ベクトル計算での挫折を回避する方法

　ベクトル計算は本質的に、余弦定理に関連する計算に向いています。正弦定理や円周角の定理で解ける問題は、ベクトル計算を使わないで、正弦定理や円周角の定理を使った図形問題として解く方がスムーズに解けます。正弦定理や円周角の定理を使った図形問題として解くべき問題をベクトル計算だけで解こうとすると挫折します。

　しかし、以下の様な、円周角の定理の公式１を使うことで、挫折を回避して問題を解くことができます。

　上図で、三角形ＡＢＣの外接円の半径をＲとすると、円周角の定理が次の式１であらわされる。
ｃｏｓＡ＝ｍ／Ｒ　（１）

この式１は、円周角の定理から素直に導き出した式であり、ベクトル計算で導こうとするととても苦労する式です。
この式１を円周角の定理を表現した式として覚えて使うことで、通常は挫折するベクトル計算の挫折を回避することができます。

【問題１】
　以下の図の三角形において、
｜ＢＡ｜・｜ＣＡ｜＝２Ｒ・ｈ　（式３）
 が成り立つことを証明せよ。

【解答】
　上の式を使った以下の計算で、ベクトルＢＡとベクトルＣＡの内積を変形します。
・・（式２）
以上で、ベクトルの内積の式を変形した結果、外接円の中心の高さｍをベクトルの内積で計算する定理（式２）が得られました。

一方、ベクトルの内積から以下の式が得られます。

式２にこの式を代入し、更に、円周角の定理の式１を代入する。

これで式３が得られました。
（証明おわり）

　しかし、この式３は、正弦定理を使うことで速やかに導かれますが、式１を使わない通常のベクトル計算では、容易には解けずに挫折する問題です。

　この問題が式１を使うことで解けたのは、式１は正弦定理の同類の円周角の定理を表現した式であり、式１を使うことで円周角の定理を使って問題を解いたからです。

　このように、正弦定理や円周角の定理を使わないと挫折する問題は、式１のように円周角の定理をベクトル計算の中に組み込んで使うことで、挫折を回避して解くことができるようになります。

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未知ベクトルとそれに垂直なベクトルを使うベクトル方程式

【問１】

上の三角形において、点Ｂ，Ｃの位置ベクトルを、Ｂ （１，０）と、Ｃ（０，√３）とする。

 ベクトルＯＺに関して図の角度の条件が成り立つ場合、すなわち、
∠ＯＺＣ＝∠ＯＺＢ＝１２０°
となる場合の、

位置ベクトルＺを求めよ。

（解答の方針）
　この問題は、余弦定理等を使って解くことは困難ですが、複素数平面を使うと解けます。
複素数平面を使う解き方は、ここをクリックした先のページにあります。

　以下では、複素数平面を使う解き方の有効性をベクトル方程式にも持たせた形のベクトル方程式の作り方を参考に示します。
この問題を解くために作るベクトル方程式は、未知ベクトルＺとそれに垂直なベクトルＺ_Ｖを使ったベクトル方程式を作ります。
　ただし、この解き方は、複素数平面を使う解き方に比べかなり複雑な解き方ですので、この解き方よりは複素数平面を使って解く解き方（未知数の１次式～２次式）の方がエレガントな解き方だと考えます。

【ベクトルの回転変換の公式を使った解答（参考用）】

この図で、ベクトルＺを左回りに９０度回転したベクトルＺ_Ｖを使います。
この問題を解くために、
ベクトルの回転変換の公式を使って、未知数ｓとｔを使った以下の方程式１１と式１２を作ります。

式１１と１２を式１５と式１６に変形した。
以下のように式１５と式１６から、ベクトルＺ_Ｖを消去した式を作りベクトルＺを求める。

この式は、未知数ｓとｔとｘ及びｙの３次の式である。
この式からベクトルＺを表わす式１７を作る。

この式１７でベクトルＺが得られたので、そのベクトルＺに垂直なベクトルＺ_Ｖが以下の式１８で得られる。

 この式１７と式１８をベクトル方程式１６に代入して、未知数ｓとｔだけを含む未知数の最大次数が２次のベクトル方程式１９を作る。
それにより、未知数ｓとｔを求めることができる。

式２０と２１を更に変形する。

ｔ＝０の場合は不適。
ｔ≠０の場合を計算する。

以上で得たｓとｔを式１７に代入して位置ベクトルＺの座標を計算する。

（解答おわり）

（補足）
　この解き方は、未知数を、ベクトルＺの変数ｘ，ｙと、未知数ｓとｔとの４つの未知数を含む３次の方程式を解く解き方です。その３次の方程式を、変数ｘ，ｙと未知数ｓ、ｔを切り離して解を求めることで、問題を実質的には２次の方程式と同等な式として扱い、問題を解き易くしました。

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ベクトルの回転変換と三角関数の加法定理

　ベクトル計算は本質的に、余弦定理に関連する計算に向いています。正弦定理や円周角の定理で解ける問題は、ベクトル計算を使わないで、正弦定理や円周角の定理を使った図形問題として解く方がスムーズに解けます。回転変換についても、円周角の定理を使うのと同様に、正弦定理や円周角の定理を使った図形問題として解く方が良いです。

　正弦定理や円周角の定理で解ける問題がベクトルで解きにくいというベクトル計算の弱点（不自由さ）は、 ベクトル計算で問題を解かずに、ＸＹ座標軸を使って解き、その座標成分同士の関係を計算する自由な計算により改善できます。

【問】
　以下の図のように、
ベクトル（Ｘ，Ｙ）を、左回りに角度θ回転させたベクトル（Ｘ’，Ｙ’）の各座標をＸとＹであらわす座標の回転変換の公式を導け。

（解答）
　上図を見て導いた上式で、ベクトル（Ｘ，Ｙ）を、左回りに角度θ回転させたベクト（Ｘ’，Ｙ’）の座標をあらわすベクトルの回転変換の公式が得られた。
（解答おわり）

ここで、
（ｘ，ｙ）を（ｘ’，ｙ’）であらわす式と、
（ｘ’，ｙ’）を（ｘ，ｙ）であらわす式とは、
以下の式の様に、θの正負を逆にしただけの式であらわされる、
回転変換式の間の対の関係がありますので、覚えておきましょう。

　この回転変換の公式は常識として、素早く導き出せるようにしましょう。

　この回転変換の公式は、図を目の視線でたどって、以下の様に場合分けした式の部分を素早く導き出せるようになりましょう。

すなわち、
上の図を思い描いて、図から、

Ｘ座標のみがある場合のＹ’座標が（ｓｉｎθ）・Ｘであること。
Ｙ座標のみがある場合のＸ’座標が（－ｓｉｎθ）・Ｙであること。

を想像します。
すなわち、以下のような式を想像します。

　次に、それ以外は、係数がｃｏｓθの項を加えることで、
式１と式２の回転変換の式ができあがります。

式１と式２は、以下の式５の形のベクトルの合成の式にまとめられます。

（三角関数の加法定理）
ここで、ベクトル（Ｘ，Ｙ）が既にＸ座標軸から角度アルファで回転していた場合を考えます。
その場合は、ベクトル（Ｘ’，Ｙ’）は、それよりも更にθ回転していますので、式１と２は、以下の式６と７になります。
この式６と７によって、三角関数の２つの加法定理が導けました。

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複素数平面での座標回転を応用した例
ベクトルによる座標の回転変換の公式
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ベクトルによる座標軸の回転変換の公式

【ベクトルによる座標軸の回転変換の公式】
　ベクトル計算は本質的に、余弦定理に関連する計算に向いています。正弦定理や円周角の定理で解ける問題は、ベクトル計算を使わないで、正弦定理や円周角の定理を使った図形問題として解く方がスムーズに解けます。回転変換についても、円周角の定理を使うのと同様に、正弦定理や円周角の定理を使った図形問題として解く方が良いです。

　正弦定理や円周角の定理で解ける問題がベクトルで解きにくいというベクトル計算の弱点は、計算で使うベクトルａに対して、そのベクトルを９０°回転させたベクトルを対にして使用して計算をすると、その方法は技巧的ですが、このベクトル計算の弱点がある程度補えて、ベクトル計算でも、円周角の定理や正弦定理に合った問題も解けるように改善できます。

　ベクトルの方程式で、回転変換を扱うのも同様な問題があって、回転変換を記述するには：
　下図のように、ベクトルａに対して、そのベクトルａを９０°回転させたベクトルｂを対にして使用すると、回転変換がベクトルを使って表現できるようになり、
ベクトル計算が本質的に持っている弱点を補うことができます。

ベクトルａを左回りに９０°回転させたベクトルｂは以下の式９で作ります。

この図の位置ベクトルＺのＸＹ座標軸で見た座標値を、（ｘ，ｙ）とします。
このベクトルＺを、ベクトルａとｂの合成で式１であらわします。

このベクトルＺの合成の係数ｓとｕは、ベクトルａ方向のｓ座標軸とベクトルｂ方向のｕ座標軸であらわしたベクトルＺの座標値を意味します。
このベクトル方程式１は詳しくは以下の式であらわされます。

 この式７と８は、（ｘ，ｙ）を（ｓ，ｕ）で表す座標軸の回転変換の公式をあらわします。
　なお、ベクトルａに垂直なベクトルｂは以下の式９で作りました。

この様にして座標軸の回転変換の公式の７と８が得られましたが、この公式は、考えにくいものでした。
（１）以上では、座標軸を回転させてその新しい座標軸における点の座標値を（ｓ，ｕ）としました。
（２）ベクトル（ｘ，ｙ）を、上記の座標軸の回転方向と逆方向に回転させて、その新しいベクトルの座標値を（ｓ，ｕ）とすると考えることで、上記の（ｓ，ｕ）と同じ（ｓ，ｕ）が求められます。
この（２）の方法の方が考えやすいかもしれません。
この（２）の方法の、ベクトルの回転方法は、この行をクリックした先に書きました。

（ｓとｔをｘとｙであらわす）
　式１のｓとｕは以下の計算で求めます。
 （１０）：ベクトルａと式１の両辺の内積をとると、以下の式１０が得られます。

（１１）：ベクトルｂと式１の両辺の内積をとると、以下の式１１が得られます。

このｓとｕの計算結果は以下のように整理できます。

すなわち、座標値ｓとｕで表したベクトルｚが、ｓｕ座標系でベクトルｃであらわされたＸ座標軸のＸ座標値と、それに垂直なベクトルであらわされたＹ座標軸のＹ座標値であらわすベクトル方程式１４が得られました。
詳しくは、以下の式１７と式１８であらわされます。

式７と８と、式１７と１８のセットで、座標軸の回転変換の公式が得られました。

リンク：
ベクトルの回転変換と三角関数の加法定理
座標の回転変換の公式を初めて学ぶ学び方
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ベクトルを勉強する意味と問題をベクトルで解くパターン

　ベクトルは、図形の点の複数の座標値をまとめた点自身を把握する役にたつ概念です。

　また、ベクトルは、連立方程式の式の計算において、連立する２つあるいは３つの式をまとめる左カッコで式をくくるようなものであり、ベクトルは、複数の式を整理する有用な視点を与える概念だと思います。

　すなわち、ベクトルは複数の式を、いわば図形的にまとめる概念であって、数学の問題を、まとめられるものはまとめて、図形的に統一的に把握する視点を与える思考ツールだと思います。

　ベクトルで問題を解くということは、ベクトルという記述手段で問題を記述し、ベクトルで記述した多くの公式を組み合わせ問題を解く作業を行なうということです。
いわば、ベクトルは問題や公式を記述する道具であって、ベクトル自身の法則を使って問題を解くというのはごく一部の問題に限られています。
　ベクトルの問題を解くということは、ベクトルで記述された公式を使って問題を図形的に記述し、問題を、図形で考えられるようにし、図形を解くあらゆる手段を用いて問題を解く助けを得られるようにして問題を解く作業です。
ベクトルで問題を解くあらゆる手段の１つには、ＸＹ座標系のグラフを使ってグラフの連立方程式を作って問題を解くことも含まれます。

　そのため、ベクトルの独特の計算方法によって問題を解いているような場合も、その計算方法は、問題を、ベクトルという表現手段を使って図形的に整理した形で表現し、その問題を解くために従来の図形問題の解答手段を使い易くしているだけなのではないか、という視点も持って問題解法を見るようにして欲しいと思います。

【数学が得意になるということ】
　「スタンフォード：本当の答えを見抜く力」（キース・デブリン）
に、スタンフォード大学に入学した大学生に教える「数学移行講座」の教育内容が書かれています。
　数学移行講座が必要な理由は、学生が大学の数学教育についていけるようにする基本的考え方を教える必要があるからです。
「数学的能力は２つのタイプに分類できます。
最も必要とされている能力は、２つ目のタイプの能力で、
製造業などで新しい問題に取り組んで、その鍵となる特徴を認識して数学的に記述し、その数学的記述を使って問題を正確に分析することができる能力です。

　数学教育では主に１つ目のタイプの人間（公式を覚えて当てはめて定型的な問題の答えを出すことができる）を育てることに力点が置かれてきましたが、結果的に２つ目のタイプの人間も育ちました。
２１世紀は、タイプ２の能力に対する需要の方が大きくなっています。
このタイプ２の人材は、
数学の箱の中ではなく、外で考えられる人材です。
『斬新な数学的思考家』と呼ぶのが良さそうです。」

　ベクトルを学ぶということは、この、問題の鍵となる特徴を認識して数学的に記述する手段を学ぶという意味を持ちます。

【ベクトルを使って問題を解くパターン】
　ベクトルの問題を解くという作業は、解答者が自身で、
（１）求めるベクトルの解をどの２つ（又は３つの）ベクトルを使って表すかのベクトル系を決める。
　（ベクトル系の選択は、図形問題を解くための座標軸を選択することに相当します）
（２）次に、その２つのベクトルの線形結合の係数を、ベクトル計算によって求める。
という作業です。

　解を表現するために適切なベクトルを選び出すのは、ベクトルを用いる解答者自身の数学センスであって、ベクトル独特の計算方法が適切なベクトル系を導き出してくれるわけではありません。
（１）の段階でどのベクトルを基準にするか、解に使われるベクトル系を決める事が解答への大切な糸口になります。
解答者が選んだベクトル系のベクトル以外によっては、その解はあらわされないのです。もちろん、計算の途中で式の置き換えなどによって新たに定義したベクトルも、最初に選んだベクトル系に加えることができるので、手遅れということはありませんが、、、。
　ベクトル系を切り替えて解を異なる形に表現すると、その新しいベクトル系であらわした解は、一見、全く異なる解に見えますので、最初に解答者が選択するベクトル系の決定には良く注意する必要があります。

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面と面の交線をベクトルで求める

　数学は、本来、難しい問題をやさしく解く方法の探求によって生み出されてきた学問です。
　数学で何か新しい手法を学んだら、「その手法でどの問題がやさしくなるのだろうか」という価値判断で新しい手法を評価するのが良いと思います。

【問】以下の図の面αと面βの交線を求めよ。

この問題は、面をあらわす式同士をイコールで結ぶだけで、あとは、計算間違いをしないように細心の注意をして計算していくだけ（それが難しいので訓練が必要ですが）で答えが得られます。

このベクトル方程式のベクトルａ、ｂ、ｃが、それだけで三次元空間の全ての点をあらわすことができる、線形独立な（他のベクトルの線形結合ではあらわせない）場合に限り、以下の式が成り立ちます。

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ひし形の対角線ベクトル変換公式

【ひし形の対角線ベクトル変換公式】
以下の図の、長さの等しいベクトルａとｂでひし形を作る。

　この場合に、以下の式の関係が成り立つ。

場合分けを不用にする統一的記述では以下の式になる。

 （ひし形の対角線ベクトル変換公式おわり）

（証明開始）
この式１の左辺と右辺のベクトルの成分を比較する。

式１の右辺と左辺のベクトルの成分が一致する。
そのため、式１の右辺と左辺は等しい。 

式２の左辺と右辺のベクトルの成分を比較する。

式１の右辺と左辺のベクトルの成分が一致する。
そのため、式１の右辺と左辺は等しい。 
（証明おわり）

（補足）
この公式は、

であることをあらわしています。
これは、ひし形の対角線の直交の公式をあらわしています。
そのため、この公式は、ひし形の対角線の直交の公式を言い換えた公式であるという意味を持ちます。

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ひし形の対角線の直交の公式
円の極の座標の解の変換 
複素数平面が、円の２つの接線の交点問題を簡単にする 
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