３次方程式が重根を持つ条件

「微分・積分」の勉強

以下の問題は、微分の基礎知識を勉強した後で解いてください。

【難問１】三次の方程式
ｘ^３＋ａｘ＋ｂ＝０　（式１）
の根が重根を持つ場合に、パラメータａとｂの間に成り立つ関係を求めよ。
（注意：どの３次方程式も変数を変換することでこの形の式に帰着できる）

（解答の方針）
この問題は、
方程式
ｆ（ｘ）＝０　（式２）
が重根を持つ場合に以下の関係が成り立つという知識が無いと解くのがとても難しい問題ではないかと思います。

方程式２の重根の解ｘ＝αにおいて、
ｆ’（α）＝０　（式３）
が成り立つ。
すなわち、方程式２を微分した方程式の解も、その重根の解ｘ＝αと同じ解を持つ。
これは、以下のようにして証明できます。
（証明開始）
ｆ（ｘ）＝（ｘ－α）^２ｇ（ｘ）
という式であるとすると、この式を微分すると以下の式が得られる。
ｆ’（ｘ）＝２（ｘ－α）ｇ（ｘ）＋（ｘ－α）^２ｇ’（ｘ）
＝（ｘ－α）｛２ｇ（ｘ）＋（ｘ－α）ｇ’（ｘ）｝
よって、
ｆ’（α）＝０　（式３）
が成り立つ。
（証明終わり）

そのため、
ｆ（ｘ）＝ｘ^３＋ａｘ＋ｂ＝０　（式１）
の根が重根を持つ場合に、
ｆ’（ｘ）＝３ｘ^２＋ａ＝０　（式４）
の根の１つが、式１の根と等しい。
そのため、
式１と式４を連立させて、両式がともに成り立つｘの値が、式１の重根である。
この公式を知っていれば、この問題は解ける。

【問２】三次の方程式

の根が重根を持つ場合に、パラメータｃのみが未知数の場合にｃの値を求めよ。

【難問３】三次の方程式

の根が重根を持つ場合に、パラメータｋのみが未知数の場合にｋの値を求めよ。

【難問４】三次の方程式

の根が重根を持つ場合に、パラメータａのみが未知数の場合にａの値を求めよ。

【難問５】三次の方程式

の根が重根を持つ場合に、パラメータａ、ｋ、ｃの間に成り立つ関係を求めよ。

この問題の解答はここをクリックした先にある。

リンク：
三次方程式の判別式
３次方程式で１つの根がわかっている場合の残りの根
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