2017年10月19日木曜日

正しい数学の勉強のしかた

正しい数学の勉強のしかた。
(1)難問を解く努力(解けないけどあきらめない)
(2)力つきて(しかたなく)眠る
このような努力をすると、
その様に勉強した後、眠って、
朝起きると、知能や感受性を上げるホルモンが夜の間に分泌されて、
朝がとても気持ち良くなります。

この繰り返しが、学生の知能を上げます。

そのため、難問が簡単にとけてしまって、
難問という、とことん努力する課題を無くしてしまって、
知能を上げるホルモンの分泌をじゃましてはいけない
と考えます。

そのため、全ての難問の簡単な解き方を教えてしまって、
何もかも簡単にしてしまってはいけない
とも考えます。

難問は解けないですが、それを解く努力を続けること。
そして、その努力の過程で
(まだ問題が解けていない間に)
成果として得られた「知能」を、
他の課題の勉強のためにも使う知恵が大切です。 

問題が解けていない矛盾をかかえ、
気分を変えて、その問題以外のことに取り組むことが、
成果として得られた「知能」を楽しむバランス感覚です。
(このことをよく自覚すること)

学生は自分で、何かをつかみ取る努力をすること。
そして、望んでも解答が得られない間
(すなわち、知能が高まる時)をよく自覚して、
それを省略しようとせず、
がまんして耐え、他のこともしっかり行う忍耐を養う。
それが、一番大切な勉強方法だと思います。

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2017年10月15日日曜日

公式の証明の補助線をまねて使って解く

【問1】(難問)
上の図において、円Oの半径は12で、直径ABをBD=4となるように延長した点がD、またAB⊥COである。CDと円Oの交点がEである。
このとき、弦EBの長さを求めなさい。

(注意)
 図形問題では、先ず、補助線を引いて足りない図形を埋め、同じ角度に印を付け、特に、図形を対称な形に完成させてから問題を解くように心がけてください。

この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。

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2017年10月14日土曜日

三角形の面積を3辺から計算する

【問1】
上図の三角形の面積Sを求めよ。

【問2】
上図の三角形の面積Sを求めよ。

この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。
解答のページに、この種の計算を楽にする頂点を選ぶ工夫を書きましたので、問題を解いた後に、この解答ページも見てください。

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三角形の頂点からの距離の積の式と三角形の中線の長さの式の関係

以下で、三角形の頂点からの距離の積の公式(その2)と、三角形の中線の長さの公式との関係を整理します。

【中線の長さの公式(中線定理)】
上図のように、三角形ABCの辺BCの中点Mと頂点Aを結んだ中線AMの長さmに関して、上の式1が成り立つ。式1は式2の形に書き変えて使うことができる。

この公式の証明は、ここをクリックした先のページにあります。

 この中線の長さの公式(中線定理)以外の以下の公式は、中線定理に比べて覚えにくいように思います。
 そのため、以下の公式は高校入試問題にはほとんど出ないようにも考えられます。
しかし、図形の難問を解く受験の戦いで、使える道具は多い方が安心ですので、それらも覚えてみてください。

【頂点からの距離の積の公式】
上式のように、三角形ABCの頂点Cから辺ABへ垂直に引いた線との交点Hに関する線分の積が以下の式であらわされる。
AH×AB=m-s

この公式の証明は、ここをクリックした先のページにあります。

一方、中点の長さの公式は:
(b+c)/2=m+s 
である。

これらから、AHが以下の通り計算できる。
三角形の頂点Cの辺AB上への足Hまでの長さAH
がこの式であらわされることは、
以下の公式でもあった。

【三角形の頂点の足の位置の公式】
上図の三角形ABCの頂点Aの左右へのずれを計算する上の式が成り立つ。
 
この公式の証明はここをクリックした先のページにあります。

この式を使うと頂点Aの辺BC上への足Dと点Bの間の長さBDが計算できる。
 
ここで、
(c+b)(c-b)=c-b 
です。

この公式のポイントと、三角形の頂点からの距離の積の公式のポイントとの関係を、以下の図で整理して覚えてください。
上の図は、下の図をいっしょに覚えると覚え易いです。

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2017年10月13日金曜日

三角形の頂点からの距離の積の公式(その2)

以下の公式は、
円からはみ出す△AHD∽△AEBの公式
と覚えた方が良い。
【公式】
上式のように、三角形ABCの頂点Cから辺ABへ垂直に引いた線との交点Hに関する線分の積:
AH×AB
が、
辺BCを直径2sとする円の中心Oと頂点Aを結ぶ線と円との交点DとEに関する線分の積:
AD×AE=(AO)-s
に等しいことを証明しなさい。

この公式の証明は、ここをクリックした先のページにあります。

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2017年10月12日木曜日

知識不足を想像力で補う

【問題】 
上図で、AD=BD=12である。
DC=4で、DCの中点をNとする。
AB=16で、ABの中点をMとする。
∠ACB=90°
とする。
このとき、MNの長さを求めよ。

(解答の方針)
 この問題は、三角形MCBの辺CDの中点Nと頂点Mを結んだ線分の長さを、「中線の長さの公式」を使って計算する問題です。

 しかし、以下の解き方は、この公式を知らない場合に、その知識不足を想像力で補って解く場合の解答方法を書きます。
(高校入試問題では、想像力で知識を補える問題がけっこう有るように思います)

【解答】
 以下のように、足りない図形を埋めて図形を完成させます。
直角三角形はその斜辺を直径とする円に内接しますので、円を書きます。
直角三角形AMDの辺の長さを計算するのを、相似な三角形を想像して、その辺を計算することで求めます。
三角形DMCについて、相似な三角形を想像します。
寸法が簡単な相似な三角形を見ると、三平方の定理により、この三角形が直角三角形であることがわかります。
 ∠Cが直角なので、線分MNの長さは直角三角形NMCの斜辺を計算すれば良くなり、問題が簡単になりました。
(この問題は、想像力が知識を補えるように簡単にしてありました)
よって、
(解答おわり) 

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中線の長さの公式(中線定理)

【中線の長さの公式(中線定理)】
上図のように、三角形ABCの辺BCの中点Mと頂点Aを結んだ中線AMの長さmに関して、上の式1又は式2が成り立つことを証明しなさい。

この問題の解答は、ここをクリックした先のページに書きました。

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2017年10月11日水曜日

三角形の頂点からの距離の積の公式

【公式】
上式のように、三角形ABCの垂心Hに関して、頂点Aからの各点までの距離の積が等しいことを証明しなさい。

この公式の証明は、ここをクリックした先にあります。

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2017年10月9日月曜日

円に内接する四角形の対角線の交差点までの長さ

円に内接する四角形の対角線の交差点までの長さの計算は、
2つの場合に応じて、解き方が変わります。

【第1の場合】 
三角形AEDと三角形BECは相似です。
△AED ∽ △BEC
 上図のように、三角形AEDの辺ADの長さaと三角形BECの辺BCの長さaが異なる場合は、

相似な三角形同士で辺の比が同じであることを表す方程式1と2を立てて、以下のように計算して長さxとyを求めます。

【第2の場合】
上図のように、三角形AEDの辺ADと三角形BECの辺BCの長さaが同じ場合は、
先ず、頂点Dの足Fを考え、FB=Cを計算する。
この式は、ここをクリックした先に書きました。
そして、このCを使った式6の計算で長さzを求めます。

(補足)
 この第2の場合で、線分DCの長さもわかっている場合は、
(1)
=(AB+DC)/2
で計算できます。
また、
(2)相似な△ECDと△EBAの辺CDの長さと辺BAの長さが等しくない場合は、第1の場合の計算を使うことができます。
(3)辺CDの長さと辺BAの長さが等しく、辺ADの長さと辺BCの長さも等しい場合は、四角形ABCDが長方形になり、簡単に解けます。

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