2019年7月15日月曜日

三角形の辺のベクトルの内積の変換公式



大学への数学「ベクトル」編の勉強

(以下の公式は、「余弦定理に類似した外心の高さを含む式」です。)
円周角の定理とベクトルの内積とを使う計算によって、
三角形の辺のベクトルの内積を変換する公式を得る。
 この公式は、ベクトルCZを直線BOと円との交点Dを経由した2つのベクトルに分解して、ベクトルZとベクトルCZの内積の式を上の式の様に分解する。
そして、円周角の定理から、ベクトルwがベクトルzに垂直であって、ベクトルwとベクトルzの内積が0になる事を利用して求めた。

【第2の証明】
この公式は、以下の様にして、円周角を使わないで証明する事もできる。
(証明おわり)

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2019年7月10日水曜日

複素数計算の公式を導き出す(5)

http://schoolhmath.blogspot.jp/2015/04/blog-post_2.html
http://schoolhmath.blogspot.jp/2015/04/blog-post_3.html

複素数の計算を推進する以下の公式を導きだしましょう。

(第1優先事項)
 複素数平面のグラフをあらわす方程式を変換する問題は、複素数の計算をせずに、図形の考察で答えを求めるようにしましょう。すなわち、複素数平面のグラフを表わす複素数の方程式同士を計算でつながないで図形の考察でつなげば何とか問題が解けますのでそれを第1優先にしましょう。

(優先順位の2位以下のこと)
 それよりは優先順位が低いことですが、以下のような、複素数平面の計算の公式の導き出し方を身に付けると、少し計算が推進されますので、以下の公式も、簡単に導き出せるようになればとても良いと思います。

(複素数の切替の公式)
(条件)複素数αとβの絶対値が等しい場合:
以下の公式が成り立つ。
(複素数の切替の公式おわり)

(2複素数の非対称共役化の公式)
 この複素数の切替の公式を使うことで、以下の「2複素数の非対称共役化」公式が導ける。

(条件)複素数αとβの絶対値が等しい場合:
以下の公式が成り立つ。



これらの「2複素数の非対称共役化」公式は、以下の問題例の様に使うと良いと思います。
(問題例1)ベクトルの難問を解く
(問題例2)円周角の定理を示す

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複素数計算の公式を導き出す(4)

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複素数の計算を推進する以下の公式を導きだしましょう。

(第1優先事項)
 複素数平面のグラフをあらわす方程式を変換する問題は、複素数の計算をせずに、図形の考察で答えを求めるようにしましょう。すなわち、複素数平面のグラフを表わす複素数の方程式同士を計算でつながないで図形の考察でつなげば何とか問題が解けますのでそれを第1優先にしましょう。

(優先順位の2位以下のこと)
 それよりは優先順位が低いことですが、以下のような、複素数平面の計算の公式の導き出し方を身に付けると、少し計算が推進されますので、以下の公式も、簡単に導き出せるようになればとても良いと思います。

 以下の公式も計算の推進の道具にしてください。
この2つの式のうちの最初の式は、ベクトルであらわした、三角形の中線定理と同じです。

【三角形の中線定理】
(中線定理)

上の式に対しても、任意の実数θとεに関して、
α⇒αexp(iθ)
β⇒βexp(iε)
という式の置き換えを行えます。
その置き換えでは、最初の式が変化しないからです。

【2重平行四辺形の面積の公式の表現のバラエティ】
先に「公式を導き出す(3)」で説明した公式:

この公式により、ベクトルαとベクトルβの外積であらわす平行四辺形の面積が、合成ベクトル(α+β)と合成ベクトル(β-α)の外積であらわす平行四辺形の面積の2分の1になります。
ベクトルであらわした2重平行四辺形の面積の公式です。 
【2重平行四辺形の面積の公式】
 平行四辺形ABCDに外接する図のような平行四辺形CDEFの面積は、ベクトルAとBの張る平行四辺形ABCDの面積の2倍です。
(以上が2重平行四辺形の面積の公式)

この公式をRe()関数を使って表すと以下の式になります。

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複素数計算の公式を導き出す(3)

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複素数の計算を推進する以下の公式を導きだしましょう。

(第1優先事項)
 複素数平面のグラフをあらわす方程式を変換する問題は、複素数の計算をせずに、図形の考察で答えを求めるようにしましょう。すなわち、複素数平面のグラフを表わす複素数の方程式同士を計算でつながないで図形の考察でつなげば何とか問題が解けますのでそれを第1優先にしましょう。

(優先順位の2位以下のこと)
 それよりは優先順位が低いことですが、以下のような、複素数平面の計算の公式の導き出し方を身に付けると、少し計算が推進されますので、以下の公式も、簡単に導き出せるようになればとても良いと思います。

 以下の公式も使う場合が多いと思います。
これは、ベクトルの2乗の差を合成ベクトルの内積に変える公式です。
【合成ベクトルの内積をベクトルの2乗の差に変える公式】
この公式は、「余弦定理に類似した中線の式」でもあります。
この公式は、複素数平面での複素数の計算よりもベクトルの計算を利用した方が速やかに式を導き出せるように思います。

また、以下の式も大切です。
以下の式は、
(2つのベクトルの貼る平行四辺形の面積S)の(2i倍)
の式です。

この式を包含する以下の式が成り立ちます。
任意の実数kに関して:
が成り立ちます。
それは、この式が以下の図の平行四辺形の面積の(-1倍)を表すからです。

先に記述した平行四辺形の面積(の2i倍)の式は、以下の式に変形できます。
この式は、2重平行四辺形の面積の公式を表しています。
【2重平行四辺形の面積の公式】
 平行四辺形ABCDに外接する図のような平行四辺形CDEFの面積は、ベクトルAとBの張る平行四辺形ABCDの面積の2倍です。
(以上が2重平行四辺形の面積の公式)

(この式の上から2行目の式と3行目の式は、|α|=|β|の場合には、右辺が第1項のみになります。それを利用して、以下の公式が使えます。)
 実数係数kを利用してβを下式のように絶対値がαと同じ複素数β’であらわします。

以上の公式で、以下の部分が特に重要です。
上の公式において、
特に、以下の公式を注目して覚えると、式の変形に便利と思います。
また、この公式の意味は:
ということをあらわし、
合成ベクトル(α-β’)と、
合成ベクトル(α+β’)
の内積が0になり、
2つの合成ベクトルが直交する事をあらわしています。
(ベクトルでの「ひし形の対角線の直交の公式」と同じです)
すなわち、
公式:
という公式でもあります。 

【ひし形の対角線の直交の公式】
 下図のひし形OAKBの2つの対角線OKとABが互いに直交することが、
以下の図の線分OKの傾きが、線分ABに平行な線分OHの傾きの逆数×(-1)である、ことにより証明できます。

同様に、以下の公式も使えます。
ただし、kは、βを以下の関係のβ’に置き換える実数係数です。

 以上の式に対しては、任意の実数θとεに関して、
α⇒αexp(iθ)
β⇒βexp(iε)
という式の置き換えを行えます。
その置き換えでは、以下の式の左辺が変化しないので、以下の式が成り立ちます。

【公式の整理】
ここで得られた公式は:
です。
この2つの公式は、以下の1つの式にまとめられます。
この式は、
ベクトル(α+β)とベクトル(β-α)が直交してベクトルの内積が0になる場合は、αの絶対値とβの絶対値が等しい場合である事を表しています。
また、
ベクトル(α+β)とベクトル(β-α)が張る平行四辺形の面積は、ベクトルαとベクトルβが張る平行四辺形の面積Sの2倍である事を表しています。

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複素数計算の公式を導き出す(2)

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複素数の計算を推進する以下の公式を導きだしましょう。

(第1優先事項)
 複素数平面のグラフをあらわす方程式を変換する問題は、複素数の計算をせずに、図形の考察で答えを求めるようにしましょう。すなわち、複素数平面のグラフを表わす複素数の方程式同士を計算でつながないで図形の考察でつなげば何とか問題が解けますのでそれを第1優先にしましょう。

(優先順位の2位以下のこと)
 それよりは優先順位が低いことですが、以下のような、複素数平面の計算の公式の導き出し方を身に付けると、少し計算が推進されますので、以下の公式も、簡単に導き出せるようになればとても良いと思います。

以下の公式も導き出して、計算を推進させてください。

上の式の各行が、各公式をあらわしていて、
3つの公式があります。
(1)2つのベクトルの張る第1の三角形の余弦定理
(2)2つのベクトルの張る第2の三角形の余弦定理
(3)2つのベクトルの内積の、合成ベクトルの2乗の差への変換公式(余弦定理に類似した中線の式)
です。
それらの公式は、
「ベクトルの内積の和と積の公式のページ」にもあります。

また、上式であらわしたベクトルαとベクトルβの内積は、一方のベクトルの先端の点が他方のベクトルに垂直な方向に移動しても、両ベクトルの内積の値が変わりません。
そのため、以下の公式が成り立ちます。
また、もっと一般的な公式として、任意の実数kのパラメータを使った以下の公式も成り立ちます。

 以上の公式は使う場合が多いと思いますので、計算の中で必要に応じてすぐ導き出して使えたら良いなと思います。

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変数変換して無理関数の根号を外す公式

【無理関数の根号を外す公式】
以下の無理関数は、以下の変数変換によって根号を外すことができます。


先ず、
と置く。
ただし、t>0とする。
t≧1の場合にx≧0になり、
t<1の場合にx<0になる。

すると:
が成り立ち、根号が外れる。
特に、以下の式は、以下の様に簡単な式になる。
この式は、変数tの式を変数xの式に戻すための式でもある。

以下の無理関数も、以下の変数変換によって根号を外すことができます。


先ず、
と置く。

《x≧0の場合は》
t≧1とする。
すると:
が成り立ち根号が外れる。
特に、以下の式は、以下の様に簡単な式になる。
この式は、変数tの式を変数xの式に戻すための式でもある。

《x<0の場合は》

において、
t≦-1とする。
すると:
が成り立ち根号が外れる。
特に、以下の式は、以下の様に簡単な式になる。
この式は、変数tの式を変数xの式に戻すための式でもある。

【例題1】
以下の、2重根号が外れない式を使った分数式の計算方法を考える。
この式は、以下の様に計算することで簡単な式にできる。
以下のパラメータtを使う。
 Fは以下の式であらわせ、
根号の式は、tを使った以下の式に変換できる。
これを使って、問題の式を変形する。
こうして、簡単な式に変形することができた。

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