技巧的な、無理関数の方程式の解き方（その０）

【問題１】以下の方程式（式(1)）を簡単な方程式に変換せよ。


この問題の解答は、ここをクリックした先にある。

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無理方程式を解くときに注意すること3つ
二重根号の外し方の４つの方法
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合成関数の微分の公式の逆の置換積分法

やさしい微分積分
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【問１】
　以下の関数を積分せよ。


【解答】
　被積分関数の式よりも次数が１つ大きい以下の式を、合成関数の微分の公式で微分してみる。


（微分結果）

　ｈ(x) の微分の結果の式の形が、積分前の被積分関数の式と同じ形になったので、
式の係数を調整した上で、微分前の関数の式ｈ(x) を、積分の結果として答える。

（解答おわり）

【問２】
　以下の関数を積分せよ。


　被積分関数の式（ー２乗の式）よりも次数が１つ大きい（ー１乗の式）以下の似た式を、合成関数の微分の公式で微分してみる。


（微分結果）

　ｈ(x) の微分の結果の式の形が（係数を除けば）積分前の被積分関数の式と同じ形になったので、
式の係数を整合させた上で、微分前の関数の式ｈ(x) を、積分の結果として答える。

（解答おわり）

《補足》
　この積分方法は、以下の計算式によって、変数ｘを変数ｇ(x) に置換して積分する「置換積分法」と呼んでいる。（正しくは式の係数も整合させて計算する。以下の式の最後の（－１／２）は、式を整合させる係数です。）


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やさしい微分積分
置換積分法の概要
合成関数の微分の公式の分かり易い証明
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複素数平面で正弦定理を導出する

【問】
　正弦定理を複素数平面を利用して導出する。
そのために、以下の複素数平面の図の、半径１の円に内接する三角形ｚｈｇを利用する。


【解答】
　先ず円周角の定理を導き出し、円周角の定理を使って正弦定理を導出する。
　円周角の定理を導き出すために以下の計算をする。

以上の計算によって、ベクトル(zg)とベクトル(zh)の成す角βの２倍が、ベクトルｇとベクトルｈの成す角度になることが示された。
すなわち、点ｇと点ｈの位置が固定されている場合に、ベクトルｚの円上の位置にかかわりなく、円周角βが一定の角度になる事が示された。
（円周角の定理の導出おわり）

　三角形ｚｈｇの頂点ｚの角度βは、三角形Ｏｈｇの頂角Ｏの二等分線で頂角Ｏを半分にした角度である。角度βは、三角形Ｏｈｇを２つの直角三角形に分割した直角三角形の頂角である。そのため、辺ｈｇの長さは、
|h－g|＝２sinβ
になる。三角形ｚｈｇの外接円の半径をＲとすると、
|h－g|＝２Ｒ・sinβ
になる。
よって、正弦定理が導出できた。
（正弦定理の導出おわり）

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円周角の定理に係る複素数平面の公式
ベクトルの内積で円周角の定理を確認する
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複素数平面で円の方べきの定理を導き出す

【課題】
　方べきの定理をあらわす以下の複素数平面の図を考えて、以下の式の形で方べきの定理があらわされることを計算により導き出す。

【解答】
　図形の問題として解く方べきの定理は、試行錯誤によって種々の補助線を引いて考察して導き出すことができた。複素数平面の問題として解く方べきの定理は、試行錯誤によって複素数平面の式を種々に変形して考察する。その結果、以下のような式の変形を行なうならば方べきの定理が導き出せる。

（解答おわり）

（補足）
　この問題は、図形の考察で問題が解け、その解を複素数の計算の形で証明したものである。複素数の式を計算する前に図形問題の解を得ているからこそ、あたかも複素数の計算で解が得られたように解が表現できた事に注意すること。

　すなわち、上図のようにな図形を考え、補助線を引いて考察して方べきの定理が証明できたからこそ、複素数平面の計算での式の変形の方針が決められる。
　複素数平面の複素数の計算式をただ変形するだけの試行錯誤の計算で方べきの定理を証明しようと、計算の見通しが悪く、計算の森で迷子になってしまう事が多い。そのやり方で方べきの定理を証明するのは難しい。図形の問題の試行錯誤で補助線を引いて考察した方が実りが多いと思う。
　このように、方べきの定理の知識は、図形の考察によって先行して与えられている。複素数の計算よりも図形の考察の方が視野が広く融通性があり、常に先行するものである。
　複素数平面の複素数の式の計算は、その図形の、補助線を引いて図形の性質を導き出す考察プロセスを、複素数の加減乗除を計算するという抽象化したプロセスで表現しているだけと解釈できる。問題の答えを導き出す発想の源泉は、図形の考察から生み出される。

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方べきの定理の証明
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円卓への座り方の円順列の数と回転対称数

《円順列を計算する上での基本的考え方》
　人を円卓に配置する問題を解くための根本的な考え方は、以下の考え方です。
(1)円卓の１つ１つの席を固定して考えるべき。
(2)席に配置する人の順列は、円卓に対して回転した人の配置は異なる配置であるとして区別して考えるべきである。
(3)円順列では、人の配置を円卓の回りに回転させると重なる配置は同じ配置として配置の数を数える。

【問１】
　両親と子供4人を６席の円卓に並べる。両親が正面に向き合う座り方の円順列は何通りあるか。

【問２】
　大人３人と子供３人を６席の円卓に並べる。大人と大人の間に必ず子供が並ぶ座り方の円順列は何通りあるか。

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場合の数と確率
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確率の難問

【問１】
　 袋の中に、１と書かれたカードが４枚、２と書かれたカードが３枚、３と書かれたカードが２枚、計９枚のカードが入っている。この袋の中から同時に３枚のカードを取り出す。
(1)取り出した３枚のカードに書かれている数字がすべて異なる確率を求めよ。
(2)取り出した３枚のカードの中に同じ数字が書かれたカードが含まれていたとき、その同じ数字が１である条件付き確率を求めよ。

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三角形の各辺の垂直二等分線が一点で交わる証明

【問１】
　下図の三角形ＡＢＣ（頂点Ｂを原点Ｏとする）の各辺の垂直二等分線が一点で交わることを証明せよ。


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三角形の高さベクトルｈの公式