【問１】
座標原点を中心にする半径１の円（ｘ２＋ｙ２＝１）に対して、点Ａ（
ａ，０）から引いた接線の円との接点Ｂの座標をもとめよ。
上の図で線分ＯＡの長さをａとする。
（予備知識）
受験問題のときは、円と直線の方程式の問題は、図形で考えます。図形で解く方が速く解が得られるし、計算の見通しを良くするからです。
この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。
この問題を自力で解いた後で、解答も読んでください。
参考になる解説を書きましたので。
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【問題１】
下図の三角形ABCの辺の長さｃとａと、その間の頂角Ｂ＝θが分かっているとき、
残りの頂角AとＣの三角比を求めよ。
（解説）
ベクトルの内積を余弦定理より先に学んで、ベクトルの内積で余弦定理を導き出した学生は、余弦定理をベクトルの内積により計算できます。
【解答】
頂角AとCの三角比は、
このｘの式を使って、以下の図を使って計算できる。
頂角AとCのcosについては、以下の図を使って計算できる。
（解答おわり）
（注意）
三角形の頂角Aのcosの値は正だけで無く負の値もあるので、
sinを求めた値から、
１＝(sinA)２＋(cosA)２
を利用してcosを求める場合、その値が正か負かがわからない。
そのため、cosを求める際には、sinの値から計算せずに、sinとは独立に計算する事が望ましい。
一方、三角形のsinＡは常に正であるので、cosを求めた値から以下のように計算してsinＡを求めても良い。
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「三角形の垂心の図の全ての線分を三角関数の積で表す」のページから分かる事：
線分BCを見ると：
sinA＝(sinC・cosB)＋(sinB・cosC) （１）
線分ADを見ると：
cosA＝(sinB・sinC)－(cosB・cosC) （２）
このように、三角形ABCの角Bと角Cの三角比が分かっているとき、
残りの角Aの三角比が、式１と式２で求められる。
この式１と２は、高校２年になると、三角関数の加法定理で学びます。
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（接線の定義）
連続なグラフ上に２点Ａ，Ｂを取って、その２点をその間の１点のＣに無限に近づけた時に、その２点Ａ，Ｂを通る直線が１つの直線に収束する場合に、その直線を、そのグラフの、点Ｃにおける接線と呼び、点Cを接点と呼びます。
例えば、上図のようなＹ軸に平行な直線
ｘ＝ｋ
と円とが接する条件は、
直線と円との２つの交点が１つの点になる極限で、直線が円に接する。
その条件は、
ｋ＝－１、または、ｋ＝１
である。
その場合にｙの値が重解０になる。
また、下図のような直線
ｙ＝ｘ＋ｋ
と円が接する条件を求める。
直線と円との２つの交点が１つの点になる極限で、直線が円に接する。
その条件は、
ｋの二乗＝２
である。
その場合にｘの値が重解（＝－ｋ／２）になる。
交点（ｘ，ｙ）の解が重解になる場合に、 直線と円が接する。
それは、上図の様にｘの解が重解になる場合や、ｙの解が重解になる場合がある。
（注意１）
グラフの不連続点や、グラフが滑らかでは無く折れ曲がっている点においては、その点における接線は考え無いことにする。その不連続点や折れ曲がり点に接する直線があるかもしれないが、その点における「接線」については考え無いことにする。
（注意２）
関数の変数を変換すると、接する２つグラフが接さない２つのグラフに変換される例を考える。
下の２つの関数のグラフはＯ点で接しています。
しかし、この２つの関数の変数ｘを、以下のグラフで表される関数X（ｔ）を使って変数ｔに変換してみます。
この関数Ｘ（ｔ）のグラフは、
ｔ＝０の点での傾き（関数のｔによる微分係数）が無限大になってしまい、ｔ＝０では微分可能で無いという特徴があるグラフです。
この関数で元の２つの関数の変数ｘを変数ｔに変換してあらわすと以下の２つのグラフになります。
元の２つのグラフの変数ｘを変数ｔに変換した２つのグラフはＯ点で接さず交差しています。
変数を変換すると、このように、互いに接する２つのグラフが、交差はするが接さない２つのグラフに変わってしまうことがあることに気をつけましょう。
なぜ、その様なことが起こるのでしょうか？
それを自力で考えていく事が数学を勉強する良い態度だと思います。
原因が分からなければ、数学の信用できる参考書で勉強しましょう。しかし、結局は、その答えは自力で考えることになりますが、、、
その様なおかしな事が起こる場合は、変数ｔのその値で微分可能では無い関数を使って変数を変換すると生じ得ます。おかしな事が起こらないようにする１つの十分条件として、変数変換に使う関数を、変数のその値で「微分可能」な関数を使えば、変数がその値の部分でのグラフにはおかしな事が起こりません。
「微分可能」は、このようにおかしな事が起こらないようにする十分条件なのです。これが、「微分可能」と「微分不可能」を区別する意味だと考えます。
この「微分可能」によって、自然な直感で想像できる事がどのようにして生じ得るかの答えは、「合成関数の微分の公式」によって明らかにされますので、それまで地道に勉強を進めて欲しいと思います。
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【問題】 三角形の頂角を半分にした三角形に関して、
以下の式１及び２が成り立つことを証明せよ：
三角比は、角度θをあらわすのに、cosθとsinθとの２つの表し方があり、複雑です。
また、三角比は、以下の公式の様に、同じ値が、２つ以上の三角比の式で表されるという複雑な性質を持っています。そのため、その同じ値の２つの三角比の式同士を相互に変換できるように頭を整理しておきましょう。
【公式１】
分数式の分母が０になる場合を除き、
以下の式１及び１’：
が成り立つ事を証明せよ。
【公式２】
分数式の分母が０になる場合を除き、
以下の式２及び２’：
が成り立つ事を証明せよ。
【公式３】
分数式の分母が０になる場合を除き、
以下の式４：
及び、
が成り立つ事を証明せよ。
【公式４】
分数式の分母が０になる場合を除き、
以下の式５：
及び、
が成り立つ事を証明せよ。
この問題の解答はここをクリックした先にあります。
これらの問題を解いたら解答も見てください。補足したコメントも書きましたので。
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上の図で線分ＯＡの長さをａとする。
