正しい数学の勉強のしかた。
（１）難問を解く努力（解けないけどあきらめない）
（２）力つきて（しかたなく）眠る
このような努力をすると、
その様に勉強した後、眠って、
朝起きると、知能や感受性を上げるホルモンが夜の間に分泌されて、
朝がとても気持ち良くなります。
この繰り返しが、学生の知能を上げます。
そのため、難問が簡単にとけてしまって、
難問という、とことん努力する課題を無くしてしまって、
知能を上げるホルモンの分泌をじゃましてはいけない
と考えます。
そのため、全ての難問の簡単な解き方を教えてしまって、
何もかも簡単にしてしまってはいけない
とも考えます。
難問は解けないですが、それを解く努力を続けること。
そして、その努力の過程で
（まだ問題が解けていない間に）
成果として得られた「知能」を、
他の課題の勉強のためにも使う知恵が大切です。
問題が解けていない矛盾をかかえ、
気分を変えて、その問題以外のことに取り組むことが、
成果として得られた「知能」を楽しむバランス感覚です。
（このことをよく自覚すること）
学生は自分で、何かをつかみ取る努力をすること。
そして、望んでも解答が得られない間
（すなわち、知能が高まる時）をよく自覚して、
それを省略しようとせず、
がまんして耐え、他のこともしっかり行う忍耐を養う。
それが、一番大切な勉強方法だと思います。
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【問１】（難問）
上の図において、円Ｏの半径は１２で、直径ＡＢをＢＤ＝４となるように延長した点がＤ、またＡＢ⊥ＣＯである。ＣＤと円Ｏの交点がＥである。
このとき、弦ＥＢの長さを求めなさい。
（注意）
図形問題では、先ず、補助線を引いて足りない図形を埋め、同じ角度に印を付け、特に、図形を対称な形に完成させてから問題を解くように心がけてください。
この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。
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以下で、三角形の頂点からの距離の積の公式（その２）と、三角形の中線の長さの公式との関係を整理します。
【中線の長さの公式（中線定理）】
上図のように、三角形ＡＢＣの辺ＢＣの中点Ｍと頂点Ａを結んだ中線ＡＭの長さｍに関して、上の式１が成り立つ。式１は式２の形に書き変えて使うことができる。
この公式の証明は、ここをクリックした先のページにあります。
この中線の長さの公式（中線定理）以外の以下の公式は、中線定理に比べて覚えにくいように思います。
そのため、以下の公式は高校入試問題にはほとんど出ないようにも考えられます。
しかし、図形の難問を解く受験の戦いで、使える道具は多い方が安心ですので、それらも覚えてみてください。
【頂点からの距離の積の公式】
上式のように、三角形ＡＢＣの頂点Ｃから辺ＡＢへ垂直に引いた線との交点Ｈに関する線分の積が以下の式であらわされる。
ＡＨ×ＡＢ＝ｍ２－ｓ２
この公式の証明は、ここをクリックした先のページにあります。
一方、中点の長さの公式は：
（ｂ２＋ｃ２）／２＝ｍ２＋ｓ２
である。
これらから、ＡＨが以下の通り計算できる。
三角形の頂点Ｃの辺ＡＢ上への足Ｈまでの長さＡＨ
がこの式であらわされることは、
以下の公式でもあった。
【三角形の頂点の足の位置の公式】
上図の三角形ＡＢＣの頂点Ａの左右へのずれを計算する上の式が成り立つ。
この公式の証明はここをクリックした先のページにあります。
この式を使うと頂点Ａの辺ＢＣ上への足Ｄと点Ｂの間の長さＢＤが計算できる。
ここで、
（ｃ＋ｂ）（ｃ－ｂ）＝ｃ２－ｂ２
です。
この公式のポイントと、三角形の頂点からの距離の積の公式のポイントとの関係を、以下の図で整理して覚えてください。
上の図は、下の図をいっしょに覚えると覚え易いです。
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以下の公式は、
円からはみ出す△ＡＨＤ∽△ＡＥＢの公式
と覚えた方が良い。
【公式】
上式のように、三角形ＡＢＣの頂点Ｃから辺ＡＢへ垂直に引いた線との交点Ｈに関する線分の積：
ＡＨ×ＡＢ
が、
辺ＢＣを直径２ｓとする円の中心Ｏと頂点Ａを結ぶ線と円との交点ＤとＥに関する線分の積：
ＡＤ×ＡＥ＝(ＡＯ)２－ｓ２
に等しいことを証明しなさい。
この公式の証明は、ここをクリックした先のページにあります。
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【問題】
上図で、ＡＤ＝ＢＤ＝１２である。
ＤＣ＝４で、ＤＣの中点をＮとする。
ＡＢ＝１６で、ＡＢの中点をＭとする。
∠ＡＣＢ＝９０°
とする。
このとき、ＭＮの長さを求めよ。
（解答の方針）
この問題は、三角形ＭＣＢの辺ＣＤの中点Ｎと頂点Ｍを結んだ線分の長さを、「中線の長さの公式」を使って計算する問題です。
しかし、以下の解き方は、この公式を知らない場合に、その知識不足を想像力で補って解く場合の解答方法を書きます。
（高校入試問題では、想像力で知識を補える問題がけっこう有るように思います）
【解答】
以下のように、足りない図形を埋めて図形を完成させます。
直角三角形はその斜辺を直径とする円に内接しますので、円を書きます。
直角三角形ＡＭＤの辺の長さを計算するのを、相似な三角形を想像して、その辺を計算することで求めます。
三角形ＤＭＣについて、相似な三角形を想像します。
寸法が簡単な相似な三角形を見ると、三平方の定理により、この三角形が直角三角形であることがわかります。
∠Ｃが直角なので、線分ＭＮの長さは直角三角形ＮＭＣの斜辺を計算すれば良くなり、問題が簡単になりました。
（この問題は、想像力が知識を補えるように簡単にしてありました）
よって、
（解答おわり）
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円に内接する四角形の対角線の交差点までの長さの計算は、
２つの場合に応じて、解き方が変わります。
【第１の場合】
三角形ＡＥＤと三角形ＢＥＣは相似です。
△AED ∽ △BEC
上図のように、三角形ＡＥＤの辺ＡＤの長さａ１と三角形ＢＥＣの辺ＢＣの長さａ２が異なる場合は、
相似な三角形同士で辺の比が同じであることを表す方程式１と２を立てて、以下のように計算して長さｘとｙを求めます。
【第２の場合】
上図のように、三角形ＡＥＤの辺ＡＤと三角形ＢＥＣの辺ＢＣの長さａが同じ場合は、
先ず、頂点Ｄの足Ｆを考え、ＦＢ＝Ｃ２を計算する。
この式は、ここをクリックした先に書きました。
そして、このＣ２を使った式６の計算で長さｚを求めます。
（補足）
この第２の場合で、線分ＤＣの長さもわかっている場合は、
（１）
Ｃ２＝（ＡＢ＋ＤＣ）／２
で計算できます。
また、
（２）相似な△ＥＣＤと△ＥＢＡの辺ＣＤの長さと辺ＢＡの長さが等しくない場合は、第１の場合の計算を使うことができます。
（３）辺ＣＤの長さと辺ＢＡの長さが等しく、辺ＡＤの長さと辺ＢＣの長さも等しい場合は、四角形ＡＢＣDが長方形になり、簡単に解けます。
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