合にも対応できる。

【第１の定理の第１の証明】
（１）先ず、ｘを媒介変数 ｔ であらわす関数ｇ（ｔ）は、ｔが変化したときにどのくらい変化するか調べる。
そのため、ｘ＝ｇ（ｔ）をｔで微分する。

ｘ＝ｇ（ｔ）がｔで微分可能、すなわち、（Δｘ／Δｔ）が有限の値ならば、
Δｘが以下の式であらわされる。

（２）その場合に、以下の式が成り立つ。

以上の計算で、g'(t)の値が確定した有限の値でありさえすれば、たとえ、g'(t)が不連続な関数になってもかまわない。
（証明おわり）

【第１の定理の第２の証明】
置換積分法は、合成関数の微分の公式の同類です。
（証明開始）
先ず、

とすると，

である。
そこで

とおき，

を考えると，g(t)が微分可能であれば、
合成関数の微分の公式によって、

となる。
（合成関数の微分の公式はここをクリックした先を参照） 

そして、その様にその関数 f(g(t))g'(t) の値が有限の範囲内にあれば、以下の式の左辺の積分が可能である。
（もしg'(t)が連続関数であれば、関数 f(g(t))g'(t) は連続関数になるので微分積分学の基本定理の条件が満足され、以下の式の左辺の積分が確実に可能である）

となる。
（証明おわり）

【第２の定理＝逆向きの置換積分の定理】
置換積分の公式の概念は：

（必要条件）ΔxもΔtも f(x)Δx=h(t)Δt も微小量であること。
という概念に基づく公式でした。

（場合１）dx/dt=0の場合
先に証明できた置換積分の第１の定理は、
dx/dt=0
の場合に適用できる。

とすると：
dx/dt=0
の場合にも使える第１の定理：
すなわち、

の場合に：

 となる場合に、

を積分範囲に含んで、

が成り立つ（ｇ’(t) が存在する条件が満足される）ので、置換積分の第１の定理が使える。

（場合２）dt/dx=0の場合
dt/dx=0
の場合には、
x=g(t)の逆関数の

を使う第２の定理を使う。

すなわち、

の場合に、

となる場合に、

を積分範囲に含んで、

が成り立つ（ｓ’(x) が存在する条件が満足される）ので、この式を逆さにした、

という形の式の第２の定理＝逆向きの置換積分の定理を使う。

例えば、
以下の積分を考える。

ここで、以下の様に変数ｘを関数g(t)を使って変数ｔに変換する事を考える。

この場合に、関数x=g(t)のグラフは下図のようになる。

ｔ＝１のとき、
g'(t)が無限大になり、有限の微分係数g'(x)=dx/dtが存在しないので、第１の定理が使えない。
その場合には、関数x=g(t)の逆関数t=s(x)を考えて、その関数s(x)の微分s'(x)=dt/dxを考えて、

関数s(x)を使うのであれば、微分係数dt/dx=s'(x)の値が有限の値になるので第２の定理を使う事が多い。cos(x)=dt/dx=s'(x)としてcos(x)を置き換える以下の計算を行うのが良い。

《区間を分割して不定積分する例》
　ー１≦ｘ≦１の区間で定義された以下の関数ｆ(x) の、ー１≦ｘ≦１の区間で定義された不定積分Ｆ(x) を求める。


（ー１≦ｘ≦０の区間の不定積分）
　以下の様に、ｆ(x)の変数ｘのー１≦x≦０の区間を、変数ｇの０≦g≦２の区間に対応させて、変数ｘでの積分を変数ｇの積分に置換積分する。

この置換積分により、ー１≦x≦０の区間で定義された不定積分の解が得られた。

（０≦ｘ≦１の区間の不定積分）
　ｆ(x) の、変数ｘの０≦ｘ≦１の区間を、変数ｕの２≧u≧0の区間に対応させて、変数ｘでの積分を変数ｕでの積分に置換積分する。

この置換積分により、０≦ｘ≦１で定義された不定積分の解が得られた。
　以上の、ー１≦ｘ≦０の区間の、媒介変数ｇによる不定積分の解と、０≦ｘ≦１の区間の、媒介変数ｕによる不定積分の解を、以下の図のように、両者の区間の境界のｘ＝０で連続につなぐ。こうして、ー１≦ｘ≦１の区間の全領域での不定積分Ｆ(x) の解が得られる。


【望ましい置換積分方法】《積分区間を分割する》
　置換積分の関数の条件は、関数を積分する変数の連結区間[a,b]内での条件です。もし、その条件が満足されない場合には、連結区間を狭くした範囲内のみで考えることで、その条件を満足させる。
　置換積分のルールを単純化するために、以下の関数の条件を加えるのが良い。
　連結区間(a,b)での関数f(x)の積分を媒介する関数ｘ＝g(t)は、単調増加関数か単調減少関数であるものとする。この条件の関数g(t)を用いて置換積分することが望ましい。
　そういう関数x=g(t)を用いる条件は、置換積分する関数y=f(x) の変数ｘの区間(a,b)を細分化するだけで実現できる。その各区間(a,b)毎に、関数y=f(x)の積分を媒介する関数x=g(t)を定義して使えば良い。単調関数を使えば、その関数x=g(t)の逆関数が存在するので、積分の計算の見通しが良くなる利点がある。

（積分区間を分割して、それぞれで積分する）
　媒介関数x=g(t)を単調な関数にするには、変数ｘの定義域を、関数x=g(t)が単調になる区間毎に分割して、見通しの良い計算をすることが望ましい。その区間毎にx=g(t)が単調な関数になるので、各区間で、x=g(t)の逆関数が存在する。その区間毎に不定積分を求め、それらの不定積分を連結して１つながりに連続な不定積分を求めれば良い。

（１）
　考え易い関数を使って置換積分の条件を単純化するために、以下の関数を使うことが望ましい。
　すなわち、積分を媒介する関数ｘ＝g(t)は、１つながりに連続であって、単調増加関数か単調減少関数であるものとする。
　単調増加関数か単調減少関数には必ず逆関数が存在するので、逆関数の概念も使って積分の計算が進められ計算の自由度がとても大きくなる効果がある。（それ以外の関数ｇ(t) については、ここをクリックした先を参照）
（２）
　もし、媒介関数x=g(t)がある積分区間で単調な関数で無ければ、x=g(t)が単調である区間に積分区間を分割する。そうすれば、その分割された積分区間でx=g(t)が単調な関数になる。その各区間毎に置換積分すれば良い。  
（３）
　変数ｘの区間(a,b)に限って置換積分して不定積分F(x) を求める。そのｘの区間(a,b)に隣接するｘの区間(b,c)で置換積分して不定積分F(x) を求める。それらの不定積分の関数F(x) 同士が、 区間(a,b)と区間(b,c)が隣接する境界点ｂに近づく極限で、不定積分の関数の有限な値の極限値があるか確認する。不定積分の極限値が存在すれば、その極限値を点ｂでの不定積分の値F(b) と定義する（広義積分をする）。そして、不定積分の関数の区間を連結して(a,c)にし、その区間で定義された不定積分の関数F(x) を作れば良い。


〘不定積分の関数の定義域を連結する例〙（置換積分は行っていない例であるが）複数の区間の不定積分を、区間のつなぎ目でつないで１つの不定積分にする例。

この不定積分の関数は、θ＝０の点で定義されず、θ＜０の区間と、θ＞０の区間とに関数が分割されている。
θ→０での関数の極限値をθ＝０での不定積分の値であると定義し、その点でθ＜０の区間と、θ＞０の区間をつないで１つの区間にした下式の不定積分を定義する。


（４）
　その様に、後で不定積分の関数F(x) の定義域を連結する事を前提にして、以下の様に、置換積分する被積分関数f(x)を、その変数ｘを適切に媒介変数ｔに置換できる関数x=g(t) が有効に使える（分割された）変数ｘの区間(a,b)を求める。
（Ａ）被積分関数f(x)の変数ｘのある区間(a,b)で定義される関数f(x) の部分を考え、
（Ｂ）また、その変数ｘの区間(a,b)内の全てのｘの値をx=g(t)と表す、a=g(ta), b=g(tb)となる１つながりに連続な関数x=g(t) で、
ｔの区間の端を除いた連結区間(ta,tb)又は連結区間(tb,ta)の点でｔで微分可能な関数x=g(t)を考える。
（Ｃ）また、関数x=g(t)の値が、変数ｔの区間(ta,tb)又は区間(tb,ta)で、単調増加か単調減少であるように、変数ｔの区間(ta,tb)又は変数ｔの区間(tb,ta)とｘの区間(a,b)を定める。

（Ｄ）x=ｇ(t) をｔで微分した導関数g'(t)も連続な関数となる（連続微分可能）関数x=g(t)を使う。

（Ｅ）それらの条件が成り立つｘの区間(a,b)とｔの連結区間内で定義される不定積分：

を求める。
（５）
　そうして、ｘの区間(a,b)毎に別々にf(x)の不定積分F(x) を計算する。そして、それらのf(x)の不定積分F(x) の変数ｘの区間(a,b)と(b,c)の境界点ｂでの不定積分F(x)の有限な極限値が存在すれば、その極限値を点ｂでの不定積分の値F(b)と定義する（広義積分）。そして、不定積分F(x) の定義域(a,b)と(b,c)を連結して、(a,c)を定義域にする不定積分の関数F(x) を求める。
　このようにして、見通しの良い関数x=g(t) を使って置換積分する事が望ましい。

　そのようにして置換積分して問題を解く例題として、
ここをクリックした先の、
「tan(x/2)で置換積分して最適な積分変数を求める」のページ
が参考になる。
コメント
「（２）　そのように定義域がバラバラな不定積分の解同士が、その解の変数ｘの区間の境界点で、不定積分の有限な値の極限値があり、その境界点で、第１と第２の不定積分の解が接続できる場合は、そのｘの境界点での極限値をその不定積分の関数の値として定義する。それは広義積分と呼ばれている。」

というふうに、不定積分を連結するやり方が大切です。

リンク：
置換積分等の積分の計算に潜んでいる広義積分
高校数学の目次

置換積分のややこしい話

（事前準備ページへのリンク）
▽置換積分の公式の定義
▽公式の第１の証明
▽公式の第２の証明
▽逆向きの置換積分の公式
▽(別ページ)被積分関数を０で割り算して良いのか？
▽(別ページ)広義積分
▽望ましい置換積分方法（積分区間を分割する）
▽媒介する関数g(t)の条件
　〇ｘ＝g(t)の関数は単調で無くても良い
　〇関数t(x)=t が単調な関数では無い置換積分
　〇単調で無い関数 g(x)=g で置換積分する例
　　□定積分を節約
▽定積分する積分区間を間違えないコツ
▽(別ページ)広義積分を前提にしたtan(x/2)等の置換積分の計算事例
（ここまでが、事前準備ページへのリンク）

〘ページ内リンク〙
▽自由に変数変換できる置換積分の事例
　〇見通しの良い解き方
▽（別ページ）変換する変数を関数で導入しても良い
▽１つのｔの値に対して複数の値を持つ不定積分
▽変数変換の不思議
▽（別ページ）形が違う同じ式
▽置換積分の条件はどこまで緩められるか

【関数の微分可能性が公式を制約する】
　置換積分の公式は、合成関数の微分の公式を使って証明できます。置換積分の公式は、合成関数の微分の公式の同類です。
また、それ以外の同様な式で表された式を含む以下の公式群の同類です。

この各公式には、先ず、以下の縛り（成立条件）があります。
その縛りというのは、

「上の式の様に微小量の割り算であらわした式の、ΔｈもΔxもΔtも、何れも微小量でなけばならない」
とういう条件です。

（例題）
例えば、原始関数Ｆ(x)＝ｈ(t) に係る
被積分関数ｆ(x)の変数xによる積分を、
媒介関数ｘ＝ｇ(t) ＝（１／t）
を使って変数ｔで置換積分する場合、
Δx=Δg＝Δ(1／t) が、
t→０で、微小量にならないから、
t→０の場合には、関数ｘ＝ｇ(t) =（1／t）を媒介関数に使うことができません。
（媒介関数g(t)は、t=0で微分可能で無い）

そして、各関数の微分可能条件を（あたりまえの条件のように見えますが）意識する必要がある事に気をつけてください。

「関数が微分可能（有限の値の確定した値の微分係数が存在する）」
という意味は、
「関数が、その変数のその値に限って、その変数で微分可能であれば良く、その変数のその他の値での関数の微分可能性は関係しない」
という意味です。

　広義積分では、後で説明するように、変数 x での積分を、媒介変数 t での積分に変換する置換積分の媒介関数ｘ＝g(t) の条件を緩められます。 
それを考えると、
置換積分を媒介する関数ｘ＝g(t) が、t=0近くで、
「媒介関数ｘ＝g(t) が、微分不可能な点の t=0 以外の点では微分可能で、t=0 の点も含めて１つながりに連続である」ことが、
広義積分において、被積分関数ｈ(g(t))g'(t)が媒介変数tで積分可能であるために本質的に必要な条件であると考えます。

例題で、媒介関数ｇ(t) =（1／t）を置換積分に使った場合、t=0では、
「媒介関数g(t)が１つながりに連続である」条件が成り立ちません。
そのため、広義積分においても、
t→０の場合には、関数ｇ(t) =（1／t）を使うことができません。

（積分できない変数ｘの範囲に気をつける）
　下図の被積分関数ｆ(x) は、ｘ＝０の点では関数ｆ(x)の値が－∞になり、関数が定義されていないで、関数が不連続です。そして、この関数では、ｘ＝０を含んだ範囲で積分することはできません。

上図の関数を、上図の様にｘ＝０を含む区間で定積分したら、マイナスの無限大になるので、積分が不可能です。
そのため、上図の関数を、例えば－１から１までの区間で積分する事も不可能です。
そのため、この被積分関数ｆ(x)の不定積分の変数ｘの定義域には、x=0を含む事ができません。

これを無視して、関数ｆ（ｘ）の不定積分F(x)の変数の定義域にｘ＝０を入れてしまうと以下の間違いをおかします。
Ｆ（ｘ）＝１／ｘをｘで微分したら

になります。
そして、変数ｘで積分する区間内に、ｆ（ｘ）が発散する点のｘ＝０を含めた、ｘが－１から１までの区間で、
関数ｆ（ｘ）の定積分を、F(x)を使って、  Ｆ（１）－Ｆ（－１）＝１－（－１）＝２
という 計算で求めると、明らかに間違えます。

上の図で明らかな様に、－１から１までの範囲でのｆ（ｘ）の積分はｆ（ｘ）のグラフの面積にならなければなりません。そのため、定積分の答えは、マイナス無限大にならなければなりません。そのため、 Ｆ（１）－Ｆ（－１）＝２は、明らかに間違っています。

　こういう間違いを、置換積分の計算でもおかさないために、置換積分の計算において、常に、積分範囲が適切であるかに注意しなければなりません。
　以下では、被積分関数f(x)の変数ｘでの不定積分を媒介変数 t での不定積分に置換積分する場合を考えます。

という計算をして不定積分を求める場合に、
積分可能な範囲が、
x<0,
または、
x>0
である事を認識します。
すなわち、式の変形の過程で出てくる
「微分（ｄｘ／ｄｔ）や（ｄｔ／ｄｘ）が微分可能となる積分変数ｘや積分変数ｔの連結区間の範囲のみで、積分が可能である」
と考えて、
この不定積分を用いて定積分できる積分可能な範囲がどこからどこまでになるかを、注意深く考えながら、
積分の式の変形をしてください。

例えば、１つながりに連続なf(x)の不定積分を、
１つながりに連続なh(t)を使って、以下の計算で求める。
（第１の積分）

その後に、未だ不定積分をしていない、以下の１つながりに連続なf(x)を、以下の１つながりに連続なh(t)を使って、以下の様に不定積分する。
（第２の積分）

以上の２つの不定積分を同時に行なってはいけません。
第１の積分により、第２の積分も終わっていると考えないようにして下さい。
1度に不定積分できる範囲は、関数f(x)が１つながりに連続な区間内のみだからです。

（悩ましい問題）
　置換積分に限らず、1度に不定積分できる範囲は、関数f(x)が１つながりに連続な区間内のみです。
以下の、１つながりに連続な関数f(x)の不定積分を、
以下の様にして不定積分する。
（第１の積分）

その後に、未だ不定積分をしていない、以下の１つながりに連続なf(x)を、以下の様に不定積分する。
（第２の積分）

以上の２つの不定積分を、第１の積分により、第２の積分も終わっていると考えないようにしてきたでしょうか。
1度に不定積分できる関数f(x)は、１つの、１つながりに連続な関数だけです。

　しかし、今までの不定積分では、ｘ＞０の区間で１つながりに連続な関数と、ｘ＜０の区間で１つながりに連続な関数を、区別して別々の不定積分としてこなかったと思います。
（その積分では不定積分のルールが守られていないので、悩ましい問題だと思います。）
　しかし、置換積分で自由自在に変数変換をするようになると、少しのルール違反も計算を誤らせる事になります。
　そのため、置換積分では、そのルール違反はもはや見逃せなくなっています。

　なお、被積分関数ｆ(x) を積分して不定積分Ｆ(x) ができた積分変数ｘの積分区間の判定方法は：
不定積分Ｆ(x) ができた積分変数ｘの範囲は、
不定積分の関数Ｆ(x) が、１つながりに連続な連結区間です。
不定積分Ｆ(x) が１つながりに連結する積分変数ｘの区間を１単位にし、
別途１つながりに連結する区間、毎の関数は、異なる不定積分の関数とします。

上の例：
 （第１の積分）

（第２の積分）

では、
x<0,　での　t+C　という不定積分と、
x>0,　での　t+C　という不定積分とは、
異なる関数だと言えます。
（不定積分を表す関数の変数ｔの定義域が異なれば異なる関数だからです）

なお、関数 f(x)が定義される変数ｘの連結区間からはみ出させた値ｃの点を経由する変数ｘの積分区間
（始点ａから経由点ｃを経由して終点ｂまで至る積分区間）
でf(x)を積分した値は、
終点ｂでの不定積分F(x)の値と始点ａでの不定積分F(x)の値の差 F(b)-F(a) とは異なった値になります。

【自由に変数変換できる置換積分の事例】
（事例１）
以下の不定積分を置換積分で求めてみます。
x≧－1の場合に：

【解答】
積分変数ｘを以下の積分変数ｔに変換する。

（解答おわり）
　この不定積分は、積分変数を、ここをクリックした先のサイトのようにｘ＝ｇ(t) と変換して解く事もできます。解を得るための積分変数の変換方法は、その様に、かなりの自由度があります。
（事例１おわり）

【いつ置換積分を考えるべきか】
　置換積分とは、積分変数の変換です。積分変数の軽い変換、例えば、ｘ→ｔ＋Aや、ｘ→２ｔ等の変換をしたらどうなるかは、常に思考実験する（解答には書かないが）心がけが必要です。

　次に、それより重い積分変数の変換、例えば、sinx=t 等を試す。

　積分変数の軽い変換は、いつだって（解答に書かないでも）思考実験で試して、良い変換を思いついたら、いつでも使えるようにするべきです。

　積分変数の軽い変換（x→t+Aや、x→2t 等）を常に思考実験するのは、積分の式の変形の可能な未来を見通すという事であって、解を考える時にはいつでも必要な事です。
積分変数の重い変換も、その次に頻繁に発想し、その重い変換の結果で式がどう変わるかの、変数の変換の経験を憶えていくと良いと思います。

　こういう式になったら、x→2t に変換する、というのでは無く、
思考実験でx→2t に変換したら式がきれいになった時に、x→2t に変換する置換積分の式を解答の式に書くのです。

（小手わざ）
　以下の様に変換できるという小手わざを覚えておいて使うと計算が楽になると思います。

この小手わざは体で自然に覚えておいて、分母にsin(β)がある関数をβで積分するときに、体が思い出して、β＝2θとして変数ｔを t ＝tanθに変換して使うようにできると便利だと思います。

（事例２）
　以下の各事例では、置換積分による積分変数の変換がどこまで自由に変換できるかを考えていきます。
　考え易い関数を使って置換積分の条件を単純化し、積分を媒介する関数ｘ＝g(t)は、単調増加関数か単調減少関数であると限定して考えて良い。
そういう限定をして、単調増加（又は、単調減少な）関数 f(x)と、その逆関数g(y)を考えます。

この場合、以下の変数ｘによる積分を、変数ｙによる積分に置換積分する事ができます。

この様に、ｙをｘの関数とした変数ｘによる積分を、ｘをｙの関数とした変数ｙによる積分に置き換える置換積分が可能です。

　同様にして、以下の変数ｙによる積分を、変数ｘによる積分に置換積分する事が可能です。

以上の様に、置換積分法では、変数ｘと変数ｙを対等であると考えて、変数を置き換えて置換積分します。
　関数ｇ(y) を変数ｙで積分していたのを、関数ｇ(y) を変数ｘであるとして、ｘを変数ｙで積分するとみなす。そして、その積分を、変数ｙがｘの関数ｆ(x) であるとして、変数ｘで積分する積分に置き換えるというダイナミックな変数の切り替えを行うのが置換積分法の特徴です。

　このような変数変換を利用すると、ここをクリックしたサイトの逆関数の積分も解けるようになります。
（事例２おわり）

（事例３）
以下の様に、変数ｘでの関数f(x)の積分を、媒介変数ｇで置換積分する場合を考えてみます。
（注意）
　変数ｘの正と負の定義域を持つ関数g=g(x)は単調な関数では無いので、逆関数を持たない。しかし、変数ｘが正の定義域でg(x)であると定義された関数は単調な関数なので逆関数を持ちます。ｘが負の定義域でg(x)であると定義された関数も、同様です。

 この被積分関数を積分変数ｇのみで表そうとすると、以下の２つの場合に分かれます。
第１の場合：

もう１つの場合：

この様に、置換積分の結果が、積分変数ｘの２つの区間で別れた、異なる積分変数ｇの式であらわされる、ｘの定義域が異なる２つの関数になった。
そのため、この解の不定積分を使って定積分する場合は、以下の様に計算します。

（事例３おわり）

　この事例３は、解の見通しが良くなかったと思います。見通しの良い解にするには、以下の様に、直接的に媒介関数h(g)=xを導入して解く方が良いと考えます。

（別解）見通しの良い解き方

 　この解答で使った媒介関数h(g)には、h'(0)が存在しないので、h(g)を媒介関数にした置換積分の公式では、g=0も含めた積分区間で置換積分することができません。
　しかし、上の計算では、

を導いて、それで式を置き換えて計算しています。
　これは、h(g)の逆関数を媒介関数にして、その媒介関数のｘによる微分を行う、逆向きの置換積分の公式を使っているという事を意味します。
　逆向きの置換積分の公式では、h(g)がg=0という積分区間の端でも、逆関数の微分が可能であり、h(g)がg=0で微分不可能な問題が回避できています。

（次に考える事）
　この解では、ｘ≧０の場合の置換積分をしました。
ｘ＜０の場合の置換積分を媒介するもう１つの媒介関数p(g)も導入して、ｘ＜０の場合も解きます。

（別解おわり）
こうする事で計算の見通しが良くなりました。

　こうして、直接的に媒介関数h(g)=xを導入すると、考え易くなったのは、連結区間[a,b]での関数f(x)の積分を媒介する関数ｘ＝h(g)およびx=p(g)は、積分変数ｇに関する単調増加関数か単調減少関数であることが明示されているからです。
　この解き方では、置換積分の区間[a,b]が、ｘ≧０と、ｘ＜０の区間に明確に細分化されました。そして、関数f(x)の各区間[a,b]毎に、関数f(x)の積分を媒介する関数ｘ＝h(g)とx=p(g)を使い分けることで考え易くなりました。この別解のように解くことは、置換積分の計算の見通しが良い良い解き方だと考えます。

（事例４）
以下の様な置換積分を考えてみます。

ここで、置換積分の公式を使うにあたって、積分変数ｘを積分変数ｇに置き換える関数h(g)で使えるのは、この関数h(g)が微分可能である変数ｇの閉区間[ga,gb]です。
その閉区間に関して、h(g)の、１つながりに連続な関数のみが、使える関数です。
よって、g>0で定義された１つながりに連続な関数h(g)が使える。
また、それとは異なる関数の、ｕ＜０で定義された１つながりに連続な関数p(u)が使える。

　それらは異なる関数であるので、一緒にまとめて計算してはいけない。
先ず、関数h(g)を使って置換積分する。

次に、関数p(u)を使って置換積分する。

（事例４おわり）
　上の解答において、関数h(g)と関数p(u)を一緒にして、t≠0で定義された１つの関数w(t)にしてしまうと、それは、t=0で分断された関数であって、連結区間[ta,tb]で１つながりに連続していないので使えない。
（不定積分できる関数は１つながりに連続な関数）

　すなわち、その場合は、置換積分の条件である：
「被積分関数f(x)の積分変数ｘでの積分を媒介するx=w(t)となる関数w(t)が、ｘの連結区間[a,b]に対応するｔの連結区間[ta,tb]内の全ての実数値のｔにおいてｔで微分可能」
という条件を満足していないからです。

（重要な注意）
　上の解答の計算において、媒介変数ｇによる置換積分と、媒介変数ｕによる置換積分が、積分区間の符号が違うだけで、同じ式で表わせます。そのため、その２つの式を一緒にして媒介変数ｔと、t≠0で定義された１つの媒介関数w(t)を使って置換積分したい誘惑があります。
　しかし、その誘惑に引っかかって、通常の不定積分に必要な条件の、不定積分できる関数は１つながりに連続な関数に限る（拡張した不定積分の場合を除く）という条件を無視した解答をするのは誤りです。そういう解答をしない様に注意しましょう。

　（広義積分の工夫：妥協策）
　 媒介変数ｇによる置換積分と、媒介変数ｕによる置換積分は一緒にしてはいけないが、各置換積分の結果の変数ｘで表した不定積分の関数Ｆ(x) は、広義積分の操作によって、１つながりに連続する関数にまとめる事ができます。
　 そのため、t>0とt<0の２つの閉区間の２つの関数をまとめて表す関数w(t)を２つの媒介関数の並行した計算として処理し、その２つの媒介関数を使って得た、変数ｘである２つの不定積分Ｆ(x) の部分を、１つながりに連続させてつないだ不定積分を計算しても良い。
　そのように考えて計算するならば、x=w(t)を使った置換積分の計算も許されると考えます。これは、妥協した意見ではありますが、、、
（妥協案による解答）

ここで、ｘ→０の極限で、
ｘ＞０の区間での不定積分と、
ｘ＜０の区間での不定積分を
１つながりの関数に連結する広義積分を行い、
ｘ＝０の場合も含めた以下の式を得る。

（広義積分の解答を書く場合には、良く説明する必要があります。ただし、高校数学では広義積分を扱わない。）

（解答おわり）

（置換積分を媒介する関数の条件）
　なお、ここで、問題になる疑問として、変数ｘでの積分を媒介するx=w(t)となる関数w(t)が微分可能で無い場合は、
必ず積分不可能になるか、
という疑念があります。

　その疑問への答えは、
「広義積分においては、関数w(t)が微分可能で無い点が疎らにあっても積分可能で置換積分の公式が成り立つ」
という答えになります。

　疑問に対する答えが、これなので、w(t)が微分可能で無い場合を必ず避けなければならないと言うのは、広義積分においては、積分できない根拠にはならないと言わざるを得ません。
　w(t)が微分可能という条件は、広義積分では、それで無ければならない、という必要条件では無く、それならば積分可能性が保障されるという安全弁である十分条件なのです。
そのように積分可能性が保障されている十分条件を満足する積分の解を組み合わせて広義積分に利用すれば良いという、積分の条件だと考えます。

　この積分の事例では、変数ｔで表した不定積分は、ｔ＝０で連続な１ つながりに連続な関数では無いので、ｔ＞０における不定積分と、ｔ＜０における不定積分は異なる連続関数です。
　しかし、それを変数ｘで表した不定積分では、
ｘ→０の極限で、
ｘ＞０の区間での不定積分と、
ｘ＜０の区間での不定積分を
１つながりの関数に連結する広義積分を行うことで、
ｘ＝０の場合も含めた１つながりに連結した１つの連続関数の不定積分が得られる。

（置換積分の条件をどう扱えば良いか）
　広義積分まで考慮すると、積分できない事は確実には分からなく、あいまいです。そのため、置換積分は、どの様に行ったら良いか。
　それは、確実に置換積分が可能であると保証されている条件が成り立つ積分区間[a,b]毎に置換積分して、その個々の置換積分の結果の不定積分の部分を１つなぎに連続させた不定積分を計算すれば良いのです。
　もしかしたら置換積分できるかもしれないが、確実に保証されていない区間は、別途、確実に置換積分が可能な条件が満足される手段を用いて置換積分すれば良いのです。
　特に、高校生が置換積分の解答を書く場合は、f(x)が連続で、x=g(t)とする関数g(t)が微分可能でg'(t)も１つながりに連続である連結区間毎に置換積分して解答すべきと考えます。
　ただし、g'(t)が存在しない点では、t=s(x)というg(t)の逆関数を使う逆向きの置換積分の公式を使って、g'(t)が存在しない問題を回避して解答します。
（更には、g(t)が単調増加関数か単調減少関数である連結区間に限った方が良いとも考えます。）

【（別ページ）変換する変数を関数で導入しても良い】

【１つのｔの値に対して複数の値を持つ不定積分】
sin(x)をcos(x)で積分したらどうなるでしょうか。
重要な注意：

この様に、
sin(x)は、cos(x)＝ｔに対して値が２つある関数です。
そういう関数は、同じ値のｔに対して、異なる値の関数を使い分けて積分することになります。

それでは、置換積分を利用してこの問題を解いてみます。

（解答おわり）

（注意）
　ｔ＝cos(x)の値が、－１から１までの範囲しか無いので、
不定積分∫f(x)dｔ は、ｔの定義域が－１から１までに限定された関数です。
その不定積分∫f(x)dｔを変数ｘで表した上の解の式のｘの定義域は、ｔの値が－１から１までになる変数ｘの範囲です。
その変数ｘ範囲は、マイナス無限大からプラス無限大まで使えます。

ｔ＝cos(x)の値が、－１から１までの範囲しか無いのに、
その範囲で積分される被積分関数をｘで表した式が、
同じｔ＝cos(x)を与えても、そのｔに対応する変数ｘによる被積分関数sin(x)の値が２つありました。

その結果、－１から１の範囲で積分した不定積分をｘで表した式が、同じｔに対応しても、ｘの値が異なる毎に異なる不定積分の値を持つ、不定積分の関数が得られます。
すなわち、不定積分∫f(x)dx=∫f(g(t))g'(t)dtは、与えられた１つのｔの値に対して、複数の値を持つ多価関数になっています。
これは、単純な、f(g(t))g'(t)のｔによる不定積分の形とは異なった形の解です。
なぜなら、被積分関数f(x)=sinxをｔによって積分する被積分関数に変換した関数f(g(t))g'(t)の値が１つのｔの値に対して２つあるからです。そして、同じ値のｔに対して、異なる値の被積分関数を使い分けて積分するからです。

【変数変換の不思議】
《微分不可能が微分可能に変わる例》
（注意１）関数の変数を変換すると微分不可能な点が微分可能な点に変わることがある。
　下図のグラフの関数は、Ｏ点では傾きが無限大なのでｘで微分不可能です。
（ｘ＝０を積分区間に含む関数f(x)の積分を置換積分する関数g(t)には、下図の関数は使えない事に注意）

しかし、変数ｘを以下のグラフの関係を持つ変数ｔに変換してみます。

 この変数ｔで元の関数をあらわすと以下のグラフになります。

このグラフはＯ点で、ｔで微分可能です。
このように関数の変数を変換する、変数ｘでは微分不可能だった関数の点が、変数ｔでは微分可能になる、ということが起こり得ます。 

という関係があります。
　有限の微分係数が存在する（微分可能）という状態は、変数を変換すると変わることがあります。
　それは、微分する変数に応じる「微分可能」という条件が、
いわば、
「式を０で割り算する計算をしてはいけない」
という計算の縛りと似た意味を持つことを意味しています。

（注意２）関数の変数を変換すると微分不可能な点が微分可能な点に変わることがあるもう１つの例を考える。
　下図のグラフの関数は、Ｏ点では、左側微分係数と右側微分係数が異なるのでｘで微分不可能です。

しかし、変数ｘを以下のグラフの関係を持つ変数ｔに変換してみます。

この変数ｔで元の関数をあらわすと以下のグラフになります。

このグラフはＯ点で、ｔで微分可能です。
このように関数の変数を変換すると、変数ｘでは微分不可能だった関数の点が、変数ｔでは微分可能になる、ということが起こり得ます。

（注意３）関数の変数を変換すると、接する２つグラフが接さない２つのグラフに変換される例を考える。
　下の２つの関数のグラフは、Ｏ点で同じ微分係数＝０を持ち、Ｏ点で接しています。

しかし、変数ｘを以下のグラフの関係を持つ変数ｔに変換してみます。

（この関数のグラフは、ｔ＝０の点での微分係数が無限大になってしまい、ｔ＝０では微分可能ではありません）

この変数ｔで元の２つの関数をあらわすと以下の２つのグラフになります。

元の２つのグラフの変数ｘを変数ｔに変換した２つのグラフは、Ｏ点で変数ｔで微分すると異なる微分係数を持ち、Ｏ点で接さず交差しています。

　変数を変換すると、このように、互いに接する２つのグラフが、接触する点での微分係数が異なる２つのグラフに変わってしまうことがあることに気をつけましょう。
　すなわち、「２つの接するグラフが接点において等しい微分係数を持つ」ことが、グラフの座標変換によって変わってしまい２つのグラフの接触点での微分係数が等しく無くなることが有り得ます。

　その様なおかしな事が起こる場合は、変数のその値で微分可能では無い関数を使って変数を変換すると生じ得ます。おかしな事が起こらないようにする１つの十分条件として、変数変換に使う関数を、変数のその値で「微分可能」な関数を使えば、変数がその値の部分でのグラフにはおかしな事が起こりません。
　「微分可能」は、このようにおかしな事が起こらないようにする十分条件なのです。これが、「微分可能」と「微分不可能」を区別する意味だと考えます。

（交差している２つのグラフが、変数変換すると互いに接する２つのグラフに変わる例）

上図のように、変数ｔの関数ｆ（ｔ)とｇ（ｔ）との２つの関数値をＹ＝ｆ（ｔ）、及びＹ＝ｇ（ｔ）とする。
ｆ（ｔ）＝ｔ
ｇ（ｔ）＝ｔ／２
とする。 この場合に、上図のように、２つのグラフが、ｔＹ座標平面上では互いに交差しているだけで、接していない。
　このグラフの変数ｔを以下のグラフの関数であらわす媒介変数ｘを考える。

変数ｔをこのグラフの関数であらわす媒介変数Xを使うと、
XY平面上で先の２つのグラフをあらわすと以下の図の様になる。
ｘ≧０の場合に：
関数ｆ（ｔ）＝ｘ^２
関数ｇ（ｔ）＝ｘ^２／２
になる。

この様にXY座標平面上では、互いに接する２つのグラフに変換されてしまった。
　すなわち、接さずに単に交差しているだけの２つのグラフが、互い接するグラフに変わってしまった。

（無難な変数変換の条件）
　ｔY座標平面上の２つのグラフがある変数値において接するか否かを調べている時に、そのように関数の性質が変わってしまわない、変数ｔと媒介変数ｘの変数変換の条件は、その２つのグラフが交差する点の位置の変数値において：
ｄｔ／ｄｘ ≠ ０
となることが必要です。
また、その関数が”微分可能”であることも必要で、すなわち、その２つのグラフが交差する点の位置の変数値において：
ｄｔ／ｄｘ ≠ ±∞
も必要です。
　この２つの条件を満足する関数で変数変換をするならば、グラフの所定の点での「微分可能」または「微分不可能」というグラフの性質が変数変換の後でも同じに維持されます。
例えば、ｌｏｇ（Ｘ）という関数は、Ｘ＝０以外の点では、この２つの条件を満足します。
そのため、この関数を使って変数変換するならば、Ｘ＝０以外の点では、「微分可能」と「微分不可能」という性質が変わりません。

（関数の性質を変えない変数変換の使用例）
　以下の式１であらわされるグラフを考えます。
Ｙ＝ｘａ 　（式１）　（定数 a は所定の実数）
この式１であらわされるグラフは、
グラフが滑らかである大部分の変数値ｘにおいて、
傾きが∞にならない点で、微分可能です。
この式１のグラフの微分可能性は、以下の様に変数変換して調べることもできます。
この式１を関数ｌｏｇ（ｘ）で変換すると、
ｌｏｇ（Ｙ）＝ａ＊ｌｏｇ（Ｘ）　（式２）
に変換されます。
この式２を
Ｚ＝ｌｏｇ（Ｙ）　（Ｚ＞０）
ｔ＝ｌｏｇ（Ｘ）　（ｔ＞０）
で変数変換すると、
Ｚ＝a＊ｔ 　（式３）　（ただし、Ｚ＞０，ｔ＞０）
が得られます。
この式３であらわされるグラフは、元の変数であらわされたグラフと、「微分可能」と「微分不可能」という性質が変わりません。
式３のグラフは「微分可能」ですので、元の式１であらわされたグラフも「微分可能」であることがわかります。

　なお、置換積分法での解き方が違うと積分の解の式の形が違うことがあります。それは、同じ解の式が異なる形で表れているだけですので、異なる形であっても、その解を受け入れるべきです。
「（別ページ）形が違う同じ式」

【置換積分の条件はどこまで緩められるか】
　置換積分の条件になっている、
「関数g(t)が微分可能であること」
という条件は、
「導関数g'(t)が積分可能であること」
という意味で設定された条件でした。

しかし、
g(t)がある１点で微分可能でなくても、
g(t)が１つながりに連続な関数であれば 、
その微分が出来ない１点は無視して、それ以外の関数値
f(g(t))g'(t)
を使って、
ｔで積分するならば、
不定積分の置換積分の公式：

が成り立つ。
なぜなら、リーマン積分によって関数を微小区間に分割して微小な面積の総和を取る積分の定義を、以下の図の様に変えた積分を定義できるからである。

上の図では、リーマン積分での微小区間の領域を、極限では同じ領域になる少し狭めた領域に変え、その領域の面積の極限を狭める前の微小区間の面積と同じにする。
その微小面積の総和を積分とする広義積分を使う。
　こういうふうに微小領域を設定すれば、積分区間の端での関数値が何であるかを無視して積分することができる。
　積分区間の端で関数が無限大に発散するような現象も、狭められた領域における、区間の端の近傍の関数値が無限大に発散する事で反映されるので、見逃される事が無い。
　広義積分によれば、積分区間の端で媒介関数の微分g'(t)が存在しない場合でも積分ができる。
 （広義積分の解答を書く場合には、良く説明する必要があります。ただし、高校数学では広義積分は扱わない。） 

また、例えば、
x=g(t)=t,　（t≦0）
x=g(t)=2t,　（t≧0）
という、t=0では微分できない媒介関数ｘ＝g(t)を使った場合。
g'(t)=1,   （t<0）
g'(t)=2,　（t>0）
であって、g'(t)は、t=0で連続ではありません。
しかし、g(t)は、t=0 で連続です。
また、t=0の点で（導関数g'(t)が定義されていない）そのｔの値の近傍までg'(t)を積分して、その積分の極限値をt＝0の点等での値g(0)と定義する広義積分をするならば、
そういう積分を定義して使うならば、
t=0では連続で無い導関数g'(t)を持つ媒介関数g(t)を使っても、
上の式であらわした不定積分の置換積分の公式の右辺の積分が、
t=0の点をまたいだ積分が可能になります。

〘置換積分によって積分可能性が変えられる例〙
関数ｆ（ｘ）≡１／ $\sqrt{\mathrm{-ｘ}}$
は、ｘが－１から０未満の数までの範囲で積分可能ですが、
ｘが－１から０までの範囲では、ｘ＝０に近づくと被積分関数の値が無限に大きくなるので積分可能ではありません。

しかし、
ｘ＝０で微分不可能な連続関数ｔ＝ｓ(x) を媒介関数に使って、
変数ｔ＝ｓ(x) ≡－√( -ｘ)
で積分する式に置換積分すると、
言い換えると、
ｔ≦０で；　 変数ｘ＝ｇ(t)＝ー(ｔの２乗)．
ｔ≧０で；　 変数ｘ＝ｇ(t)＝(ｔの２乗)．
となる媒介関数ｘ＝ｇ(t) を使って置換積分すると、

以下の図の様に、被積分関数が、ｔ＝０でも積分可能な関数、すなわち、定数２である関数に変換されます。

そのため、その場合は、 ｘがー１から０までの範囲に対応する、
ｔが－１から０までの範囲（ｔ＝０は、ｘ＝０に対応する点）で、「積分可能」に変わります。
このように、積分可能な区間の範囲が、変数ｘを変数ｔに変換する媒介関数ｔ＝ｓ(x) によって変えられます。 

広義積分によって積分可能になる条件として、以下の条件が考えられる。
「閉区間で積分可能で、かつ、最大値と最大値を持つ（有界であると言う）」関数同士の積の関数も積分可能な関数になります。 そのため、
「関数g(t)が、まばらにある微分不可能な点以外では、微分可能な関数であって、微分不可能な点でも連続で１つながりに連続な関数である」ならば、置換積分の公式が成り立ちます。
また、f(x)も「閉区間で積分可能で、かつ、最大値と最大値を持つ（有界であると言う）」条件が成り立つならば、f(x)が連続でなくても、置換積分の公式が成り立ちます。

結局、広義積分を前提にして、置換積分に使える関数ｘ＝ｇ(t) の条件を緩める限り緩めれば、以下の条件になる。
「閉区間[a,b]において、積分可能な関数ｆ(x)に関して、
変数x=g(t)とおくとき、
g(t)は、まばらには存在し得る微分不可能な点以外の点で微分可能であり、微分不可能な点でも連続な１つながりに連続な関数である事。
そして、
被積分関数ｆ(g(t))は、
「閉区間[a,b]で積分可能で、かつ、最大値と最大値を持つ（有界であると言う）」関数である事」
が、広義積分において置換積分の公式が成り立つための、（必要十分条件にかなり近い）十分条件です。
（これが必要条件では無い理由は、ｆ(ｇ(t)) が有界でなくても、広義積分によって不定積分ができる場合があるからです。）

この条件は、関数のイメージが湧き易い以下の条件で表すと覚え易い。
〘置換積分に使える関数ｇ(t)＝ｘの条件〙
①関数g(t)には、（疎らに存在する）微分不可能な点（折れ曲がり点や傾きが無限大の点）があっても良い。
②関数ｇ(t) は、１つながりに連続な関数である。
③また、被積分関数ｆ(g(t)) は以下のように不連続な関数であっても良い。その関数の積分区間内で数点を除いて連続であり、
その数点の不連続な点でも被積分関数が無限大には発散しない（最大値と最小値を持つ有界な）関数である。

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