【同値変形とはなにか】
同値変形とは、命題Ａの全ての情報を過不足なく保持させて命題Ｂに変換する処理です。
つまり、同値変形とは、命題Ａのあらわす情報を保持したまま、表現を書き換えて命題Ｂにする処理です。
命題Ａがあらわす情報は、方程式の集合である場合や、または、（Ｘ，Ｙ）座標であらわされる点の集合である場合や、その他、数の集合だったりします。
【方程式の集合の同値変形】
《同値変形の例１》
以下の連立方程式は等価であり、左の式の群から右の式の群が導き出せる。
左から右まで、等価な式の群が、同値変形で、導き出される。
下図の左側の式の群の情報（条件Ａ）がある場合に、必ず右側の式の群の情報（条件Ｂ）が抽出できる。右側の式の群（条件Ｂ）が必ず成り立つ。右側の式の群（条件Ｂ）を、左側の式の群（条件Ａ）の必要条件と呼んでいる。
下図の左側の式の群の情報（条件）がある場合に、右側の式の群の情報（条件）が全て抽出できるわけではない。そのため、左側の式の群（条件）が成り立つ場合に必ず右の式の群（条件）が成り立つわけではない。右の式の群（条件）は、左側の式の群（条件）の必要条件ではない。
下図のように、左側の式の情報（条件）がある場合に、その式の情報に新たな式の情報を追加して合わせた式の群（条件Ａ）があれば、合わせた式の群の情報（条件Ａ）は右側の式の群の情報（条件Ｂ）と同じになる。
すなわち、左側の式の当初からの情報（α＝１）に、ｙ＝１という情報を、当初からの条件と定めて加えた、全ての情報（条件Ａ）は、右側の式の情報（条件Ｂ）と同じになる。そうだからと言って、元の左側の式の情報（α＝１）がある場合に、ｙの情報が当初から定められていなければ、右側の式の群の情報（条件Ｂ）が全て抽出できるわけではない。
《式を置き換えて考える》
下図の、左から右まで、等価な式の群が、同値変形で、導き出される。
この式の群のどれもが等価である。
この式の群のうちの１つを取り出して、先に評価した式、すなわち、左側の式にｙに関する情報を加えた式と右側の式の群を比べる式、の項をそれに置き換えて考える。
上図の左側の式の群の情報（条件）がある場合に、右側の式の群の情報（条件）が全て抽出できるわけではない。そのため、左側の式の群（条件）が成り立つ場合に必ず右の式の群（条件）が成り立つわけではない。右の式の群（条件）は、左側の式の群（条件）の必要条件ではない。
下図のように、左側の式の情報がある場合に、その式の情報に新たなｙの式の情報を追加して合わせた式の群（条件Ａ）があれば、合わせた式の群の情報（条件Ａ）は右側の式の群の情報（条件Ｂ）と同じになる。
すなわち、左側の式の当初からの情報（α＋α＝２）に、ｙ＝αという情報を、当初からの情報と定めて加えた、全ての情報（条件Ａ）は、右側の式の情報（条件Ｂ）と同じになる。そうだからと言って、元の左側の式の情報（α＋α＝２）がある場合に、ｙの情報が当初から定められていなければ、右側の式の群の情報（条件Ｂ）が全て抽出できるわけではない。
《同値変形の例２》
以下の式の群も、左側の式の群から右側の式の群に同値変形されます。
《同値変形の例３》 軌跡（２）から：
以下の式の群も、左側の式の群から右側の式の群に同値変形されます。
なお、上記の左側の方程式の群を同値変形して、以下の形の方程式の群が得られた場合は、その軌跡の式(a1) を満足する全ての点(X,Y) が、方程式群の全ての解(X,Y,m) を与える。
詳しくは、以下の内容である。すなわち、方程式の群の同値変形によって；①、パラメータｍが点(X,Y) の解として与えられる方程式(a2) が求められた。また、②、ＸとＹとの軌跡の方程式(a1) が求められた。①と②が得られたならば、軌跡の方程式(a1) を満たす全ての点(X,Y) に対して、方程式の解(X,Y,m) が存在する。という公式である。
この公式は、「①と②が得られたならば、パラメータｍを消して全ての点が解となる軌跡の式(a1) が求められる」という、（消さなくても良い）「パラメータｍを消す」という回りくどい言い方をする「存在条件の代入原理」よりも分かりやすいと思う。
《命題の例４》
以下の論理式であらわした全体の命題は、その全体の命題の左側の部分の命題と右側の部分の命題とに、以下の論理式の関係があるものとした命題である。
（命題Ａ）→（命題Ｂ）
（命題Ｂは命題Ａの必要条件である）の例：
Ｘ＝１， → Ｘ＝１０ー９，
上記の命題全体をあらわす論理式の右側の部分の命題Ｂは、Ｘを、
１０－９
という数式であらわしている。この命題Ｂの情報は、結局は１０－９の計算の結果で得られた値１が、Ｘの値であることをあらわしている命題である。
この命題Ｂ（条件Ｂ）を、条件が最も本質的な形になるまで同値変形することで、
１０－９
という計算の結果の値の１のみを残すという、条件が最も本質的な形になるまで同値変形して条件Ｂ’にする。 命題Ｂ（条件Ｂ）のあらわす情報を説明するために使った計算式１０－９を除去した条件Ｂ’（それは命題Ｂと同じ情報である）が、命題Ａ（条件Ａ）の必要条件（条件Ａが成り立てば必ず成り立つ情報）である。
【点の集合(X,Y) をあらわす表現の同値変形】
《同値変形の例５》
同値変形する元の命題Ａのあらわす情報（条件Ａ）が、「方程式」という情報ではなく、点（Ｘ，Ｙ）の集合をあらわす情報の場合、点（Ｘ，Ｙ）の集合の情報あらわすために使ったパラメータは、点（Ｘ，Ｙ）の情報には含まれない。それゆえ、点（Ｘ，Ｙ）の集合をあらわす命題Ａ（条件Ａ）の表現を同値変形で言い換える際にそのパラメータは残す必要がないことを注意しておく。例えば、以下の図のように点（Ｘ，Ｙ）の集合をあらわす命題Ａの表現を、以下のようにパラメータｍを消して同値変形できる。
このような、方程式の群ではなく、点（Ｘ，Ｙ）の集合の情報をあらわす命題Ａ（条件Ａ）の表現を言い換える同値変形があるので要注意である。
以下の問題を解く場合の同値変形を考える。
【問１】実数のｍの値が変化するとき、２直線
ｍｘ－ｙ＋５ｍ＝０ （直線１）
ｘ＋ｍｙ－５＝０ （直線２）
の交点Ｐ（Ｘ，Ｙ）の軌跡を求めよ。
この問題の直線１と直線２の連立方程式は、先ずは、方程式の同値変形ができる。
下図の左側の命題Ｂとして、その方程式のあらわす点（Ｘ，Ｙ）の集合だけ（ｍの値に応じて点の位置が動く）をあらわす命題Ｂを考える。命題Ｂは、点（Ｘ，Ｙ）の集合の情報を、ー∞＜ｍ＜∞の範囲の値が可能なパラメータｍを使ってあらわしている。
その命題Ｂがあらわす点（Ｘ，Ｙ）の集合は、下図の右側の命題Ａがあらわす点（Ｘ，Ｙ）の集合の情報と同じである。
下の図であらわす命題B（条件Ｂ）において、パラメータｍは、点（Ｘ，Ｙ）の集合の説明に使っているだけである。命題Ｂ（条件Ｂ）が与える情報にはパラメータｍは含まれない。そのため、命題Ｂは命題Ａから導き出される必要条件になる。
m を使って得られた点(X,Y) の情報のみを残してパラメータm を除去した情報の命題Ｂ’（それは命題Ｂと同じ情報である）が、命題Ａ（点(X,Y) の情報のみをあらわす命題）（条件Ａ）の必要条件（命題Ａが成り立てば必ず成り立つ情報）である。
なお、命題Ａが表す点の集合(X,Y) を表現を変えて表した命題Ｂは、以下の命題Ｃや命題Ｄとして表現することもできる。
《存在条件の代入原理の証明》
以下の同値変形ができます。
上記の式において、最初の、存在記号を使って表した命題を同値変形して得た最後の命題は、方程式(a4)を満足する点(X,Y) の集合を表す命題である。その命題には、存在記号∃を消す替わりに、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」という言葉が必要である。 その命題は、式(a4) という方程式そのものではない。方程式(a4) は命題に利用されているだけであり、既に消えたパラメータｍと同じく、命題があらわす点の集合(X,Y) を具体化させた後では消すべき存在である。その命題は、式(a4) を使わずに、点(X,Y) のリストを表示した命題であっても良かったのである。
【数の集合をあらわす表現の同値変形】
《同値変形の例６》
同値変形する情報が、「方程式」という情報ではなく、数αをあらわす情報の場合、その数αの情報を説明するために付属するパラメータは、数αの情報の同値変形において残す必要はない。以下の図の、数αをあらわす表現の同値変形の関係が成り立つ。これは、方程式の群を同値変形しているわけではない。数αをあらわす表現を言い換える同値変形をしているのである。
数αをあらわす表現の同値変形を、以下の図のように少し変えてあらわす。数αをあらわす表現においては、αに関係ない数ｘの事項は、数αには関係ないので無くても情報が変わらない。
ただし、数αに関係ない事項であっても、命題（条件）を偽にしてしまうという、命題（条件）に甚大な被害を与えるような事項（それは命題（条件）があらわす情報を変える重大事項である）は、命題（条件）から除去できない。
リンク：
無理方程式を解くときに注意すること3つ
二重根号の外し方の４つの方法
高校数学の目次
同値変形とは、命題Ａの全ての情報を過不足なく保持させて命題Ｂに変換する処理です。
つまり、同値変形とは、命題Ａのあらわす情報を保持したまま、表現を書き換えて命題Ｂにする処理です。
命題Ａがあらわす情報は、方程式の集合である場合や、または、（Ｘ，Ｙ）座標であらわされる点の集合である場合や、その他、数の集合だったりします。
【方程式の集合の同値変形】
《同値変形の例１》
以下の連立方程式は等価であり、左の式の群から右の式の群が導き出せる。
左から右まで、等価な式の群が、同値変形で、導き出される。
下図の左側の式の群の情報（条件Ａ）がある場合に、必ず右側の式の群の情報（条件Ｂ）が抽出できる。右側の式の群（条件Ｂ）が必ず成り立つ。右側の式の群（条件Ｂ）を、左側の式の群（条件Ａ）の必要条件と呼んでいる。
下図の左側の式の群の情報（条件）がある場合に、右側の式の群の情報（条件）が全て抽出できるわけではない。そのため、左側の式の群（条件）が成り立つ場合に必ず右の式の群（条件）が成り立つわけではない。右の式の群（条件）は、左側の式の群（条件）の必要条件ではない。
下図のように、左側の式の情報（条件）がある場合に、その式の情報に新たな式の情報を追加して合わせた式の群（条件Ａ）があれば、合わせた式の群の情報（条件Ａ）は右側の式の群の情報（条件Ｂ）と同じになる。
すなわち、左側の式の当初からの情報（α＝１）に、ｙ＝１という情報を、当初からの条件と定めて加えた、全ての情報（条件Ａ）は、右側の式の情報（条件Ｂ）と同じになる。そうだからと言って、元の左側の式の情報（α＝１）がある場合に、ｙの情報が当初から定められていなければ、右側の式の群の情報（条件Ｂ）が全て抽出できるわけではない。
《式を置き換えて考える》
下図の、左から右まで、等価な式の群が、同値変形で、導き出される。
この式の群のどれもが等価である。
この式の群のうちの１つを取り出して、先に評価した式、すなわち、左側の式にｙに関する情報を加えた式と右側の式の群を比べる式、の項をそれに置き換えて考える。
上図の左側の式の群の情報（条件）がある場合に、右側の式の群の情報（条件）が全て抽出できるわけではない。そのため、左側の式の群（条件）が成り立つ場合に必ず右の式の群（条件）が成り立つわけではない。右の式の群（条件）は、左側の式の群（条件）の必要条件ではない。
下図のように、左側の式の情報がある場合に、その式の情報に新たなｙの式の情報を追加して合わせた式の群（条件Ａ）があれば、合わせた式の群の情報（条件Ａ）は右側の式の群の情報（条件Ｂ）と同じになる。
すなわち、左側の式の当初からの情報（α＋α＝２）に、ｙ＝αという情報を、当初からの情報と定めて加えた、全ての情報（条件Ａ）は、右側の式の情報（条件Ｂ）と同じになる。そうだからと言って、元の左側の式の情報（α＋α＝２）がある場合に、ｙの情報が当初から定められていなければ、右側の式の群の情報（条件Ｂ）が全て抽出できるわけではない。
《同値変形の例２》
以下の式の群も、左側の式の群から右側の式の群に同値変形されます。
《同値変形の例３》 軌跡（２）から：
以下の式の群も、左側の式の群から右側の式の群に同値変形されます。
なお、上記の左側の方程式の群を同値変形して、以下の形の方程式の群が得られた場合は、その軌跡の式(a1) を満足する全ての点(X,Y) が、方程式群の全ての解(X,Y,m) を与える。
詳しくは、以下の内容である。すなわち、方程式の群の同値変形によって；①、パラメータｍが点(X,Y) の解として与えられる方程式(a2) が求められた。また、②、ＸとＹとの軌跡の方程式(a1) が求められた。①と②が得られたならば、軌跡の方程式(a1) を満たす全ての点(X,Y) に対して、方程式の解(X,Y,m) が存在する。という公式である。
この公式は、「①と②が得られたならば、パラメータｍを消して全ての点が解となる軌跡の式(a1) が求められる」という、（消さなくても良い）「パラメータｍを消す」という回りくどい言い方をする「存在条件の代入原理」よりも分かりやすいと思う。
《命題の例４》
以下の論理式であらわした全体の命題は、その全体の命題の左側の部分の命題と右側の部分の命題とに、以下の論理式の関係があるものとした命題である。
（命題Ａ）→（命題Ｂ）
（命題Ｂは命題Ａの必要条件である）の例：
Ｘ＝１， → Ｘ＝１０ー９，
上記の命題全体をあらわす論理式の右側の部分の命題Ｂは、Ｘを、
１０－９
という数式であらわしている。この命題Ｂの情報は、結局は１０－９の計算の結果で得られた値１が、Ｘの値であることをあらわしている命題である。
この命題Ｂ（条件Ｂ）を、条件が最も本質的な形になるまで同値変形することで、
１０－９
という計算の結果の値の１のみを残すという、条件が最も本質的な形になるまで同値変形して条件Ｂ’にする。 命題Ｂ（条件Ｂ）のあらわす情報を説明するために使った計算式１０－９を除去した条件Ｂ’（それは命題Ｂと同じ情報である）が、命題Ａ（条件Ａ）の必要条件（条件Ａが成り立てば必ず成り立つ情報）である。
【点の集合(X,Y) をあらわす表現の同値変形】
《同値変形の例５》
同値変形する元の命題Ａのあらわす情報（条件Ａ）が、「方程式」という情報ではなく、点（Ｘ，Ｙ）の集合をあらわす情報の場合、点（Ｘ，Ｙ）の集合の情報あらわすために使ったパラメータは、点（Ｘ，Ｙ）の情報には含まれない。それゆえ、点（Ｘ，Ｙ）の集合をあらわす命題Ａ（条件Ａ）の表現を同値変形で言い換える際にそのパラメータは残す必要がないことを注意しておく。例えば、以下の図のように点（Ｘ，Ｙ）の集合をあらわす命題Ａの表現を、以下のようにパラメータｍを消して同値変形できる。
このような、方程式の群ではなく、点（Ｘ，Ｙ）の集合の情報をあらわす命題Ａ（条件Ａ）の表現を言い換える同値変形があるので要注意である。
以下の問題を解く場合の同値変形を考える。
【問１】実数のｍの値が変化するとき、２直線
ｍｘ－ｙ＋５ｍ＝０ （直線１）
ｘ＋ｍｙ－５＝０ （直線２）
の交点Ｐ（Ｘ，Ｙ）の軌跡を求めよ。
この問題の直線１と直線２の連立方程式は、先ずは、方程式の同値変形ができる。
下図の左側の命題Ｂとして、その方程式のあらわす点（Ｘ，Ｙ）の集合だけ（ｍの値に応じて点の位置が動く）をあらわす命題Ｂを考える。命題Ｂは、点（Ｘ，Ｙ）の集合の情報を、ー∞＜ｍ＜∞の範囲の値が可能なパラメータｍを使ってあらわしている。
その命題Ｂがあらわす点（Ｘ，Ｙ）の集合は、下図の右側の命題Ａがあらわす点（Ｘ，Ｙ）の集合の情報と同じである。
下の図であらわす命題B（条件Ｂ）において、パラメータｍは、点（Ｘ，Ｙ）の集合の説明に使っているだけである。命題Ｂ（条件Ｂ）が与える情報にはパラメータｍは含まれない。そのため、命題Ｂは命題Ａから導き出される必要条件になる。
m を使って得られた点(X,Y) の情報のみを残してパラメータm を除去した情報の命題Ｂ’（それは命題Ｂと同じ情報である）が、命題Ａ（点(X,Y) の情報のみをあらわす命題）（条件Ａ）の必要条件（命題Ａが成り立てば必ず成り立つ情報）である。
なお、命題Ａが表す点の集合(X,Y) を表現を変えて表した命題Ｂは、以下の命題Ｃや命題Ｄとして表現することもできる。
《存在条件の代入原理の証明》
以下の同値変形ができます。
上記の式において、最初の、存在記号を使って表した命題を同値変形して得た最後の命題は、方程式(a4)を満足する点(X,Y) の集合を表す命題である。その命題には、存在記号∃を消す替わりに、「以下の式を満足する点(X,Y) の集合」という言葉が必要である。 その命題は、式(a4) という方程式そのものではない。方程式(a4) は命題に利用されているだけであり、既に消えたパラメータｍと同じく、命題があらわす点の集合(X,Y) を具体化させた後では消すべき存在である。その命題は、式(a4) を使わずに、点(X,Y) のリストを表示した命題であっても良かったのである。
【数の集合をあらわす表現の同値変形】
《同値変形の例６》
同値変形する情報が、「方程式」という情報ではなく、数αをあらわす情報の場合、その数αの情報を説明するために付属するパラメータは、数αの情報の同値変形において残す必要はない。以下の図の、数αをあらわす表現の同値変形の関係が成り立つ。これは、方程式の群を同値変形しているわけではない。数αをあらわす表現を言い換える同値変形をしているのである。
数αをあらわす表現の同値変形を、以下の図のように少し変えてあらわす。数αをあらわす表現においては、αに関係ない数ｘの事項は、数αには関係ないので無くても情報が変わらない。
ただし、数αに関係ない事項であっても、命題（条件）を偽にしてしまうという、命題（条件）に甚大な被害を与えるような事項（それは命題（条件）があらわす情報を変える重大事項である）は、命題（条件）から除去できない。
リンク：
無理方程式を解くときに注意すること3つ
二重根号の外し方の４つの方法
高校数学の目次
